2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)08 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)08,反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),08,反比例,函數(shù),一次,綜合,問題,補(bǔ)缺 回歸教材重難點(diǎn)08 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題是初中《反比例函數(shù)》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合起來，以不等式、方程組等為核心。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練運(yùn)用的方程、不等式與函數(shù)三者之間的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為選填題的壓軸題。 1.反比例函數(shù)中的有關(guān)面積問題 如圖，過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據(jù)的幾何意義可得，，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯 2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式 反比例函數(shù)y=kx（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|． 反比例函數(shù)y=kx（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|． 1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，且交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B，已知． 第1頁/共9頁 （1）求直線的解析式； （2）求反比例函數(shù)的解析式； （3）點(diǎn)D為反比例函數(shù)上一動點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)E為中點(diǎn)時，求的面積． 2．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象在第二象限交于C，兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)E，若． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式． （2）求四邊形OCDE的面積． 第2頁/共9頁 3．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)． （1）求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，求的面積； （3）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于的不等式的解集． 4．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)，點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）將直線向上平移個單位后經(jīng)過反比例函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，求，的值． 第3頁/共9頁 5．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)B． （1）求m的值； （2）點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 6．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A（3，1），B（﹣1，n）兩點(diǎn)． (1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖像，直接寫出滿足的x的取值范圍； (3)連接BO并延長交雙曲線于點(diǎn)C，連接AC，求的面積． 第4頁/共9頁 7．（2021·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)在圖象與反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)A（﹣3，m），B（n，2）兩點(diǎn)． (1)當(dāng)m＝1時，求一次函數(shù)的解析式． (2)若點(diǎn)E在x軸上，滿足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，分別連接OA，OB，求△OAB的面積． 8．（2022·江西南昌·一模）如圖，反比例函數(shù)y1＝（x＞0）與直線y2＝ax+b的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B（3，3），且AB＝2BC． (1)求反比例函數(shù)解析式．(2)求直線AB解析式．(3)請根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍． 第5頁/共9頁 9．（2021·山東青島·一模）如圖，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，已知A（1，m），B（2，1）． (1)分別求出直線和雙曲線的解析式； (2)設(shè)點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，E是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PED的面積最大時，請直接寫出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為 　 　． 10．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，已知CD＝2． (1)點(diǎn)A是否在該反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由； (2)若該反比例函數(shù)圖象與DE交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)． 第6頁/共9頁 11．（2021·廣東清遠(yuǎn)·二模）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+4與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(2,m)和B(-6,-2)，與y軸交于點(diǎn)C． (1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，設(shè)直線OP與線段AD交于點(diǎn)E，當(dāng)S四邊形ODAC:S△ODE＝4:1時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)M是y軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△MBC為直角三角形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 12．（2021·四川眉山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y（m≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，n） (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)求△AOB的面積； (3)P是y軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)． 第7頁/共9頁 13．（2021·廣東云浮·一模）如圖，反比例函數(shù)圖像和一次函數(shù)經(jīng)過和． (1)求一次函數(shù)解析式： (2)一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，求證：． 第8頁/共9頁 第9頁/共9頁 回歸教材重難點(diǎn)08 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題是初中《反比例函數(shù)》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合起來，以不等式、方程組等為核心。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練運(yùn)用的方程、不等式與函數(shù)三者之間的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為選填題的壓軸題。 1.反比例函數(shù)中的有關(guān)面積問題 如圖，過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據(jù)的幾何意義可得，，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯 2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式 反比例函數(shù)y=kx（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|． 反比例函數(shù)y=kx（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|． 1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，且交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B，已知． 第1頁/共20頁 （1）求直線的解析式； （2）求反比例函數(shù)的解析式； （3）點(diǎn)D為反比例函數(shù)上一動點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)E為中點(diǎn)時，求的面積． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可； （3）設(shè) 而為的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解的坐標(biāo)，再利用，計算即可得到答案. 【詳解】解：（1） 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上， 則 設(shè)直線為： 則 所以直線為： （2） 軸， ． 所以反比例函數(shù)為： （3）設(shè) 而為的中點(diǎn)， 【點(diǎn)睛】本題考查的利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，圖形與坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練應(yīng)用以上知識解題是關(guān)鍵. 2．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象在第二象限交于C，兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)E，若． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式． 第2頁/共20頁 （2）求四邊形OCDE的面積． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，然后結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征并結(jié)合待定系數(shù)法求得A點(diǎn)和E點(diǎn)坐標(biāo)，然后用的面積減去的面積求解． 【詳解】解：（1）將代入中，， 反比例函數(shù)的解析式為； 過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)C作軸， ，，，， 將代入中，，解得：，C點(diǎn)坐標(biāo)為， 將，代入中，可得，解得：，一次函數(shù)的解析式為； （2）設(shè)直線OC的解析式為，將代入，得：，解得：， 直線OC的解析式為， 由，設(shè)直線DE的解析式為， 將代入可得：，解得：， 第3頁/共20頁 直線DE的解析式為， 當(dāng)時，，解得：，E點(diǎn)坐標(biāo)為，， 在中，當(dāng)時，，解得：，A點(diǎn)坐標(biāo)為，，， ． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵． 3．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)． （1）求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，求的面積； （3）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）由題意先求出，然后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而問題可求解； （2）由（1）可得以PB為底，點(diǎn)A到PB的距離為高，即為點(diǎn)A、B之間的縱坐標(biāo)之差的絕對值，進(jìn)而問題可求解； （3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接進(jìn)行求解． 【詳解】（1）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式得：，∴， ∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴， 把點(diǎn)A、B作代入直線解析式得：，解得：，∴； 第4頁/共20頁 （2）由（1）可得：，， ∵軸，∴，∴點(diǎn)A到PB的距離為，∴； （3）由（1）及圖象可得：當(dāng)時，x的取值范圍為或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)，點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）將直線向上平移個單位后經(jīng)過反比例函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）作軸，可知，得出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出解析式即可， （2）將點(diǎn)代入（1）中解析式和直線的解析式中，分別求出，的值即可． 【詳解】（1）如圖，作軸，則 第5頁/共20頁 ，， 點(diǎn)，點(diǎn)，∴OD=OC+CD=6， 代入中，． （2）在上， 設(shè)直線OA解析式為， 直線向上平移個單位后的解析式為： 圖象經(jīng)過（1，12），，解得：，，． 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正比例函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的平移，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想． 5．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)B． 第6頁/共20頁 （1）求m的值； （2）點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【答案】（1）24；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為 【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用k=xy計算m即可； （2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可. 【詳解】（1）∵點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4， ∴，解得，∴，∴． （2）∵，∴， 設(shè)，則，當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)， ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去）， 當(dāng)時，，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為， 當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)的左側(cè)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵． 6．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A（3，1），B（﹣1，n）兩點(diǎn)． 第7頁/共20頁 (1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖像，直接寫出滿足的x的取值范圍； (3)連接BO并延長交雙曲線于點(diǎn)C，連接AC，求的面積． 【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式是，一次函數(shù)的解析式是；(2)或；(3)8 【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求出B的坐標(biāo)，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)函數(shù)的圖像和A、B的坐標(biāo)即可得出答案； （3）過C點(diǎn)作軸，交直線AB于D，求出D的坐標(biāo)，即可求得CD，然后根據(jù)即可求出答案． 【詳解】(1)解：∵點(diǎn)A（3，1），B（﹣1，n）兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上 ∴把A（3，1）代入得：，∴反比例函數(shù)的解析式是， 又∵B（﹣1，n）代入反比例函數(shù)得：，∴B的坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）， 把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)得：，解得：，，∴一次函數(shù)的解析式是． (2)解：從圖像可知：的x的取值范圍是當(dāng)或． (3)解：過C點(diǎn)作軸，交直線AB于D，∵B（﹣1，﹣3），B、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴C（1，3）， 把代入得，，∴D（1，﹣1），∴，∴． 第8頁/共20頁 【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的計算能力和觀察圖形的能力．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 7．（2021·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)在圖象與反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)A（﹣3，m），B（n，2）兩點(diǎn)． (1)當(dāng)m＝1時，求一次函數(shù)的解析式． (2)若點(diǎn)E在x軸上，滿足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，分別連接OA，OB，求△OAB的面積． 【答案】(1)yx+3；(2) 【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k，進(jìn)而得出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式； （2）先判斷出BF＝AE，進(jìn)而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出mn，進(jìn)而得出BF＝2n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判斷出△AME∽△ENB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MEBN，最后用勾股定理求出m，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論． 【詳解】(1)解：當(dāng)m＝1時，點(diǎn)A（﹣3，1）， ∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函數(shù)的解析式為y； ∵點(diǎn)B（n，2）在反比例函數(shù)y圖象上，∴2n＝﹣3，∴n， 設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+b，則，∴，∴直線AB的解析式為yx+3； (2)如圖，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，過點(diǎn)A作AF⊥BN于F，交BE于G， 第9頁/共20頁 則四邊形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN， ∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m， ∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE， 在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG， ∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF， ∵點(diǎn)A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴mn， ∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3， ∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB， ∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴，∴MEBN， 在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根據(jù)勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2， ∴m，∴k＝﹣3m，∴2n，∴n，∴A（﹣3，），B（，2）， ∴AM，OM＝3，BN＝2，ON，∴MN， ∴△OAB的面積＝S四邊形AMNB+S△BNO﹣S△AOM＝S四邊形AMNB（AM+BN）?MN（2）． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是利用好交點(diǎn)的坐標(biāo)． 8．（2022·江西南昌·一模）如圖，反比例函數(shù)y1＝（x＞0）與直線y2＝ax+b的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B（3，3），且AB＝2BC． 第10頁/共20頁 (1)求反比例函數(shù)解析式．(2)求直線AB解析式．(3)請根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出k的值即可； （2）過點(diǎn)A、D分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E．由此即易證，得出．再根據(jù)，即得出．結(jié)合B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)，將A點(diǎn)縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即求出A點(diǎn)橫坐標(biāo)．最后結(jié)合A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式； （3）根據(jù)當(dāng)時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，結(jié)合圖象即可寫出x的取值范圍． 【詳解】(1)將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：，解得：．　故反比例函數(shù)解析式為：； (2)如圖，過點(diǎn)A、D分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E． 根據(jù)作圖易證，∴． ∵，∴，即． ∵，∴， 第11頁/共20頁 將代入，即得出，解得：，即A(1，9)．　 將A(1，9)和B(3，3)代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為； (3)當(dāng)時，即反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方即可， 由圖象可知當(dāng)時反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，∴當(dāng)時，． 【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵． 9．（2021·山東青島·一模）如圖，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，已知A（1，m），B（2，1）． (1)分別求出直線和雙曲線的解析式； (2)設(shè)點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，E是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PED的面積最大時，請直接寫出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為 　 ?。? 【答案】(1)y1＝﹣x+3，；(2) 【分析】（1）依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得到m和的值，再根據(jù)待定系數(shù)法即可得出直線AB的解析式； （2）設(shè)點(diǎn)P(x，﹣x+3），用含x的代數(shù)式表示出△PED的面積，即可求解． 【詳解】(1)解：∵點(diǎn)B(2，1)在雙曲線上，∴＝2×1＝2，∴雙曲線的解析式為， ∵A（1，m）在雙曲線，∴m＝2，∴A(1，2）． ∵直線AB：y1＝k1x+b過A（1，2）、B（2，1）兩點(diǎn)，則，解得， ∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3； (2)解：設(shè)點(diǎn)P(x，﹣x+3），且1≤x≤2， 第12頁/共20頁 △PED的面積＝PD?OD＝x(﹣x+3)＝﹣(x﹣)2+， 當(dāng)x＝時，△PED的面積取得最大值，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，）， 故答案為：(，）． 【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及三角形的面積公式，求出直線AB的解析式是解題的關(guān)鍵. 10．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，已知CD＝2． (1)點(diǎn)A是否在該反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由； (2)若該反比例函數(shù)圖象與DE交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)． 【答案】(1)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，理由見解析；(2)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 【分析】（1）過點(diǎn)P作x軸垂線PG，連接BP，可得BP＝2，G是CD的中點(diǎn)，所以P（2，）； （2）易求D（3，0），E（4，），待定系數(shù)法求出DE的解析式為y＝x﹣3，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)即可求點(diǎn)Q． 【詳解】(1)解：點(diǎn)A在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：過點(diǎn)P作x軸垂線PG，連接BP， ∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中點(diǎn)， ∴PG=BO=BC＝，∴P（2，）， ∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，∴k＝2，∴y＝， 由正六邊形的性質(zhì)，A（1，2），∴點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上； (2)解：由（1）得D（3，0），E（4，）， 設(shè)DE的解析式為y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3， 第13頁/共20頁 由方程，解得x＝（負(fù)數(shù)舍去），∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為． ． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)；將正六邊形的邊角關(guān)系與反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 11．（2021·廣東清遠(yuǎn)·二模）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+4與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(2,m)和B(-6,-2)，與y軸交于點(diǎn)C． (1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，設(shè)直線OP與線段AD交于點(diǎn)E，當(dāng)S四邊形ODAC:S△ODE＝4:1時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)M是y軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△MBC為直角三角形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【答案】(1)y=x+4，；(2)；(3)(0,?2)或(0,?8) 【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出k1、k2的值； (2)根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，根據(jù)梯形的面積公式求出S四邊形ODAC的值，進(jìn)而即可得出S△ODE的值，結(jié)合三角形的面積公式即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線OP的解析式，再聯(lián)立直線OP與雙曲線的解析式成方程組，通過解方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°兩種情況考慮，當(dāng)∠CMB=90°時，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)即可找出點(diǎn)M 第14頁/共20頁 的坐標(biāo)；當(dāng)∠CBM=90°時，由直線AB的解析式可得出△BCM為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，綜上即可得出結(jié)論． 【詳解】(1)解：將點(diǎn)B(?6,?2)代入y1=k1x+4，?2=?6k1+4，解得：k1=1，故一次函數(shù)的解析式為；y=x+4 將點(diǎn)B(?6,?2)代入①，，解得：k2=12， 故反比例函數(shù)的解析式為； (2)解：依照題意，畫出圖形，如圖2所示． 當(dāng)x=2時，m=2+4=6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6)； 當(dāng)x=0時，y1=x+4=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)， ∵，S四邊形ODAC:S△ODE＝4:1， ∴，∴DE=2.5，即點(diǎn)EE的坐標(biāo)為(2,2.5)， 設(shè)直線OP的解析式為y=kx， 將點(diǎn)E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，∴直線OP的解析式為， ，解得：，， ∵點(diǎn)P在第一象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為； (3)解：依照題意畫出圖形，如圖3所示． 第15頁/共20頁 當(dāng)∠CMB=90°時，軸，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,?2)； 當(dāng)時， ∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°， ∴△BCM為等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,?8)， 綜上所述：當(dāng)△MBC為直角三角形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,?2)或(0,?8)． 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求出一次及反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、梯形(三角形)的面積公式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線． 12．（2021·四川眉山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y（m≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，n） (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)求△AOB的面積； (3)P是y軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)． 【答案】(1)yx+2，y；；(2)△AOB的面積； 第16頁/共20頁 (3)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，） 【分析】（1）設(shè)OD=3a，AD=4a，則AO=5a=5，解得：a=1，故點(diǎn)A（3，4），故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=，故B（-6，2），將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解； （2）△AOB的面積S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9； （3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三種情況，分別求解即可． 【詳解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4， 設(shè)：OD＝3a，AD＝4a，則AD＝5a＝5，解得：a＝1， 故點(diǎn)A（3，4），則m＝3×4＝12，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y，故B（﹣6，﹣2）， 將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b得：，解得：， 故一次函數(shù)的表達(dá)式為：yx+2； (2)解：設(shè)一次函數(shù)yx+2交y軸于點(diǎn)M（0，2）， ∵點(diǎn)A（3，4），B（﹣6，﹣2）， ∴△AOB的面積SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9； (3)解：設(shè)點(diǎn)P（0，m），而點(diǎn)A、O的坐標(biāo)分別為：（3，4）、（0，0）， AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2， 當(dāng)AP＝AO時，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）； 當(dāng)AO＝PO時，同理可得：m＝±5； 當(dāng)AP＝PO時，同理可得：m； 綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）． 第17頁/共20頁 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法． 13．（2021·廣東云浮·一模）如圖，反比例函數(shù)圖像和一次函數(shù)經(jīng)過和． (1)求一次函數(shù)解析式： (2)一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，求證：． 【答案】(1)；(2)見解析 【分析】(1)把兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入兩解析式，即可求得a的值，再利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的關(guān)系式即可； (2)求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)特征可證得，即可證得結(jié)論． 【詳解】(1)解：∵(1,6)和(2,a)經(jīng)過反比例函數(shù)，∴，解得 ，∴N(2,3)， 又∵一次函數(shù)經(jīng)過M(1,6)和N(2,3)，∴ 得到，∴一次函數(shù)解析式為； (2)解：如圖：過M作MC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C；過點(diǎn)N作ND⊥x軸，垂足為點(diǎn)D； ∴ 在一次函數(shù)解析式中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=3，即A(0,9)，B(3,0),∴AO=9，BO=3, ∵M(jìn)(1,6)和N(2,3)，∴CO=6，MC=1,DO=2,ND=3, 第18頁/共20頁 ∴AC=AO-CO=9-6=3，BD=BO-DO=3-2=1,∴AC=ND=3，MC=BD=1, 在△APM和△NQB中， ，∴，∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的判定與性質(zhì)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法，將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長是解決問題的關(guān)鍵． 第19頁/共20頁 第20頁/共20頁