《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1巧用法則求導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算包括八個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，它們是導(dǎo)數(shù)概念的深化，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用那么在掌握和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則時，要注意哪些問題？有哪些方法技巧可以應(yīng)用？下面就以實(shí)例進(jìn)行說明1函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則(f(x)g(x)f(x)g(x)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)ln x；(2)f(x)cos x1.解(1)f(x).(2)f(x)sin x .點(diǎn)評記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是正確求解導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，此外函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則可以推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)2函數(shù)積的求導(dǎo)法則f

2、(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)x2ex；(2)f(x)(x1)(x2)(x3)解(1)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2ex.(2)f(x)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11.點(diǎn)評特別要注意：f(x)g(x)f(x)g(x)同時要記住結(jié)論：若C為常數(shù)，則Cf(x)Cf(x)，由此進(jìn)一步可以得到af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函數(shù)商的求導(dǎo)法則

3、(g(x)0)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x) .解(1)f(x)().(2)f(x)(tan x)().(3)因為f(x)，所以f(x)().點(diǎn)評應(yīng)在求導(dǎo)之前，先利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算，提高運(yùn)算效率4分式求導(dǎo)對于能夠裂項的分式型函數(shù)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個單項式的和差形式，然后再利用和差的導(dǎo)數(shù)公式來解決例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y.分析直接求導(dǎo)，或比較煩雜，或無從下手，這時，我們不妨利用數(shù)學(xué)運(yùn)算法則將其分解，那么“曙光就在前頭”解(1)因為yx1，所以y11.(2)因為yx2x3x4，所以y2x

4、3x24x3.點(diǎn)評本題啟示我們，對于某些函數(shù)式，我們應(yīng)先根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)貙瘮?shù)式中的項進(jìn)行合理的“拆”，然后“各個擊破”2利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一而導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法下面對“求過一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納1已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線f(x)x33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x知，曲線在點(diǎn)(1，1)處的斜率為kf(1)3.

5、所以切線方程為y(1)3(x1)，即y3x2.故選B.答案B2已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例2求過曲線f(x)x32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f(x0)3x2.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過點(diǎn)(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)或y(1)(2)(x)，即xy20或5x4y10.點(diǎn)評可以發(fā)現(xiàn)直線5x4y10并不以(1，1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過點(diǎn)(1

6、，1)，且以(，)為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)3已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解例3求過點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)相切的直線方程解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f(x0).所以切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切線過點(diǎn)(2,0)，把它代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，所以所求切線方程為y1(x1)，即xy20.點(diǎn)評點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性4求兩條曲線的公切線例4已知曲線C1：yx2與C2：yx24x4，直線l與C

7、1，C2都相切，求直線l的方程分析設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩個方程所表示的直線重合，建立方程組求解解設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，x)，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由C2：yx24x4，得y2x4，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y2(x22)xx4.因為兩切線重合，所以2x12(x22)且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直線l的方程為y0或y4x4.點(diǎn)評公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線重合的條件建立方程

8、組求解3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性常見題型1運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0或f(x)0，得單調(diào)區(qū)間例1求函數(shù)f(x)x(ex1)x2的單調(diào)區(qū)間解由已知，得當(dāng)f(x)(ex1)(x1)0時，有x0或x1.當(dāng)x0；當(dāng)1x0時，f(x)0時，f(x)0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,0)點(diǎn)評單調(diào)區(qū)間開閉不扣分，但定義域不取的數(shù)一定不能?。粩嚅_的單調(diào)區(qū)間一般不合寫，也不用“”連接，中間用“，”或“和”連接例2已知函數(shù)f(x)x23x2ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)

9、遞減區(qū)間為_分析先求函數(shù)f(x)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合定義域解f(x)0即可解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2x3.令f(x)0，即2x30且2x23x20，解得0x1時，ln x.分析可構(gòu)造函數(shù)f(x)ln x()，由于f(1)0，故若能證明f(x)為(1，)上的增函數(shù)，即證明在(1，)上，導(dǎo)函數(shù)f(x)0恒成立即可證明令f(x)ln x()，則有f(1)0.因為f(x)x0(x(1，)，所以函數(shù)f(x)為(1，)上的增函數(shù)，又f(1)0，所以當(dāng)x(1，)時，f(x)0恒成立，即ln x.點(diǎn)評證明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的一般方法：構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，x

10、(a，b)，分析F(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性及最小值與0的大小，進(jìn)而說明F(x)0在(a，b)內(nèi)恒成立即可3求參數(shù)的取值范圍例4已知函數(shù)f(x)x3ax21.(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析注意正確區(qū)分“在某區(qū)間單調(diào)”和“單調(diào)區(qū)間”的概念，避免混淆解(1)由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)可知，0與2是方程f(x)3x22ax0的兩根，故有3222a20，解得a3.(2)由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減可知，f(x)3x22ax0在(0,2)內(nèi)恒成立，即2a3x在區(qū)間(0,

11、2)內(nèi)恒成立因為x(0,2)，所以3x(0,6)，故2a6，即a3.經(jīng)驗證a3時滿足題意，故a的取值范圍為3，)點(diǎn)評若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，則有f(x)0(f(x)0)對xD恒成立，這類問題，通常利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，進(jìn)而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求一個函數(shù)在某區(qū)間上的最大(小)值問題求解也可根據(jù)所給區(qū)間是單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子區(qū)間求解4巧用導(dǎo)數(shù)求極值1函數(shù)的極值點(diǎn)的判定方法設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，判定f(x0)是極大(小)值點(diǎn)的方法：(1)如果在x0兩側(cè)f(x)符號相同，則x0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那

12、么f(x0)是極大值；(3)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值也就是說，極大值點(diǎn)可以看成是函數(shù)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點(diǎn)，極大值是極大值點(diǎn)附近曲線由上升到下降的過渡點(diǎn)的函數(shù)值極小值則是極小值點(diǎn)附近曲線由下降到上升的過渡點(diǎn)的函數(shù)值2極值常見題型詳解(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例1求函數(shù)f(x)xln x的極值點(diǎn)解f(x)ln x1，x0.而f(x)0ln x10x，f(x)0ln x100x0，f(x)在(0，)上是遞增的，無極值；若a0，令f(x)0，得x.當(dāng)x(0，)時，f(x)0，f(x)是遞增的；當(dāng)x(，)時，f(x)0時，f(x)的遞增區(qū)間為(0，)，遞減區(qū)間為(，)

13、，極大值為ln a1.點(diǎn)評本題通過求導(dǎo)，把問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式問題，需要對問題進(jìn)行討論，討論時需要全面，避免遺漏(3)極值問題的逆向考查例3已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D不存在解析由題意知f(x)3x22axb.所以解得或經(jīng)檢驗滿足題意，所以.故選A.答案A點(diǎn)評本題是已知極值求參數(shù)，逆向考查了極值的含義，解題關(guān)鍵是需要對所求參數(shù)進(jìn)行討論，是否滿足極值的條件如果不滿足，需要舍去5分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中如何應(yīng)用分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值或最值的問題中，那么如何確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)呢？1按導(dǎo)

14、數(shù)為零的根的大小來分類例1設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)2(xR)，其中aR且a0，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值解f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或x.當(dāng)a，即a0，x(，)時，f(x)0，x(a，)時，f(x)0，因此，函數(shù)f(x)在x處取得極小值a3，在xa處取得極大值0.當(dāng)a，即a0，x(，a)時，f(x)0，x(，)時，f(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，h(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增(2)當(dāng)a0時，由f(x)0，解得x11，x21，當(dāng)a，即x1x2時，h(x)0恒成立，此時f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0a10，x(0,1)

15、時，h(x)0，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x(1，1)時，h(x)0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)時，h(x)0，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，100，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x(1，)時，h(x)0，f(x)單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0a2時，方程g(x)0的根為x1ln 0，此時，若x(0，x2)，則g(x)0，故g(x)在區(qū)間(0，x2)內(nèi)為減函數(shù)所以x(0，x2)時，g(x)g(0)0，即f(x)ax，與題設(shè)f(x)ax相矛盾綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為

16、a2.點(diǎn)評本題對函數(shù)求導(dǎo)后應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)中含自變量部分的最值對a進(jìn)行分類討論小結(jié)通過以上幾例我們可以總結(jié)出分類討論的原則：(1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類要不重復(fù)、不遺漏；(3)當(dāng)討論的對象不止一種時，應(yīng)分層次進(jìn)行分類討論的一般步驟：先明確討論對象，確定對象的范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)，逐段分析，獲得階段性結(jié)果，最后歸納總結(jié)得出結(jié)論6導(dǎo)數(shù)計算中的易錯點(diǎn)1對定義理解不透例1已知函數(shù)f(x)3x42x35，則 _.錯解因為f(x)12x36x2，所以原式f(1)6.故填6.剖析在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量x的形式是多種多樣的，但不論x選擇哪種增量形式，相應(yīng)的y也應(yīng)選擇對應(yīng)的形式，本題y中x的增量為2x，則分母也

17、應(yīng)為2x.正解因為f(x)12x36x2，所以原式 22f(1)12.故填12.答案122對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤例2已知曲線yf(x)x33x，求過點(diǎn)A(2,2)且與該曲線相切的切線方程錯解因為點(diǎn)A(2,2)在曲線yf(x)x33x上，且f(x)3x23，所以f(2)9.所以所求切線方程為y29(x2)，即9xy160.剖析上述解法錯在對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率k應(yīng)是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)A(2,2)雖在曲線上，但不一定是切點(diǎn)，故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率k.正解設(shè)切點(diǎn)為P(x0，x3x0)，又y3x23.所以在點(diǎn)x0處的切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)又因為切線過點(diǎn)A(2,

18、2)，所以2(x3x0)(3x3)(2x0)，即(x02)2(x01)0，解得x02或x01.故切線方程為9xy160或y2.3求導(dǎo)時混淆了常量與變量例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)a2x2；(2)f(x)ex.錯解(1)f(x)(a2x2)2a2x.(2)f(x)(ex)(e)x(x)eexe.剖析(1)求導(dǎo)是對自變量的求導(dǎo)，要看清表達(dá)式中的自變量本題的自變量是x，而a是常量(2)中誤把常數(shù)e當(dāng)作了變量正解(1)f(x)(a2x2)2x.(2)f(x)(ex)e(x)e.4混淆“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”例4已知曲線f(x)2x33x，過點(diǎn)M(1，1)作曲線f(x)的切線，求此切

19、線方程錯解因為點(diǎn)M在曲線上，所以M為切點(diǎn)，又f(x)6x23，所以切線的斜率為kf(1)633，所以由點(diǎn)斜式可求得切線方程為y3x4.剖析錯解直接把M看成是切點(diǎn)，對于此類問題應(yīng)著重考慮點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則錯解中的方法就是正確的；否則，就要設(shè)出切點(diǎn)，由切點(diǎn)寫出切線方程，再將已知點(diǎn)代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到切線方程正解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為N(x0,2x3x0)，f(x)6x23，所以切線的斜率為kf(x0)6x3，所以切線方程為y(2x3x0)(6x3)(xx0)又點(diǎn)M在切線上，所以有1(2x3x0)(6x3)(1x0)，解得x01或x0，故切線方程為3xy40或3x2y10.5公式或法則記憶不

20、準(zhǔn)例5已知函數(shù)f(x)x2exln x3，則f(2)等于()A(ln 2)e23 B0C.e23 De23錯解因為f(x)(x2)(ex)(ln x)()(3)2xex，所以f(2)e23.故選C.剖析基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，是求較復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)，上述函數(shù)就是四個基本函數(shù)yex，yln x，yxu，yC的和與積構(gòu)成的，因此求導(dǎo)時需利用求導(dǎo)法則f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，而不是直接求兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積正解因為f(x)(x2)(exln x)()(3)2x(ex)ln xex(ln x)2xexln x，所以f(2)(ln 2)e23.故選A.答案A點(diǎn)評基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式中指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式相對較難，而在加、減、乘、除四種求導(dǎo)法則中一定要注意對乘、除兩種法則記憶的準(zhǔn)確性13