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2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題4 立體幾何 突破點9 空間幾何體表面積或體積的求解學案 文

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1、 突破點9 空間幾何體表面積或體積的求解 [核心知識提煉] 提煉1 求解幾何體的表面積或體積 (1)對于規(guī)則幾何體,可直接利用公式計算. (2)對于不規(guī)則幾何體,可采用割補法求解;對于某些三棱錐,有時可采用等體積轉換法求解. (3)求解旋轉體的表面積和體積時,注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形的應用. 提煉2 球與幾何體的外接與內切 (1)正四面體與球:設正四面體的棱長為a ,由正四面體本身的對稱性,可知其內切球和外接球的球心相同,則內切球的半徑r=a,外接球的半徑R=a. 圖9-1 (2)正方體與球:設正方體ABCD-A1

2、B1C1D1的棱長為a,O為其對稱中心,E,F(xiàn),H,G分別為AD,BC,B1C1,A1D1的中點,J為HF的中點,如圖9-1所示. ①正方體的內切球:截面圖為正方形EFHG的內切圓,故其內切球的半徑為OJ=; ②正方體的棱切球:截面圖為正方形EFHG的外接圓,故其棱切球的半徑為OG=; ③正方體的外接球:截面圖為矩形ACC1A1的外接圓,故其外接球的半徑為OA1=. [高考真題回訪] 回訪1 幾何體的表面積或體積 1.(2017·全國卷Ⅱ)如圖9-2,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為(  )

3、 圖9-2 A.90π         B.63π C.42π D.36π B [方法1:(割補法)如圖所示,由幾何體的三視圖,可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得. 將圓柱補全,并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知,該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的,所以該幾何體的體積V=π×32×4+π×32×6×=63π. 故選B. 方法2:(估值法)由題意,知V圓柱<V幾何體<V圓柱.又V圓柱=π×32×10=90π,∴45π<V幾何體<90π.觀察選項可知只有63π符合. 故選B.] 2.(2016·全國卷Ⅱ)如圖9-3是由圓柱與圓錐

4、組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(  ) 圖9-3 A.20π       B.24π C.28π D.32π C [由三視圖可知圓柱的底面直徑為4,母線長(高)為4,所以圓柱的側面積為2π×2×4=16π,底面積為π·22=4π;圓錐的底面直徑為4,高為2,所以圓錐的母線長為=4,所以圓錐的側面積為π×2×4=8π.所以該幾何體的表面積為S=16π+4π+8π=28π.] 3.(2015·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖9-4,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(  ) 圖9-4 A.        B. C.  

5、      D. D [由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分,如圖所示,截去部分是一個三棱錐.設正方體的棱長為1,則三棱錐的體積為 V1=××1×1×1=, 剩余部分的體積V2=13-=. 所以==,故選D.] 回訪2 球與幾何體的外接與內切 4.(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(  ) A.π B. C. D. B [設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1,由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半構成直角三角形. ∴r==.

6、∴圓柱的體積為V=πr2h=π×1=. 故選B.] 5.(2015·全國卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(  ) A.36π B.64π C.144π D.256π C [如圖,設球的半徑為R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=R2. ∵VO-ABC=VC-AOB,而△AOB面積為定值, ∴當點C到平面AOB的距離最大時,VO-ABC最大, ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時,體積VO-ABC最大為×R2×R=36, ∴R=6,∴球O的表面積為4πR2=4π×6

7、2=144π.故選C.] 6.(2013·全國卷Ⅰ)如圖9-5,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器厚度,則球的體積為(  ) 圖9-5 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 A [如圖,作出球的一個截面,則MC=8-6=2(cm),BM=AB=×8=4(cm).設球的半徑為R cm,則R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,∴R=5, ∴V球=π×53=π(cm3).] 熱點題型1 幾何體的表面積或體積 題型分析:解決此類題目,準確

8、轉化是前提,套用公式是關鍵,求解時先根據條件確定幾何體的形狀,再套用公式求解. 【例1】(1)(2017·黃山二模)一個幾何體的三視圖如圖9-6所示,則該幾何體的體積為(  ) 【導學號:04024087】 圖9-6 A.4      B.4 C.4 D. (2)(2016·全國卷Ⅲ)如圖9-7,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(  ) 圖9-7 A.18+36      B.54+18 C.90 D.81 (1)C (2)B [(

9、1)由三視圖可知該幾何體為四棱錐P-ABCD, 其中PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AD=2,BC=4,AD⊥AB,AP=2,AB=2,∴該幾何體的體積V=××2×2=4.故選C. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱,其中有兩個側面為矩形,另兩個側面為平行四邊形,則表面積為(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故選B.] [方法指津] 1.求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公式是關鍵所在.求三棱錐的體積,等體積轉化是常用的方法,轉化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面

10、上. (2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解. 2.根據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟 (1)根據給出的三視圖判斷該幾何體的形狀. (2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量. (3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解. [變式訓練1] (1)(2017·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖9-8所示,則該幾何體的體積為(  ) A.+ B.5+ C.5+ D.+ 圖9-8 (2)(2017·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖9-9所示,則該幾何體的表面積是(  ) 圖9-9 A.4

11、8+π B.48-π C.48+2π D.48-2π (3)(名師押題)如圖9-10,從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD -A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形.如果用圖示中這樣一個裝置來盛水,那么最多能盛的水的體積為________cm3. 圖9-10 (1)D (2)A (3)36 [(1)由三視圖知該幾何體是由一個長方體,一個三棱錐和一個圓柱組成,故該幾何體的體積為V=2×1×2+××1×1×2+×π×12×2=+. (2)該幾何體是正四棱柱中挖去了一個半球,正四棱柱的底面是正方形(邊長為2),高為5,半球的半徑是1,那么該幾何體的表面積為S=2

12、×2×2+2×4×5-π×12+2π×12=48+π,故選A. (3)最多能盛多少水,實際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積. 又V三棱錐C1-CD1B1=V三棱錐C-B1C1D1=××6=36(cm3),所以用圖示中這樣一個裝置來盛水,最多能盛36 cm3體積的水.] 熱點題型2 球與幾何體的切、接問題 題型分析:與球有關的表面積或體積求解,其核心本質是半徑的求解,這也是此類問題求解的主線,考生要時刻謹記.先根據幾何體的三視圖確定其結構特征與數(shù)量特征,然后確定其外接球的球心,進而確定球的半徑,最后代入公式求值即可;也可利用球的性質——球面上任意一點對直徑所張的角為直角,然后根據幾何體

13、的結構特征構造射影定理求解. 【例2】 (1)(2016·南昌二模)一個幾何體的三視圖如圖9-11所示,其中正視圖是正三角形,則該幾何體的外接球的表面積為(  ) 圖9-11 A. B. C. D. (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________. (1)D (2)36π [(1)由三視圖可知,該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC,其中HS是三棱錐的高,由三視圖可知HS=2,HA=HB=HC=2,故H為

14、△ABC外接圓的圓心,該圓的半徑為2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上,連接OB. 設球的半徑為R,則球心O到△ABC外接圓的距離為OH=|SH-OS|=|2-R|, 由球的截面性質可得R=OB==,解得R=,所以所求外接球的表面積為4πR2=4π×=.故選D. (2)如圖,連接OA,OB. 由SA=AC,SB=BC,SC為球O的直徑,知OA⊥SC,OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB. 設球O的半徑為r,則 OA=OB=r,SC=2r, ∴三棱錐S-ABC的體積 V=×·O

15、A=, 即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.] [方法指津] 解決球與幾何體的切、接問題的關鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關系,這就需要靈活利用球的截面性質以及組合體的截面特征來確定.對于旋轉體與球的組合體,主要利用它們的軸截面性質建立相關數(shù)據之間的關系;而對于多面體,應抓住多面體的結構特征靈活選擇過球心的截面,把多面體的相關數(shù)據和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來. [變式訓練2] (1)(2017·江西七校聯(lián)考)如圖9-12,ABCD是邊長為2的正方形,點E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點,將△ABE,△ECF,△FDA分別沿AE,EF,F(xiàn)A折起,使B,C,D三點重合于點P

16、,若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上,則該球的表面積是(  ) 圖9-12 A.6π B.12π C.18π D.9π (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O 的球面上,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,AA1=2,則該三棱柱的外接球的體積為(  ) 【導學號:04024088】 A. B. C. D.20π (1)C (2)B [(1)因為∠APE=∠EPF=∠APF=90°,所以可將四面體補成一個長方體(PA,PE,PF是從同一頂點出發(fā)的三條棱),則四面體和補全的長方體有相同的外接球,設其半徑為R,由題意知2R==3,故該球的表面積

17、S=4πR2=4π2=18π,故選C. (2)設△A1B1C1的外心為O1,△ABC的外心為O2,連接O1O2,O2B,OB,如圖所示. 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點. 在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=32+12-2×3×1×cos 60°=7, 所以BC=. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r=2O2B==,所以r==. 而球心O到截面ABC的距離d=OO2=AA1=1, 設直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R,由球的截面性質可得R2=d2+r2=12+2=,故R=, 所以該三棱柱的外接球的體積為V=R3=.故選B.] 13

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