《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1．7.1　定積分在幾何中的應(yīng)用 1．7.2　定積分在物理中的應(yīng)用 　1.應(yīng)用定積分求平面圖形的面積、變速直線運(yùn)動的路程及變力做功． 2．將實(shí)際問題抽象為定積分的數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用定積分的性質(zhì)來求解． 1．定積分與平面圖形面積的關(guān)系 (1)已知函數(shù)f(x)在[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，由直線y＝0，x＝a，x＝b與曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的面積為S，填表： f(x)的符號 平面圖形的面積與定積分的關(guān)系 f(x)≥0 S＝f(x)dx 續(xù)　表 f(x)的符號 平面圖形的面積與定積分的關(guān)系 f(x)<0 S＝－f(x)dx (2)一般地，如圖，如果在公共的積

2、分區(qū)間[a，b]上有f(x)>g(x)，那么直線x＝a，x＝b與曲線y＝f(x)，y＝g(x)圍成的平面圖形的面積為S＝[f(x)－g(x)]dx． 2．定積分在物理中的應(yīng)用 (1)做變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝v(t)dt． (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所做的功為W＝Fs；而若是變力所做的功，W等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即W＝F(x)dx． 1．由一條曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b，

3、y＝0(b>a)所圍圖形的面積 (1)如圖①所示，f(x)>0，f(x)dx>0，所以所求面積S＝f(x)dx. (2)如圖②所示，f(x)<0，f(x)dx<0，所以所求面積S＝－f(x)dx. (3)如圖③所示，當(dāng)a≤x≤c時(shí)，f(x)≥0，f(x)dx≥0；當(dāng)c≤x≤b時(shí)，f(x)≤0，f(x)dx≤0. 所以所求面積S＝f(x)dx＋|f(x)dx| ＝f(x)dx－f(x)dx. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．由兩條曲線y＝f(x)，y＝g(x)和直線x＝a，x＝b(b>a)所圍圖形的面積 (1)如圖④所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面積S＝[f

4、(x)－g(x)]dx. (2)如圖⑤所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面積S＝f(x)dx＋|g(x)dx|＝[f(x)－g(x)]dx. (3)如圖⑥所示，所求面積S＝S1＋S2＝[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx＝|f(x)－g(x)|dx. 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)f(x)＜0時(shí)，f(x)與x＝a，x＝b(a

5、 由直線x＝，x＝2，曲線y＝及x軸所圍圖形的面積為(　　) A. 　　　　　　　　　　 B. C. ln 2 D．2ln 2 答案：D 已知一質(zhì)點(diǎn)做自由落體運(yùn)動，其速度v＝gt，則質(zhì)點(diǎn)從t＝0到t＝2所經(jīng)過的路程為(　　) A．g B．2g C．3g D．4g 答案：B 一物體在F(x)＝5x＋3(單位：N)的作用下，沿與力F相同的方向，從x＝0處運(yùn)動到x＝5(單位：m)處，則F(x)做的功等于________J. 答案：77.5 探究點(diǎn)1　不需分割型圖形面積的求法 　由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(　　) A.　　　　　　

6、　　　　　　 B．4 C. D．6 【解析】　作出曲線y＝，直線y＝x－2的草圖，如圖所示，所求面積為圖中陰影部分的面積．由可得x＝4，所以由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(－x＋2)dx＝|＝. 【答案】　C 圖形面積不需分割求解的解題技巧 對于簡單圖形的面積求解，我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義．先確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再確定被積函數(shù)，一般是上方曲線與下方曲線對應(yīng)函數(shù)的差．這樣求面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分問題了． [注意]　注意區(qū)別定積分與利用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)、可為零，而平面圖形的面積總

7、是非負(fù)的．　 　求曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積． 解：畫出圖形如圖中陰影部分所示，由得x1＝0，x2＝2，故陰影部分的面積S＝[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝(6x－3x2)dx＝(3x2－x3)|＝4. 探究點(diǎn)2　需分割型圖形面積的求法 　求由曲線y＝x2＋1，直線x＋y＝3，x軸，y軸所圍成的平面圖形的面積． 【解】　作出曲線y＝x2＋1，直線x＋y＝3的草圖，如圖所示，所求面積為圖中陰影部分的面積，由得第一象限中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1， 故所求面積S＝S1＋S2＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝|＋|＝. 圖形面積需分割求解的解題

8、技巧 由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間上位于上方和下方的曲線可能不同．求解時(shí)，根據(jù)圖形，求出需用到的曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間上平面圖形的面積再求和，注意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是“上減下”．　 　求由曲線y＝及直線y＝x，y＝3所圍成的平面圖形的面積． 解：作出曲線y＝(在第一象限)，直線y＝x，y＝3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積． 由得故A； 由，得，或(舍去)，故B(1，1)； 由，得，故C(3，3)． 故所求面積S＝S1＋S2＝dx＋(3－x)dx＝(3x－ln x) ＋|＝4－ln 3. 探究點(diǎn)3　利用定積分求變

9、速直線運(yùn)動的路程、位移 　一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運(yùn)動，求： (1)在t＝4 s時(shí)的位置； (2)在t＝4 s時(shí)運(yùn)動的路程． 【解】　(1)在t＝4 s時(shí)該點(diǎn)的位置為 (t2－4t＋3)dt＝|＝(m)， 即在t＝4 s時(shí)該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m. (2)因?yàn)関(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在區(qū)間[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0， 在區(qū)間[1，3]上，v(t)≤0，所以在t＝4 s時(shí)運(yùn)動的路程為 s＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t

10、＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)． 求變速直線運(yùn)動物體的路程(位移)的方法 (1)用定積分計(jì)算做直線運(yùn)動物體的路程，要先判斷速度v(t)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)是否為正值，若v(t)>0，則運(yùn)動物體的路程為s＝v(t)dt；若v(t)<0，則運(yùn)動物體的路程為s＝|v(t)|dt＝－v(t)dt. (2)若已知做直線運(yùn)動物體的速度—時(shí)間圖象，可以先求出速度—時(shí)間函數(shù)式，再轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算路程；也可以直接計(jì)算曲邊梯形的面積得到路程；若速度—時(shí)間函數(shù)是分段函數(shù)，要利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行分段積分再求和． (3)注意路程與位移的區(qū)別．　 　1.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)＝t2－

11、t＋2，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，則它在t∈[1，2]內(nèi)的位移為________． 解析：由定積分的意義知，質(zhì)點(diǎn)在t∈[1，2]內(nèi)的位移為 (t2－t＋2)dt＝|＝. 答案： 2.一物體做變速直線運(yùn)動，其v-t曲線如圖所示，求該物體在～6 s間的運(yùn)動路程． 解：v(t)＝由變速直線運(yùn)動的路程公式，得s＝ v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt＝t2＋2t|＋|＝(m)． 探究點(diǎn)4　利用定積分求變力做功問題 　一物體在變力F(x)＝(N)作用下沿坐標(biāo)平面內(nèi)x軸正方向由x＝8(m)處運(yùn)動到x＝18(m)處，求力F(x)所做的功． 【解】　如圖，陰影部分的面積即F(x)所做的功． 因?yàn)?/p>

12、W＝dx ＝－36x－1 ＝(－36×18－1)－(－36×8－1) ＝(－2)－＝. 所以F(x)所做的功為 J. 求變力做功的方法步驟 (1)首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移． (2)利用變力做功的公式W＝F(x)dx計(jì)算． (3)注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．　 　1.一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F(x)相同的方向從x＝1運(yùn)動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為(　　) A．8 J　　　　　　　　　　　 B．10 J C．12 J D．14 J 解析：選D.由變

13、力做功公式，得到W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)|＝14(J)．故應(yīng)選D. 2．設(shè)有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功． 解：設(shè)x表示彈簧伸長的量(單位：m)，F(xiàn)(x)表示加在彈簧上的力(單位：N)． 由題意，得F(x)＝kx， 且當(dāng)x＝0.05 m時(shí)，F(xiàn)(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，所以k＝2 000.所以F(x)＝2 000x. 所以使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功為 W＝2 000xdx＝1 000x2＝22.5(J

14、)． 1．如圖所示，陰影部分的面積是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2－2 C. D. 解析：選C.S＝(3－x2－2x)dx ＝|＝＋9＝， 故應(yīng)選C. 2．一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的單位：N，位移單位：m)的作用下沿與力F(x)相同的方向由x＝5 m運(yùn)動到x＝10 m，則F(x)做的功為(　　) A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J 解析：選C.依題意F(x)做的功是 W＝F(x)dx＝(3x2－2x＋5)dx ＝(x3－x2＋5x)＝825(J)． 3．一輛汽車的速度—時(shí)間曲線如圖所示，則汽

15、車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為________． 解析：由速度—時(shí)間曲線得 v(t)＝ 所以汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為 3tdt＋dt＝t2＋ ＝150＋750＝900 m. 答案：900 m 4．如圖所示，曲線y＝與直線y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積為________． 解析：由 得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，1)，(0，0)，(3，－1)， 所以S＝dx ＋dx ＝dx＋dx ＝|＋| ＝＋＝. 答案： 　　　　　　　 知識結(jié)構(gòu) 深化拓展 三種“y型”區(qū)域面積的求法 “y型”區(qū)域面積的求法常見的有以下三種： (1)由一條曲線y＝f(x)(其

16、中x≥0)與直線y＝a，y＝b(a

17、為積分變量，需要把圖形分割求解時(shí)，則可考慮以y為積分變量時(shí)，計(jì)算是否簡便. [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成圖形的面積等于(　　) A.(x－x3)dx　　　　　　 B.(x3－x)dx C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx 解析：選C.由求得直線y＝x與曲線y＝x3的交點(diǎn)分別為(－1，－1)，(1，1)，由于兩函數(shù)都是奇函數(shù)，根據(jù)對稱性得S＝2(x－x3)dx. 2．已知自由落體運(yùn)動的速度v＝gt(g是常數(shù))，則做自由落體運(yùn)動的物體從時(shí)刻t＝0到t＝t0所走的路程為(　　) A. B．gt C. D. 解析：選C.由定積分的物理

18、意義，得所走的路程為s＝gtdt＝gt2＝gt. 3．如圖所示，陰影區(qū)域是由函數(shù)y＝cos x的一段圖象與x軸圍成的封閉圖形，那么這個(gè)陰影區(qū)域的面積是(　　) A．1 B．2 C. D．π 解析：選B.這個(gè)陰影區(qū)域的面積是S＝－ cos xdx＝2. 4.如圖中陰影部分的面積是(　　) A．e＋ B．e＋－1 C．e＋－2 D．e－ 解析：選C.陰影部分的面積S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|＝e＋－2. 5．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.作出曲線y＝x2，y＝x3的草圖，所求

19、面積為圖中陰影部分的面積． 解方程組得曲線y＝x2，y＝x3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1. 因此，所求圖形的面積為S＝(x2－x3)dx＝|＝－＝. 6．若1 N的力能使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時(shí)克服彈力所做的功為________． 解析：彈簧的伸長與所受到的拉力成正比，設(shè)F＝kx，求得k＝50，所以F(x)＝50x， 所以W＝50xdx＝25x2|＝0.36(J)． 答案：0.36 J 7．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，則過C，M，D三點(diǎn)的拋物線與CD圍成的陰影部分的面積是________． 解析：由題意，建立如圖所示的平面直角坐

20、標(biāo)系， D(2，1)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則p＝，所以y＝±，所以S＝2dx＝2××x|＝. 答案： 8．如圖，已知點(diǎn)A，點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)在曲線y＝x2上，若陰影部分面積與△OAP面積相等，則x0＝________． 解析：由題意得x2dx＝××x0，即x＝x0， 解得x0＝. 答案： 9．求由拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積． 解：法一：由解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，如圖，所以所求面積為A＝dx＋(6－x)dx＝2×x|＋|＝×2＋(36－18)－(12－2)＝. 法二：由 解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)

21、，如圖，所以所求面積為 A＝dy＝| ＝24－8－×43＝. 10．A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t m/s，到C點(diǎn)的速度為24 m/s，從C點(diǎn)到B站前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t) m/s，在B站恰好停車，試求： (1)A，C間的距離； (2)B，D間的距離． 解：(1)設(shè)A到C的時(shí)間為t1s，則1.2t1＝24，解得t1＝20.則AC＝1.2tdt＝0.6t2|＝240(m)． 即A，C間的距離為240 m. (2)設(shè)D到B的時(shí)間為t2 s， 則24－1.2t2

22、＝0，解得t2＝20， 則BD＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|＝240(m)． 即B，D間的距離為240 m. [B　能力提升] 11．如圖，求由曲線y＝－x2，4y＝－x2及直線y＝－1所圍圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由圖形的對稱性知，所求圖形面積為位于y軸右側(cè)圖形面積的2倍． 法一：由得C(1，－1)．同理得D(2，－1)． 則所求圖形的面積 S＝2 ＝2 ＝2 ＝. 法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．則所求圖形的面積為S＝2(2－)dy＝2dy＝2××(－y)|＝. 12．過原點(diǎn)的直線l

23、與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為a3，則直線l的方程為________． 解析：設(shè)直線l的方程為y＝kx， 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，圖形面積 S＝[kx－(x2－2ax)]dx＝|＝－＝＝a3， 所以k＝a，所以直線l的方程為y＝ax. 答案：y＝ax 13．求正弦曲線y＝sin x與余弦曲線y＝cos x與直線x＝－，x＝圍成的圖形的面積． 解：如圖，畫出y＝sin x與y＝cos x在上的圖象，它們共有三個(gè)交點(diǎn)，分別為， ，. 在上，cos x>sin x， 在上，sin x>cos x， 所以所求的面積S＝ (cos

24、 x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx＝2 (sin x－cos x)dx ＝－2(sin x＋cos x) ＝4. 14．(選做題)如圖，設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2，4)移動，記直線OP與曲線y＝x2所圍成的圖形的面積為S1，直線OP、直線x＝2與曲線y＝x2所圍成的圖形的面積為S2. (1)當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)當(dāng)S1＋S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值． 解：(1)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(00. 所以當(dāng)t＝時(shí)，S1＋S2有最小值－，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)． 15