《2017-2018學年高中數學 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.4 逆變換與逆矩陣旋轉變換教學案 蘇教版選修4-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數學 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.4 逆變換與逆矩陣旋轉變換教學案 蘇教版選修4-2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2．2.4　旋轉變換 [對應學生用書P14]　 1．旋轉變換 將一個圖形F繞某個定點O旋轉角度θ所得圖形F′的變換稱為旋轉變換．其中點O稱為旋轉中心，角度θ稱為旋轉角． 2．旋轉變換矩陣 像這樣的矩陣，稱為旋轉變換矩陣． 旋轉變換只改變幾何圖形的相對位置，不會改變幾何圖形的形狀． [對應學生用書P14] 點在旋轉變換作用下的象 [例1]　　在直角坐標系xOy內，將每個點繞原點O按逆時針方向旋轉135°的變換稱為旋轉角是135°的旋轉變換． (1)試寫出這個旋轉變換的坐標變換公式和相應的矩陣； (2)求點A(4,8)在這個旋轉變換作用下的象A

2、′. [思路點撥]　根據其坐標變換公式寫出旋轉變換對應的矩陣后求解． [精解詳析]　(1)該變換的坐標變換公式為： ，該變換對應的矩陣為： ＝. (2)由(1)知，當x＝4，y＝8時， x′＝－6，y′＝－2， 所以點A(4,8)在這個旋轉變換作用下的象為 A′(－6，－2)． 由旋轉角θ的大小，寫出旋轉變換矩陣是解決這類問題的關鍵．逆時針旋轉時，θ為正值，順時針方向旋轉時，θ為負值． 1．求出△ABC分別在M1＝，M2＝，M3＝對應的變換作用下的圖形這里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)． 解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→

3、C′(－1，－1)． 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)． 在M3下，A→A(0,0)，B→B(，)，C→C(0，)． 圖形分別為 2．在直角坐標系xOy內，將每個點繞坐標原點O按順時針方向旋轉60°的變換稱為旋轉角為－60°的旋轉變換，求點A(－1,0)在這個旋轉變換作用下得到的點A′的坐標． 解：由題意得旋轉變換矩陣為 ＝， 故對應的坐標變換公式為. 令x＝－1，y＝0得. 所以所求的點A′的坐標為. 曲線在旋轉變換作用下的象 [例2]　已知曲線C：x2＋y2＝2，將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉60°后，求得到的

4、曲線C′的方程． [思路點撥]　先求出旋轉變換矩陣，再根據變換公式求曲線方程． [精解詳析]　旋轉變換對應的矩陣 M＝＝， 設P(x0，y0)為曲線C上任意的一點，它在矩陣M對應的變換作用下變?yōu)镻′(x，y)． 則有 ＝， 故 因為點P(x0，y0)在曲線C：x2＋y2＝2上， 所以x＋y＝2， 即 2＋2＝2， ∴x′＋y′＝2. 從而曲線C′的方程為x2＋y2＝2. 理解與掌握旋轉變換對應的變換矩陣和坐標變換公式是解答該類問題的關鍵，對于特殊圖形的旋轉變換，也可根據數形結合直接得出，如本例中，曲線C是以原點為圓心的圓，所以它不管旋轉多少度，所得的圖形仍是其自身．

5、 3．將雙曲線C：x2－y2＝1上的點繞原點逆時針旋轉45°，得到新圖形C′，試求C′的方程． 解：根據題意，得旋轉變換矩陣 M＝＝， 任意選取雙曲線x2－y2＝1上的一點P(x0，y0)，它在變換作用下變?yōu)镻′(x，y)， 則有 那么 又因為點P在曲線x2－y2＝1上， 所以x－y＝1， 即有(x＋y)2－(y－x)2＝1， 整理可得2xy＝1， 所以所求C′的方程為xy＝. 4．已知橢圓Γ：＋＝1，試求該曲線繞逆時針方向旋轉90°后所得到的曲線，畫出示意圖． 解：設橢圓與坐標軸的交點分別為A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如圖所示)．

6、 因為繞原點逆時針旋轉90°的變換所對應的矩陣為 M＝＝. 所以 ＝， ＝， ＝， ＝. 故點A，B，C，D在旋轉變換M的作用下分別變?yōu)辄cA′(0，－2)，B′(，0)，C′(0,2)，D′(－，0)，從而橢圓曲線Γ：＋＝1在逆時針旋轉90°后所成的曲線為橢圓曲線Γ ′：＋＝1. 1．若點A在矩陣對應的變換作用下得到的點為(1,0)，求α. 解：由 ＝， 得 ∴ ∴(k∈Z) ∴(k∈Z) ∴α＝－＋2kπ(k∈Z)． 2．設點P的坐標為(1，－2)，T是繞原點逆時針旋轉的旋轉變換，求旋轉變換T對應的矩陣A，并求點P在旋轉變換T作用下得到的點P′

7、的坐標． 解：由題意知旋轉變換矩陣 A＝＝ 設P′(x′，y′)，則 ＝ ∴即P′. 3．已知曲線C：xy＝1. (1)將曲線C繞坐標原點逆時針方向旋轉45°后，求得到的曲線C′的方程； (2)求曲線C′的焦點坐標和漸近線的方程． 解：(1)由題設知， M＝＝. 由＝ ＝， 得解得代入xy＝1， 得曲線C′的方程為y2－x2＝2. (2)由(1)知曲線C′的焦點為(0,2)，(0，－2)，漸近線方程為y＝±x. 4．求直線y＝x繞原點逆時針旋轉后所得的直線的方程． 解：直線y＝x的傾斜角為，繞原點逆時針旋轉后所得的直線的傾斜角為，故所求的直線方程為x＝0. 5．

8、將拋物線E：y2＝4x繞它的頂點逆時針旋轉60°，得到曲線E′.求曲線E′的焦點坐標和準線方程． 解：已知拋物線y2＝4x的焦點坐標為F(1,0)，準線方程l：x＝－1.旋轉變換對應的矩陣為. 設點P(x，y)為變換前坐標系中任意一點，經變換后得到P′(x′，y′)，∴(1) 將x＝1，y＝0代入(1)式得 由(1)消去y，并將x＝－1代入，得x′＋y′＝－2. ∴曲線E′仍為拋物線，它的焦點坐標F′，準線方程l′：x＋y＋2＝0. 6．已知橢圓＋＝1經過矩陣M對應的變換作用下變?yōu)闄E圓＋＝1，求變換矩陣M. 解：將橢圓＋＝1變換為橢圓＋＝1，可以伸壓變換，可以是反射變換(關于原點

9、成中心反射或關于直線y＝x與y＝－x成軸對稱)，還可以是旋轉變換(繞原點旋轉90°)，其中反射與旋轉較為方便，所以矩陣M可以是或或或等． 7．已知橢圓C：x2＋y2＋xy＝3，將曲線C繞原點O順時針旋轉，得到橢圓C′.求： (1)橢圓C′的標準方程； (2)橢圓C的焦點坐標． 解：(1)矩陣A＝， 設橢圓C上的點P(x，y)變換后為P′(x′，y′)， 則 ＝， 故 代入x2＋y2＋xy＝3中， 得(x′－y′)2＋(x′＋y′)2＋(x′2－y′2)＝3. ∴橢圓C′的方程為＋＝1. (2)∵橢圓C′的焦點坐標為(0，±2)， ∴橢圓C的焦點坐標為F1(－，)，F2(，－)． 8．已知點A(3,4)，點A繞原點逆時針旋轉60°后得到的對應點為B，求點B的坐標，并求出線段OA旋轉過程中所掃描過的圖形的面積． 解：由題意可得旋轉變換矩陣為 M＝＝， 對應的坐標變換公式為 可得 即點B的坐標為， 由于線段OA旋轉過程中所掃描過的圖形是半徑為OA，圓心角為的扇形， 而OA＝＝5， 所以相應的面積為S＝××52＝π. 8