《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、一 數(shù)學(xué)歸納法 對應(yīng)學(xué)生用書P39數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念：先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n01)時命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明(3)數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟：證明當(dāng)n取第一個值n0(如取n01或2等)時命題正確；假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時命題也正確由此可以斷定，對于任意不小于n0的正整數(shù)n，命題都正確 對應(yīng)學(xué)生用書P39利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式例1證明：當(dāng)n2，nN時，.思路點撥注意到這是

2、與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊.當(dāng)n2時，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時等式成立，即：(1)當(dāng)nk1時，.當(dāng)nk1時，等式也成立，由(1)(2)知，對任意n2，nN等式成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點：一是要準確表述nn0時命題的形式，二是要準確把握由nk到nk1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時，必須使用歸納假設(shè)1在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意的正偶數(shù)n，均有12成立時，(1)第一步檢驗的初始值n0是什么？(2)第二步歸納假設(shè)n2k時(kN)等式成立，需證明n為何值時，方具有遞推性；(3)若第二步歸納假設(shè)nk

3、(k為正偶數(shù))時等式成立，需證明n為何值時，等式成立解：(1)n0為2.此時左邊為1，右邊為2.(2)假設(shè)n2k(kN)時，等式成立，就需證明n2k2(即下一個偶數(shù))時，命題也成立(3)若假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時，等式成立，就需證明nk2(即k的下一個正偶數(shù))時，命題也成立2求證：1(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時等式成立，即1.則當(dāng)nk1時，1.這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對任何xN等式都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除思路點撥本題是與正整數(shù)有關(guān)的命題，直接分解出

4、因式(xy)有困難，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n1時，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1，kN)時，x2ky2k能被xy整除，那么當(dāng)nk1時，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n命題均成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這就往往要涉及到“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧，湊出nk時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問

5、題得證3用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)7n1(nN)能被9整除證明：當(dāng)n1時，47127能被9整除命題成立假設(shè)nk時命題成立，即(3k1)7k1能被9整除，當(dāng)nk1時，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由歸納假設(shè)(3k1)7k1能被9整除，又因為 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1時命題成立則可知對所有正整數(shù)n命題成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(3x)n(nN)能被x2整除證明：(1)n1時，1(3x)(x2)，能被x2整除，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)

6、時，1(3x)n能被x2整除，則可設(shè)1(3x)k(x2)f(x)(f(x)為k1次多項式)，當(dāng)nk1時，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即當(dāng)nk1時命題成立由(1)(2)可知，對nN，1(3x)n能被x2整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例3平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這n條直線把平面分割成(n2n2)個區(qū)域思路點撥用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，關(guān)鍵是考慮：k條直線將平面分成的部分數(shù)與k1條直線將平面分成的部分數(shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以

7、實施從假設(shè)到nk1時的證明證明(1)當(dāng)n1時，一條直線把平面分成兩個區(qū)域，又(1212)2，n1時命題成立(2)假設(shè)nk時，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2k2)個區(qū)域那么當(dāng)nk1時，k1條直線中的k條直線把平面分成了(k2k2)個區(qū)域，第k1條直線被這k條直線分成k1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了k1個區(qū)域，所以k1條直線把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2個區(qū)域nk1時命題也成立由(1)(2)知，對一切的nN，此命題均成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一定要清楚從nk到nk1時，新增加的量是多少一般地，證明第二步時，常用的方法是加1法，即在原來k

8、的基礎(chǔ)上，再增加一個，當(dāng)然我們也可以從k1個中分出1個來，剩下的k個利用假設(shè)5求證：凸n邊形對角線條數(shù)f(n)(nN，n3)證明：(1)當(dāng)n3時，即f(3)0時，三角形沒有對角線，命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k3)時命題成立，即凸k邊形對角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個新頂點Ak1，得到凸k1邊形A1A2AkAk1，Ak1依次與A2，A3，Ak1相連得到對角線k2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對角線，則凸k1邊形的對角線條數(shù)為：f(k)k21k1f(k1)，即當(dāng)nk1時，結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，命題對任何nN，n3都成立6求證：平面內(nèi)有n(n2

9、)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過同一點，求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)證明：(1)當(dāng)n2時，兩條直線不平行，彼此互相分割成4條射線，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，命題成立，即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)那么nk1時，取出其中一條直線為l，其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)直線l把這k條直線又一分為二，多出k條線段(或射線)；l又被這k條直線分成k1部分，所以這k1條直線彼此互相分割成k2kk1(k1)2條線段(或射線)，即nk1時，命題成立由(1)(2)知，命題成立 對應(yīng)學(xué)生用書P411數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗證了n1時命題正確，假

10、定nk時命題正確，此時k的取值范圍是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1.答案：C2某個命題：(1)當(dāng)n1時，命題成立，(2)假設(shè)nk(k1，kN)時成立，可以推出nk2時也成立，則命題對_成立()A正整數(shù) B正奇數(shù)C正偶數(shù) D都不是解析：由題意知，k1時，k23；k3時，k25，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立答案：B3設(shè)f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因為f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).答案：D4如果1232343

11、45n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對一切正整數(shù)n都成立，a，b的值可以等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3解析：令n1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可答案：D5觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個式子應(yīng)為_答案：14916(1)n1n2(1)n16用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”時，若n1，則左端應(yīng)為_解析：n1時，左端應(yīng)為144.答案：47記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時，增加了一個三角形圖形故f(k1)f(k).答案：8設(shè)aN，

12、nN，求證：an2(a1)2n1能被a2a1整除證明：(1)當(dāng)n1時，a3(a1)3a(a1)a2a(a1)(a1)2(2a1)(a2a1)結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立，即ak2(a1)2k1能被a2a1整除，那么nk1時，有a(k1)2(a1)2(k1)1aak2(a1)2(a1)2k1aak2(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak2(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.因為ak2(a1)2k1，a2a1均能被a2a1整除，又aN，故a(k1)2(a1)2(k1)1能被a2a1整除，即當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立由(1)(2)可知，原結(jié)論成立9有n個圓，任意兩個圓

13、都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)1122，所以n1時命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時命題成立即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分則nk1時，在k1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.當(dāng)nk1時，命題成立綜合(1)(2)可知，對一切nN，命題成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明nN時，(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2n1x1).證明：(1)當(dāng)n1時，左邊2cos x1，右邊2cos x1，即左邊右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，命題成立，即(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1).則當(dāng)nk1時，左邊(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1)(2cos 2kx1)(2cos 2kx1).nk1時命題成立由(1)(2)可知，對nN時命題成立9