《2017-2018學年高中數學 第三章 基本初等函數（Ⅰ）3.1.2 第2課時 指數函數及其性質的應用學案 新人教B版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數學 第三章 基本初等函數（Ⅰ）3.1.2 第2課時 指數函數及其性質的應用學案 新人教B版必修1（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 3.1.2 第2課時　指數函數及其性質的應用 [學習目標]　1.理解指數函數的單調性與底數的關系.2.能運用指數函數的單調性解決一些問題. [知識鏈接] 1.函數y＝ax(a＞0且a≠1)恒過點(0,1)，當a＞1時，單調遞增，當0＜a＜1時，單調遞減. 2.復合函數y＝f(g(x))的單調性：當y＝f(x)與u＝g(x)有相同的單調性時，函數y＝f(g(x))單調遞增，當y＝f(x)與u＝g(x)的單調性相反時，y＝f(g(x))單調遞減，簡稱為同增異減. [預習導引] 1.函數y＝ax與y＝a－x(a＞0，且a≠1)的圖象關于y軸對稱. 2.形如y＝af(x)(a＞

2、0，且a≠1)函數的性質 (1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域. (2)當a＞1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0＜a＜1時，函數y＝af(x)與函數y＝f(x)的單調性相反. 3.形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函數是一種指數型函數，這是一種非常有用的函數模型. 4.設原有量為N，每次的增長率為p，經過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝N(1＋p)x(x∈N). 要點一　利用指數函數的單調性比較大小 例1　比較下列各組數的大?。? (1)1.9－π與1.9－3；(2)與0.70.3； (3)0.60.4與0.40.

3、6. 解　(1)由于指數函數y＝1.9x在R上單調遞增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3. (2)因為函數y＝0.7x在R上單調遞減，而2－≈0.267 9＜0.3，所以＞0.70.3. (3)因為y＝0.6x在R上單調遞減，所以0.60.4＞0.60.6；又在y軸右側，函數y＝0.6x的圖象在y＝0.4x的圖象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6. 規(guī)律方法　1.對于底數相同但指數不同的兩個冪的大小的比較，可以利用指數函數的單調性來判斷. 2.比較冪值，若底數不相同，則首先考慮能否化為同底數，然后根據指數函數的性質得出結果；不能化成同底數的

4、，要考慮引進第三個數(如0或1等)分別與之比較，借助中間值比較. 跟蹤演練1　已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關系是(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案　D 解析　因為函數y＝0.8x在R上單調遞減，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因為1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b. 要點二　指數型函數的單調性 例2　判斷f(x)＝的單調性，并求其值域. 解　令u＝x2－2x，則原函數變?yōu)閥＝u. ∵u＝

5、x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上遞減， ∴y＝在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函數的值域為(0,3]. 規(guī)律方法　1.關于指數型函數y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a的大小；二是f(x)的單調性，它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成. 2.求復合函數的單調區(qū)間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調性，求出y＝f

6、[φ(x)]的單調性. 跟蹤演練2　求函數y＝的單調區(qū)間. 解　函數y＝的定義域是R.令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，則y＝2u.當x∈(－∞，1]時，函數u＝－x2＋2x為增函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝在(－∞，1]上是增函數. 當x∈[1，＋∞)時，函數u＝－x2＋2x為減函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝在[1，＋∞)上是減函數. 綜上，函數y＝的單調增區(qū)間是(－∞，1]，單調減區(qū)間是[1，＋∞). 要點三　指數函數的綜合應用 例3　已知函數f(x)＝. (1)證明f(x)為奇函數. (2)判斷f(x)的單調性，并用定義加以證明. (3)求f(

7、x)的值域. (1)證明　由題知f(x)的定義域為R， f(－x)＝＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數. (2)解　f(x)在定義域上是增函數.證明如下： 任取x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x2)－f(x1)＝－ ＝(1－)－(1－) ＝. ∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0，3＋1＞0， ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)為R上的增函數. (3)解　f(x)＝＝1－， ∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0， ∴－1＜1－＜1， 即f(x)的值域為(－1,1). 規(guī)律方法　指數函數是一種具體的初等

8、函數，常與函數的單調性、奇偶性等知識點融合在一起進行考查，按照原有的單調性、奇偶性的解決辦法分析、解決問題即可. 跟蹤演練3　設a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函數. (1)求a的值； (2)求證f(x)在(0，＋∞)上是增函數. (1)解　依題意，對一切x∈R，有f(x)＝f(－x)， 即＋＝＋aex， ∴＝0對一切x∈R成立.由此得到a－＝0， 即a2＝1.又a＞0，∴a＝1. (2)證明　設0＜x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝ex1－e＋－＝(e－e)·＝(e－e). ∵0＜x1＜x2，∴e＞e，∴e－e＞0. 又1－e＜0，e＞0，∴f(x1)－f(x2)

9、＜0. 即f(x)在(0，＋∞)上是增函數. 1.函數y＝1－x的單調遞增區(qū)間為(　　) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1) 答案　A 解析　定義域為R. 設u＝1－x，y＝u. ∵u＝1－x在R上為減函數. 又∵y＝u在(－∞，＋∞)為減函數， ∴y＝1－x在(－∞，＋∞)是增函數， ∴選A. 2.若2a＋1＜3－2a，則實數a的取值范圍是(　　) A.(1，＋∞) B. C.(－∞，1) D. 答案　B 解析　原式等價于2a＋1＞3－2a，解得a＞. 3.設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1

10、.5，則(　　) A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2 答案　D 解析　40.9＝21.8,80.48＝21.44，()－1.5＝21.5， 根據y＝2x在R上是增函數， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y1＞y3＞y2，故選D. 4.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20 min分裂一次，即由1個細菌分裂成2個細菌，經過3 h，這種細菌由1個可繁殖成________個. 答案　512 解析　3 h＝9×20 min，即經過9次分裂，可分裂為29＝512個. 5.已知函數f(x)＝a－，若f(x)為奇函數，則a＝__

11、______. 答案　 解析　∵函數f(x)為奇函數，定義域為R ∴f(0)＝a－＝0. ∴a＝. 1.比較兩個指數式值大小的主要方法 (1)比較形如am與an的大小，可運用指數函數y＝ax的單調性. (2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am＜c且c＜bn，則am＜bn；若am＞c且c＞bn，則am＞bn. 2.指數函數單調性的應用 (1)形如y＝af(x)的函數的單調性：令u＝f(x)，在f(x)的單調區(qū)間[m，n]上，如果兩個函數y＝au與u＝f(x)的單調性相同，則函數y＝af(x)在[m，n]上是增函數；如果兩者的單調性相異(即一增一減)，則函數y＝af(x)在[m，n]上是減函數. (2)形如ax＞ay的不等式，當a＞1時，ax＞ay?x＞y；當0＜a＜1時，ax＞ay?x＜y. 6