《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.1向量數(shù)量積的概念學案 新人教B版第三冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.1向量數(shù)量積的概念學案 新人教B版第三冊（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、8.1.1向量數(shù)量積的概念學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義(難點)2.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系(重點)3.會運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會運用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直(重點，難點)1.通過物理學中力對物體做功引出向量的數(shù)量積概念，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的素養(yǎng)2.利用向量的投影領(lǐng)會向量的數(shù)量積的幾何意義，提高學生幾何直觀的數(shù)學素養(yǎng).1.兩個向量的夾角給定兩個非零向量a，b，在平面內(nèi)任選一點O，作a，b，則稱0，內(nèi)的AOB為向量a與向量b的夾角，記作a，b(1)兩個向量夾角的取值范圍是0，且a，bb，a(2)當a，b時，稱向量

2、a與向量b垂直，記作ab.2.向量數(shù)量積的定義一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a|b|cosa，b為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，即ab|a|b|cosa，b(1)當a，b時，ab0; 當a，b時，ab0；當a，b時，a b0.(2)兩個非零向量a，b的數(shù)量積的性質(zhì)：不等式|ab| |a|b|恒等式aaa2|a|2，即|a|向量垂直的充要條件ab ab03.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(1)給定平面上的一個非零向量b，設(shè)b所在的直線為l，則向量a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影(2)一般地，如果a，b都是非零向量，則|a|cos a，b為向量a在向量b上的投影的數(shù)量(3)兩個

3、非零向量a，b的數(shù)量積ab，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積這就是兩個向量數(shù)量積的幾何意義1.已知|a|3，向量a與b的夾角為，則a在b方向上的投影為()ABCDD向量a在b方向上的投影為|a|cosa，b3cos .故選D2.在ABC中，a，b，且ba0，則ABC是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D無法確定C在ABC中，因為ba0，所以ba，故ABC為直角三角形3.如圖，在ABC中，的夾角與，的夾角的關(guān)系為_互補根據(jù)向量夾角定義可知向量，夾角為BAC，而向量，夾角為BAC，故二者互補4如圖所示，一個大小為5 N，與水平方向夾角37的拉力F作用在小車上，小車沿水平方向向右運動

4、運動過程中，小車受到的阻力大小為3 N，方向水平向左小車向右運動的距離為2 m的過程中，小車受到的各個力都沒有發(fā)生變化求在此過程中：拉力F對小車做的功(取cos370.8)為_小車克服阻力做的功為_8 J6 J拉力F對小車做的功WFFScos 520.8 J8 J，小車克服阻力做的功為W克fWf32 J6 J 平面向量的夾角【例1】(1)(2019東營高一檢測)已知向量|a|2，|b|，且ab3，則a，b()ABCD (2)已知ABC中， AB4，BC2，4，則向量與的夾角為_， 向量與的夾角為_思路探究(1)由平面向量的夾角公式計算夾角的余弦值再求角(2)先由向量的數(shù)量積公式計算B，再由平面

5、幾何性質(zhì)計算ACB，BAC，最后求向量的夾角(1)D(2)90150 (1)因為向量|a|2，|b|，且ab3，所以cos a，b，又a，b0, ，所以a，b.(2)在ABC中，因為AB4，BC2，4，所以|cos ，4，得42cos(B)4，所以cos B，得B60.如圖，延長BC到D，使CDBC，則ABD為等邊三角形，所以ACBC，BAC30，所以向量與的夾角為90，與的夾角為150.求平面向量的夾角的方法技巧(1)已知平面向量的長度和數(shù)量積，利用夾角余弦公式計算cos a，b，若是特殊角，再求向量的夾角.(2)在ABC中，注意三角形的內(nèi)角與平面向量的夾角的區(qū)別和聯(lián)系，常常利用幾何圖形確定

6、是“相等”還是“互補”的關(guān)系.1.若兩個單位向量的數(shù)量積等于1，則這兩個單位向量的夾角為()A0 B C DD設(shè)兩個單位向量分別為e1，e2，則e1e2cos e1，e21，由于e1，e20, ，所以e1，e2.2.已知a是單位向量，且3ab|b|，則sina，b_.因為a是單位向量，且3ab|b|，則3|a|b|cos a，b|b|，得cos a，b， 又sin2a，bcos 2a，b1，得sin2a，b.又0a，b，得sina，b.與向量數(shù)量積有關(guān)的概念【例2】(1)以下四種說法中正確的是_(填序號)如果ab0，則a0或b0；如果向量a與b滿足ab0，則a與b所成的角為鈍角；ABC中，如果

7、0，那么ABC為直角三角形；如果向量a與b是兩個單位向量，則a2b2.(2)已知等腰ABC的底邊BC長為4，則_.思路探究根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及投影的定義解答(1)(2)8(1)由數(shù)量積的定義知ab|a|b|cos (為向量a，b的夾角)若ab0，則90或a0或b0，故錯；若ab0，則為鈍角或180，故錯；由0知B90，故ABC為直角三角形，故正確；由a2|a|21，b2|b|21，故正確(2)如圖，過點A作ADBC，垂足為D因為ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42，所以|cosABC428.1.在書寫數(shù)量積時，a與b之間用實心圓點“”連接，而不能用“”連接，更不能省略

8、不寫2.求平面向量數(shù)量積的方法：(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求ab.3.給出下列判斷：若a2b20，則ab0；已知a，b，c是三個非零向量，若ab0，則|ac|bc|；a，b共線ab|a|b|；|a|b|0，則a與b的夾角為銳角；若a，b的夾角為，則|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影長其中正確的是_(填序號)由于a20，b20，所以，若a2b20，則ab0，故正確；若ab0，則ab，又a，b，c是三個非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，故正確；a，b共線ab|a|b

9、|，所以不正確；對于應(yīng)有|a|b|ab，所以不正確；對于，應(yīng)該是aaa|a|2a，所以不正確；a2b22|a|b|2ab，故正確；當a與b的夾角為0時，也有ab0，因此錯；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的正投影的數(shù)量，而非投影長，故錯綜上可知正確平面向量數(shù)量積的幾何意義【例3】(1)(2019永州高一檢測)已知向量b的模為1，且b在a方向上的投影的數(shù)量為，則a與b的夾角為()A30B60 C120D150(2)已知平面向量|a|2，|b|6且ab4，則a在b上投影的數(shù)量為_，b在a上投影的數(shù)量為_思路探究(1)向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos a，b，再求向量的夾角(2)先由

10、平面向量數(shù)量積的公式計算cos a，b，再計算投影的數(shù)量(1)A(2)2(1)因為向量b的模為1.且b在a方向上的投影的數(shù)量為，則|b|cos a，b，得cos a，b，因為a，b0, ，所以a，b30.(2)因為平面向量|a|2，|b|6且ab4，所以|a|b|cos a，b4，得cos a，b.所以a在b上投影的數(shù)量為|a|cos a，b，b在a上投影的數(shù)量為|b|cos a，b2.關(guān)于平面向量數(shù)量積的幾何意義的兩點注意事項(1)向量a在b所在直線上的投影是一個向量，向量a在b所在直線上的投影的數(shù)量是一個實數(shù).(2)向量a在向量b上的投影的數(shù)量是|a|cos a，b，向量b在向量a上的投影

11、的數(shù)量是|b|cosa，b，二者不能混為一談.4(2019青島高一檢測)如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長度為2，則 的值為()ArB2r C1D2D如圖，作AB的中點H，連接CH，則向量在方向上的投影的數(shù)量為AH|cos CAB，所以|cos CAB|2.5已知向量a在向量b上的投影的數(shù)量是2，|b|3，則ab_.6因為向量a在向量b上的投影的數(shù)量是2，|b|3，則ab|a|b|cos a，b(|a|cos a，b)|b|236.1.對正投影的三點詮釋(1)ab等于|a|與b在a方向上的正投影的乘積，也等于|b|與a在b方向上的正投影的乘積其中a在b方向上的正投影與b在a方向上的正投影

12、是不同的(2)b在a方向上的正投影為|b|cos (是a與b的夾角)，也可以寫成 .(3)正投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零2.知識導圖向量數(shù)量積1.已知平面向量|a|2，|b|3，a，b，則ab()A2B3C6D0B因為|a|2，|b|3，a，b，則ab|a|b|cos 233.2.已知平面向量|a|1，|b|2，則a2b2()A2B3 C5D5C因為|a|1，|b|2，所以a2b2|a|2|b|25.3.已知向量|a|6，|b|2，向量a，b的夾角為120，則向量a在b上的投影的數(shù)量為()A1B3 C1D3D根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，向量a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos 12063.4已知等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點，則CD和AC的夾角為_，和的夾角為_45135等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點，則CDAB, CD和AC的夾角為45，和的夾角為135.8