《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修2(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1. 理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并能用文字、符號(hào)和圖形語言描述定理(重點(diǎn))2.能應(yīng)用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.理解平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化(易錯(cuò)點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì),提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的性質(zhì),提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線思考:過一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直?提示有且僅有一條
2、假設(shè)過一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行,應(yīng)無公共點(diǎn),這與過同一點(diǎn)相矛盾,故只有一條直線2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直 作面的垂線思考:如果,則內(nèi)的直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線嗎?提示正確若設(shè)l,a,b,bl,則ab,故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線1直線n平面,nl,直線m,則l、m的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直D由題意可知l,所以lm.2若平面平面,平面平面,則()A BC與相交但不垂直 D以上都有可能D可能平行,也可能相交如圖,與
3、平行,與垂直3已知直線a,b,平面,且a,下列條件中,能推出ab的是()Ab BbCb Db與相交C由線面垂直的性質(zhì)定理可知,當(dāng)b,a時(shí),ab.4平面平面,直線l,直線m,則直線l,m的位置關(guān)系是_相交、平行或異面根據(jù)題意,l,m可能相交、平行或異面線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN平面A1DC.求證:MNAD1.證明因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形,所以AD1A1D.又因?yàn)镃D平面ADD1A1,所以CDAD1.因?yàn)锳1DCDD,所以AD1平面A1DC.又因?yàn)镸N平面A1DC,所以MNAD1.證明線線平行常用如下方法
4、:(1)利用線線平行定義:證共面且無公共點(diǎn);(2)利用三線平行公理:證兩線同時(shí)平行于第三條直線;(3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行;(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直;(5)利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.1如圖,已知平面平面l,EA,垂足為A,EB,直線a,aAB.求證:al.證明因?yàn)镋A,l,即l,所以lEA.同理lEB.又EAEBE,所以l平面EAB.因?yàn)镋B,a,所以EBa,又aAB,EBABB,所以a平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理,得al.面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖,在三棱錐PABC中,PA平面ABC,平
5、面PAB平面PBC.求證:BCAB.證明如圖,在平面PAB內(nèi),作ADPB于點(diǎn)D.平面PAB平面PBC,且平面PAB平面PBCPB,AD平面PAB,AD平面PBC.又BC平面PBC,ADBC.又PA平面ABC,BC平面ABC,PABC,又PAADA,BC平面PAB.又AB平面PAB,BCAB.1證明或判定線面垂直的常用方法:(1)線面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性質(zhì)定理;(3)若ab,a,則b(a、b為直線,為平面);(4)若a,則a(a為直線,為平面);2兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線2如圖,四棱錐VABCD的底面是矩形
6、,側(cè)面VAB底面ABCD,又VB平面VAD.求證:平面VBC平面VAC.證明面VAB面ABCD,且BCAB,面VAB面ABCDAB,BC平面ABCD.BC面VAB,又VA平面VAB,BCVA,又VB面VAD,VBVA,又VBBCB,VA面VBC,VA面VAC,平面VBC平面VAC.線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用探究問題試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系提示垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示:【例3】如圖所示,ABC為正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CECA2BD,M是EA的中點(diǎn),求證:(1)DEDA;(2)平面BDM平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.思路探究:(1)設(shè)出BD,分
7、別求出DE、DA的長度或證明DMAE,即證DM為AE的中垂線即可(2)(3)只需證明DM平面ECA即可證明(1)設(shè)BDa,如圖,作DFBC交CE于F,則CFDBa.因?yàn)镃E平面ABC,所以BCCF,DFEC,所以DEa.又因?yàn)镈B平面ABC,所以DAa,所以DEDA.(2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MNCEDB. 所以四邊形MNBD為平行四邊形,所以MDBN.又因?yàn)镋C平面ABC,所以ECBN,ECMD.又DEDA,M為EA的中點(diǎn),所以DMAE.所以DM平面AEC,所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC,而DM平面DEA,所以平面DEA平面ECA.本例條件不變,試求平
8、面ADE與平面ABC所成二面角的大小解如圖延長ED交CB延長線于點(diǎn)N,連接AN,設(shè)BDa,由例題知,CEACBCAB2a,在CEN中,由知B為CN中點(diǎn),CBBN2a.ABN中,ABN120,BANBNA30,CAN90,即NACA.又EC平面ABC,ECNA,又CACEC,NA平面ACE,NAAE,NAAC,且AN為平面ADE與平面ABC的交線CAE為平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角,在RtACE中,ACCE,CAE45.所以平面ADE與平面ABC所成二面角為45.垂直關(guān)系的互化及解題策略:空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個(gè)基本原則,解題時(shí),要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn),如等腰(
9、邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等.還可以通過解三角形,產(chǎn)生一些題目所需要的條件,對(duì)于一些較復(fù)雜的問題,注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題.1線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)2面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:1直線a與直線b垂直,直線b平面,則直線a與平面的位置關(guān)系是()AaBaCa Da或aDab,b,則a或a.選D.2已知l平面,直線m平面.有下面四個(gè)命題:lm;lm;lm;lm.其中正確的兩個(gè)命題是()A B C DDl,
10、l,m,lm,故正確;lm,l,m,又m,故正確3如圖所示,三棱錐PABC中,平面ABC平面PAB,PAPB,ADDB,則()APD平面ABCBPD平面ABCCPD與平面ABC相交但不垂直DPD平面ABCBPAPB,ADDB,PDAB.又平面ABC平面PAB,平面ABC平面PABAB,PD平面ABC.4如圖所示,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面SDC底面ABCD,求證:平面SCD平面SBC.證明因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以BCCD.又平面SDC平面ABCD,平面SDC平面ABCDCD,BC平面ABCD,所以BC平面SCD.又因?yàn)锽C平面SBC.所以平面SCD平面SBC.- 8 -