《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 3 反證法與放縮法學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 3 反證法與放縮法學(xué)案 新人教A版選修4-5(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、三 反證法與放縮法
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握用反證法證明不等式的方法.(重點(diǎn))2.了解放縮法證明不等式的原理,并會(huì)用其證明不等式.(難點(diǎn)、易錯(cuò)易混點(diǎn))
教材整理1 反證法
閱讀教材P26~P27“例2”及以上部分,完成下列問(wèn)題.
先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把這種證明問(wèn)題的方法稱為反證法.
如果兩個(gè)正整數(shù)之積為偶數(shù),則這兩個(gè)數(shù)( )
A.兩個(gè)都是偶數(shù)
B.一個(gè)是奇數(shù),一個(gè)是偶數(shù)
C.至少一個(gè)是偶
2、數(shù)
D.恰有一個(gè)是偶數(shù)
C [假設(shè)這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的積也是奇數(shù),這與已知矛盾,所以這兩個(gè)數(shù)至少有一個(gè)為偶數(shù).]
教材整理2 放縮法
閱讀教材P28~P29“習(xí)題”以上部分,完成下列問(wèn)題.
證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.
若|a-c|<h,|b-c|<h,則下列不等式一定成立的是( )
A.|a-b|<2h B.|a-b|>2h
C.|a-b|<h D.|a-b|>h
A [|a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a-c|+|b-c|<2h.]
利用反證法證
3、“至多”“至少”型命題
【例1】 已知f(x)=x2+px+q,求證:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.
[精彩點(diǎn)撥] (1)把f(1),f(2),f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論.
(2)假設(shè)結(jié)論不成立,推出矛盾,得結(jié)論.
[自主解答] (1)由于f(x)=x2+px+q,
∴f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.(*)
又
4、|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|
≥f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,
∴|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2與(*)矛盾,∴假設(shè)不成立.
故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.
1.在證明中含有“至多”“至少”等字眼時(shí),常使用反證法證明.在證明中出現(xiàn)自相矛盾,說(shuō)明假設(shè)不成立.
2.在用反證法證明的過(guò)程中,由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè),相當(dāng)于增加了題設(shè)條件,因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件,否則將無(wú)法推出矛盾.
1.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,a
5、c+bd>1.求證:a,b,c,d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù).
[證明] a,b,c,d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù),即至少有一個(gè)是負(fù)數(shù),故有假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù).
即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd.
這與已知中ac+bd>1矛盾,
∴原假設(shè)錯(cuò)誤,
故a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).
即a,b,c,d中至多有三個(gè)是非負(fù)數(shù).
利用放縮法證明不等式
【例2】 已知an=2n2,n∈N*,求證:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.
[精彩點(diǎn)撥] 針對(duì)不等式的特點(diǎn),對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行放縮、列項(xiàng).
[自主解答] ∵當(dāng)n≥
6、2時(shí),an=2n2>2n(n-1),
∴=<=·=,
∴++…+<1+++…+
=1+
=1+=-<,
即++…+<.
1.放縮法在不等式的證明中無(wú)處不在,主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行變換.
2.放縮法技巧性較強(qiáng),放大或縮小時(shí)注意要適當(dāng),必須目標(biāo)明確,合情合理,恰到好處,且不可放縮過(guò)大或過(guò)小,否則,會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論,達(dá)不到預(yù)期目的,謹(jǐn)慎地添或減是放縮法的基本策略.
2.求證:1+++…+<2-(n≥2,n∈N+).
[證明] ∵k2>k(k-1),
∴<=-(k∈N+,且k≥2).
分別令k=2,3,…,n得
<=1-,<=-,…,
<=-.
因此1+++
7、…+
<1+++…+
=1+1-=2-.
故不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+).
利用反證法證明不等式
[探究問(wèn)題]
1.反證法的一般步驟是什么?
[提示] 證明的步驟是:(1)作出否定結(jié)論的假設(shè);(2)從否定結(jié)論進(jìn)行推理,導(dǎo)出矛盾;(3)否定假設(shè),肯定結(jié)論.
2.反證法證題時(shí)常見(jiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的否定形式是怎樣的?
[提示] 常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè)有:
常見(jiàn)詞語(yǔ)
至少有一個(gè)
至多有一個(gè)
唯一一個(gè)
是
有或存在
全
都是
否定假設(shè)
一個(gè)也沒(méi)有
有兩個(gè)或兩個(gè)以上
沒(méi)有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上
不是
不存在
不全
不都是
8、【例3】 已知△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:∠B<90°.
[精彩點(diǎn)撥] 本題中的條件是三邊間的關(guān)系=+,而要證明的是∠B與90°的大小關(guān)系.結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯,考慮用反證法證明.
[自主解答] ∵a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,∴=+.假設(shè)∠B<90°不成立,即∠B≥90°,則∠B是三角形的最大內(nèi)角,在三角形中,有大角對(duì)大邊,
∴b>a>0,b>c>0,
∴<,<,
∴<+,
這與=+相矛盾.
∴假設(shè)不成立,故∠B<90°成立.
1.本題中從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即把結(jié)論的反面“∠B≥90°”作為條件進(jìn)行推證是關(guān)鍵.要注意否定方法,“>”否定為“≤”,
9、“<”否定為“≥”等.
2.利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件通過(guò)正確推理,推出和已知條件或定理事實(shí)或假設(shè)相矛盾的結(jié)論.
3.若a3+b3=2,求證:a+b≤2.
[證明] 法一 假設(shè)a+b>2,
a2-ab+b2=+b2≥0,
故取等號(hào)的條件為a=b=0,顯然不成立,
∴a2-ab+b2>0.
則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),
而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1,
∴1+ab>a2+b2≥2ab,從而ab<1,
∴a2+b2<1+ab<2,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4,
∴a+b<2.
這
10、與假設(shè)矛盾,故a+b≤2.
法二 假設(shè)a+b>2,則a>2-b,
故2=a3+b3>(2-b)3+b3,
即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,
這顯然不成立,從而a+b≤2.
法三 假設(shè)a+b>2,則(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.
由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6,故ab(a+b)>2.
又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,
∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2),
∴a2-ab+b2
11、b,c均不為0
B.a(chǎn),b,c中至多有一個(gè)為0
C.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)為0
D.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)不為0
D [實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的含義即a,b,c中至少有一個(gè)不為0,其否定則是a,b,c全為0,故選D.]
2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反證法求證a>0,b>0,c>0時(shí)的假設(shè)為( )
A.a(chǎn)<0,b<0,c<0 B.a(chǎn)≤0,b>0,c>0
C.a(chǎn),b,c不全是正數(shù) D.a(chǎn)bc<0
C [a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正數(shù),故選C.]
3.要證明+<2,下列證明方法中,最為合理的是( )
A.綜合法 B.放縮法
C.分析法 D.反證法
C [由分析法的證明過(guò)程可知選C.]
4.A=1+++…+與(n∈N+)的大小關(guān)系是________.
[解析] A=+++…+≥==.
[答案] A≥
5.若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y>2.求證:<2和<2中至少有一個(gè)成立.
[證明] 假設(shè)<2和<2都不成立,
則有≥2和≥2同時(shí)成立,因?yàn)閤>0且y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x,兩式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2,這與已知條件x+y>2矛盾,因此<2和<2中至少有一個(gè)成立.
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