《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 文（含解析）（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、三角恒等變換與解三角形【2019年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是C級要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B級要求，應(yīng)用時要適當選擇公式，靈活應(yīng)用(2)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，要求是B級，能夠應(yīng)用定理實現(xiàn)三角形中邊和角的轉(zhuǎn)化，以及應(yīng)用定理解決實際問題試題類型一般是填空題，同時在解答題中與三角函數(shù)、向量等綜合考查，構(gòu)成中檔題.【重點、難點剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin

2、cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“

3、化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如()，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解8利用解三角形的知識解決實際問題的思路把實際問題中的要素歸入到一個或幾個相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實際問題的答案注意要檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進行取舍，從而得出正確結(jié)果.【題型示例】題型一、三角變換及應(yīng)用【例1】(1)若0，0，所以

4、cos.tantan.答案：速解法：由題意知為第一象限角，設(shè)，tantantan.如圖，不妨設(shè)在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B.答案：(2)若tan 0，則()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角，則A，B錯；由sin 22sin cos 知sin 20，C正確；取時，cos 22cos212210，D錯故選C.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0，故選C.答案：C【舉一反三】 (2015新課標全國，2)sin 20cos

5、10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【變式探究】(2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【舉一反三】(2015江蘇，8)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此類問題的著眼點是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解(2)

6、對于三角函數(shù)中角的求值問題，關(guān)鍵在于“變角”，將“目標角”變換成“已知角”若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運用(3)求三角函數(shù)的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角【變式探究】(2015廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1題型二、正、余弦定理的應(yīng)用【例2

7、】(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因為cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由題設(shè)知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因為sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC邊上的高為asin C7.【變式探究】【2017課標3，文15】ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60，b=，c=3，則A=_.【答案】75【解析】由題意： ，即，結(jié)合 可得 ，則.【變式探究】【2016高考山東文數(shù)】 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=

8、2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）（）由（）知,所以 ，當且僅當時，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】 (2015福建，12)若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析SABACsin A，sin A，在銳角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【變式探究】(2015廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1【舉一反三】在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)已

9、知4，ABC的面積為6，求邊長b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0B，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.【變式探究】ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A.(1)求AA；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0A0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，

10、bc，SABCbcsin A.【變式探究】(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因為ac，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.

11、所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【變式探究】【2017課標1，文11】ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意得，即，所以由正弦定理得，即，因為ca，所以CA，所以，故選B【變式探究】【2016高考山東文數(shù)】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c; （）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）（）由（）知,所以 ，當且僅當時，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】(2015新課標全國，17)ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面

12、積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【變式探究】(2015浙江，16)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3

13、，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因為sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因為A，bcsin A3，所以bc6，故b3.【舉一反三】 (2015陜西，17)ABC的內(nèi)角A，B，C 所對的邊分別為a ，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行 (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面積解(1)因為mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因為c0，所以c3，故ABC的面積為Sbcsin A.13