《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教B版第三冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教B版第三冊(cè)(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、8.1.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過(guò)平面向量基本定理領(lǐng)會(huì)向量的坐標(biāo)表示(難點(diǎn))2.能利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算(重點(diǎn))1.通過(guò)平面向量基本定理掌握下列的坐標(biāo)表示,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)2.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式設(shè)平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),(1)數(shù)量積公式:abx1x2y1y2.(2)向量垂直公式:abab0x1x2y1y20.思考1:平面向量的坐標(biāo):在平面直角坐標(biāo)系中,分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量e1,e2,如果對(duì)于平面向量a,有axe1ye2,則向量a的
2、坐標(biāo)為_(kāi),記作_,提示(x,y)a(x,y)2.三個(gè)重要公式(1)向量的模:a2xy|a|.(2)兩點(diǎn)間的距離公式:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則|.思考2:(1)若點(diǎn)A(3,0), B(3,0),則|_.(2)若點(diǎn)A(3,3), B(3,5),則|_.提示(1)6(2)10(3)向量的夾角公式:cos a,b.1.已知a(1,1),b(2,3),則ab()A5B4C2D1Dab(1,1)(2,3)12(1)31.2.(2019全國(guó)卷)已知向量a(2,3),b(3,2),則|ab|()AB2 C5D50Aab(2,3)(3,2)(1,1),|ab| .故選A3.(2019全國(guó)卷)已
3、知向量a(2,2),b(8,6),則cos a,b_.a(2,2),b(8,6),ab2(8)264,|a|2 ,|b|10.cos a,b .4已知a(3,x),|a|5,則x_.4|a|5,x216.即x4.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算【例1】(1)已知向量a(2,3),b(2,4),c(1,2),則a(bc)_.(2)已知向量a(1,3),b(2,5),求ab,|3ab|,(ab)(2ab)思路探究(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算(2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標(biāo)公式計(jì)算(1)12b(2,4),c(1,2),bc(2,4)(1,2)(3,6)又a(2,3),a(bc)
4、(2,3)(3,6)2(3)3661812.(2)解ab123517.因?yàn)?a3(1,3)(3,9),b(2,5),所以3ab(1,4),所以|3ab|.因?yàn)閍b(3,8),2a(2,6),所以2ab(2,6)(2,5)(0,1),所以(ab)(2ab)30818.1.數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要正確使用公式abx1x2y1y2,并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系:|a|2aa,(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo),一般來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo),然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
5、列出方程(組)進(jìn)行求解2.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2a2,將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a(x,y),則aaa2|a|2x2y2,于是有|a|.1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,0),B(0,2),若OCAB于點(diǎn)C,則()_.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由A(1,0),B(0,2),得(1,2),(x1,y),因?yàn)镺CAB于點(diǎn)C,即,解得,(1,2),所以().2.已知向量a(,1)和b(1,),若acbc,試求模為的向量c的坐標(biāo)解法一:設(shè)c(x,y),則ac(,1)(x,y)xy,bc(1,)(x,y)xy,由acbc及|c
6、|,得解得或所以c或c.法二:由于ab1(1)0,且|a|b|2,從而以a,b為鄰邊的平行四邊形是正方形,且由于acbc,所以c與a,b的夾角相等,從而c與正方形的對(duì)角線共線此外,由于|c|,即其長(zhǎng)度為正方形對(duì)角線長(zhǎng)度(|b|2)的一半,故c(ab)或c(ab).向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與夾角問(wèn)題【例2】(1)已知向量a(1,2),b(2,x),若a與b垂直,則實(shí)數(shù)x的值是()A4 B4 C1 D1(2)已知平面向量a(1,3),b(2,),設(shè)a與b的夾角為.若120 ,求的值要使為銳角,求的取值范圍思路探究(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解(2)由120 求cos ,建立方程求的值要使為銳角,則c
7、os 0,且a與b不能共線,建立不等式求的取值范圍(1)D因?yàn)閍(1,2),b(2,x),a與b垂直,所以ab0,即122x0,解得x1.故選D(2)解由于a(1,3),b(2,),則ab23,當(dāng)120 時(shí),cos 120 ,得,平方整理得13224120,解得,由于ab230,所以0,且cos 1,ab|a|b|cos 0,ab0,即1230,解得.若ab,則1230,即6.但若ab,則0或,這與為銳角相矛盾,所以6.綜上所述,且6.利用向量法求夾角的方法技巧(1)若求向量a與b的夾角,利用公式cos a,b,當(dāng)向量的夾角為特殊角時(shí),再求出這個(gè)角(2)非零向量a與b的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系
8、:(1)若為直角,則充要條件為向量ab,則轉(zhuǎn)化為ab0x1x2y1y20.(2)若為銳角,則充要條件為ab0,且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同)(3)若為鈍角,則充要條件為ab0,且a與b的夾角不能為(即a與b的方向不能相反)3.已知a(sin ,cos ),|b|2.(1)若向量b在a方向上的投影為1,求ab及a與b的夾角.(2)若ab與b垂直,求|2ab|.解(1)由向量數(shù)量積的幾何意義知,ab等于|a|與b在a方向上的投影的乘積,ab1(1)1.設(shè)a與b的夾角,0,則cos ,.(2)若ab與b垂直,(ab)babb20,ab4,|2ab|2.向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的綜合問(wèn)題
9、【例3】在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,M為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)(1)求證:為定值;(2)求的最大值思路探究(1)利用向量的投影證明,也可以建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積(2)利用向量的投影轉(zhuǎn)化為平面幾何性質(zhì)求最大值,也可以建立平面直角坐標(biāo)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式,建立函數(shù)求最大值解法一:(幾何法)(1)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,|cos BCE|21(定值)(2)如圖,作CNEM,垂足為N,則EBMCNM,得,所以EMMNCMMB,所以|cos CEN|(|cos CEN)|(|)|2|2 |21,所以當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A時(shí),取得最大值.法二:(坐標(biāo)法)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),
10、AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(x,0),x0,1, (1)(1x,1)(0,1)1(定值)(2)由上述可知,C(1,1),M,設(shè)E(x,0),x0,1,則(1x,1)(1x)2,當(dāng)x0,1時(shí),(1x)2單調(diào)遞減,當(dāng)x0時(shí),取得最大值.解決向量數(shù)量積的最值的方法技巧(1)“圖形化”技巧:利用平面向量線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題,然后根據(jù)平面圖形的直觀特征進(jìn)行判斷.(2)“代數(shù)化”技巧:若已知條件中具有等腰三角形或矩形,常常建立平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)解決最值或取
11、值范圍.4(2017全國(guó)卷)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則()的最小值是()A2B CD1B如圖,以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,),B(1,0),C(1,0),設(shè)P(x,y),則(x,y),(1x,y),(1x,y),所以()(x,y)(2x,2y)2x22,當(dāng)x0,y時(shí),()取得最小值為,選B5在矩形ABCD中, AB3,AD1,若M,N分別在邊BC,CD上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),且滿足,則的取值范圍是_1,9分別以AB,AD為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(3,1),D(0,
12、1),設(shè)M(3,b),N(x,1),因?yàn)?,所以b,則(x,1), 故x1(0x3),所以1x19,所以的取值范圍是1,91.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積(2)求模利用|a| 計(jì)算兩向量的模(3)求夾角余弦值由公式cos 求夾角余弦值(4)求角由向量夾角的范圍及cos 求的值2.知識(shí)導(dǎo)圖1.已知a(1,2),b(3,2),則ab()A1B2C3D4A因?yàn)閍(1,2),b(3,2),所以ab1(3)221.2.已知a(1,2),b(6,3),則必有()AabBb3a CabDb3aC由a(1,2),b(6,3),得162(3)0ab.3.已知向量a(2,2),b(0,3),則a與b的夾角為()A45B60 C120D135D因?yàn)橄蛄縜(2,2),b(0,3),則ab6,|a|2,|b|3,則cos a,b,又0a,b180,所以a與b的夾角為135.4(2019揚(yáng)州高一檢測(cè))已知向量 a(1,1),向量b(1,2),則(2ab)a_.1由向量a(1,1),b(1,2),得2ab(1,0),所以(2ab)a(1,0)(1,1)110(1)1.9