《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教B版第三冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教B版第三冊(cè)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、8.1.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過(guò)平面向量基本定理領(lǐng)會(huì)向量的坐標(biāo)表示(難點(diǎn))2.能利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算(重點(diǎn))1.通過(guò)平面向量基本定理掌握下列的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)2.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式設(shè)平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)數(shù)量積公式：abx1x2y1y2.(2)向量垂直公式：abab0x1x2y1y20.思考1：平面向量的坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量e1，e2，如果對(duì)于平面向量a，有axe1ye2，則向量a的

2、坐標(biāo)為_(kāi)，記作_，提示(x，y)a(x，y)2.三個(gè)重要公式(1)向量的模：a2xy|a|.(2)兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.思考2：(1)若點(diǎn)A(3,0), B(3,0)，則|_.(2)若點(diǎn)A(3,3), B(3，5)，則|_.提示(1)6(2)10(3)向量的夾角公式：cos a，b.1.已知a(1，1)，b(2,3)，則ab()A5B4C2D1Dab(1，1)(2,3)12(1)31.2.(2019全國(guó)卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，則|ab|()AB2 C5D50Aab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab| .故選A3.(2019全國(guó)卷)已

3、知向量a(2,2)，b(8,6)，則cos a，b_.a(2,2)，b(8,6)，ab2(8)264，|a|2 ，|b|10.cos a，b .4已知a(3，x)，|a|5，則x_.4|a|5，x216.即x4.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算【例1】(1)已知向量a(2,3)，b(2,4)，c(1,2)，則a(bc)_.(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，|3ab|，(ab)(2ab)思路探究(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算(2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標(biāo)公式計(jì)算(1)12b(2,4)，c(1,2)，bc(2,4)(1,2)(3,6)又a(2,3)，a(bc)

4、(2,3)(3,6)2(3)3661812.(2)解ab123517.因?yàn)?a3(1,3)(3,9)，b(2,5)，所以3ab(1,4)，所以|3ab|.因?yàn)閍b(3,8)，2a(2,6)，所以2ab(2,6)(2,5)(0,1)，所以(ab)(2ab)30818.1.數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式abx1x2y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：|a|2aa，(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

5、列出方程(組)進(jìn)行求解2.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a(x，y)，則aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，若OCAB于點(diǎn)C，則()_.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得(1,2)，(x1，y)，因?yàn)镺CAB于點(diǎn)C，即，解得，(1,2)，所以().2.已知向量a(，1)和b(1，)，若acbc，試求模為的向量c的坐標(biāo)解法一：設(shè)c(x，y)，則ac(，1)(x，y)xy，bc(1，)(x，y)xy，由acbc及|c

6、|，得解得或所以c或c.法二：由于ab1(1)0，且|a|b|2，從而以a，b為鄰邊的平行四邊形是正方形，且由于acbc，所以c與a，b的夾角相等，從而c與正方形的對(duì)角線共線此外，由于|c|，即其長(zhǎng)度為正方形對(duì)角線長(zhǎng)度(|b|2)的一半，故c(ab)或c(ab).向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與夾角問(wèn)題【例2】(1)已知向量a(1,2)，b(2，x)，若a與b垂直，則實(shí)數(shù)x的值是()A4 B4 C1 D1(2)已知平面向量a(1,3)，b(2，)，設(shè)a與b的夾角為.若120 ，求的值要使為銳角，求的取值范圍思路探究(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解(2)由120 求cos ，建立方程求的值要使為銳角，則c

7、os 0，且a與b不能共線，建立不等式求的取值范圍(1)D因?yàn)閍(1,2)，b(2，x)，a與b垂直，所以ab0，即122x0，解得x1.故選D(2)解由于a(1,3)，b(2，)，則ab23，當(dāng)120 時(shí)，cos 120 ，得，平方整理得13224120，解得，由于ab230，所以0，且cos 1，ab|a|b|cos 0，ab0，即1230，解得.若ab，則1230，即6.但若ab，則0或，這與為銳角相矛盾，所以6.綜上所述，且6.利用向量法求夾角的方法技巧(1)若求向量a與b的夾角，利用公式cos a，b，當(dāng)向量的夾角為特殊角時(shí)，再求出這個(gè)角(2)非零向量a與b的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系

8、：(1)若為直角，則充要條件為向量ab，則轉(zhuǎn)化為ab0x1x2y1y20.(2)若為銳角，則充要條件為ab0，且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同)(3)若為鈍角，則充要條件為ab0，且a與b的夾角不能為(即a與b的方向不能相反)3.已知a(sin ，cos )，|b|2.(1)若向量b在a方向上的投影為1，求ab及a與b的夾角.(2)若ab與b垂直，求|2ab|.解(1)由向量數(shù)量積的幾何意義知，ab等于|a|與b在a方向上的投影的乘積，ab1(1)1.設(shè)a與b的夾角，0，則cos ，.(2)若ab與b垂直，(ab)babb20，ab4，|2ab|2.向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的綜合問(wèn)題

9、【例3】在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)(1)求證：為定值；(2)求的最大值思路探究(1)利用向量的投影證明，也可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積(2)利用向量的投影轉(zhuǎn)化為平面幾何性質(zhì)求最大值，也可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，建立函數(shù)求最大值解法一：(幾何法)(1)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，|cos BCE|21(定值)(2)如圖，作CNEM，垂足為N，則EBMCNM，得，所以EMMNCMMB，所以|cos CEN|(|cos CEN)|(|)|2|2 |21，所以當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A時(shí)，取得最大值.法二：(坐標(biāo)法)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

10、AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(x,0)，x0,1, (1)(1x,1)(0,1)1(定值)(2)由上述可知，C(1,1)，M，設(shè)E(x,0)，x0,1，則(1x,1)(1x)2，當(dāng)x0,1時(shí)，(1x)2單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，取得最大值.解決向量數(shù)量積的最值的方法技巧(1)“圖形化”技巧：利用平面向量線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的直觀特征進(jìn)行判斷.(2)“代數(shù)化”技巧：若已知條件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)解決最值或取

11、值范圍.4(2017全國(guó)卷)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()的最小值是()A2B CD1B如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，當(dāng)x0，y時(shí)，()取得最小值為，選B5在矩形ABCD中， AB3，AD1，若M，N分別在邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，且滿足，則的取值范圍是_1,9分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,

12、1)，設(shè)M(3，b)，N(x,1)，因?yàn)?，所以b，則(x,1)， 故x1(0x3)，所以1x19，所以的取值范圍是1,91.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積(2)求模利用|a| 計(jì)算兩向量的模(3)求夾角余弦值由公式cos 求夾角余弦值(4)求角由向量夾角的范圍及cos 求的值2.知識(shí)導(dǎo)圖1.已知a(1,2)，b(3,2)，則ab()A1B2C3D4A因?yàn)閍(1,2)，b(3,2)，所以ab1(3)221.2.已知a(1,2)，b(6，3)，則必有()AabBb3a CabDb3aC由a(1,2)，b(6，3)，得162(3)0ab.3.已知向量a(2,2)，b(0，3)，則a與b的夾角為()A45B60 C120D135D因?yàn)橄蛄縜(2,2)，b(0，3)，則ab6，|a|2，|b|3，則cos a，b，又0a，b180，所以a與b的夾角為135.4(2019揚(yáng)州高一檢測(cè))已知向量 a(1，1)，向量b(1,2)，則(2ab)a_.1由向量a(1，1)，b(1,2)，得2ab(1,0)，所以(2ab)a(1,0)(1，1)110(1)1.9