《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題二 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題二 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講三角恒等變換與解三角形考情考向高考導(dǎo)航1三角恒等變換是高考必考內(nèi)容，可以單獨(dú)命題，也可以與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合，有時(shí)與解三角形綜合難度一般不大，單獨(dú)命題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)與其他知識(shí)綜合，以解答題的形式出現(xiàn)2解三角形主要考查正、余弦定理、面積的綜合問(wèn)題，有時(shí)也涉及三角恒等變換，難度中等單獨(dú)考查以選擇題、填空題為主，綜合考查以解答題為主真題體驗(yàn)1(2019全國(guó)卷)已知，2sin 2cos 21，則sin ()A. B.C. D.解析：B，由2sin 2cos 21得：4sin cos 2cos2 ，2sin cos ，2sin ，5sin2 1，sin2 ，sin .2(2

2、019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，則()A6 B5C4 D3解析：Aasin Absin B4csin C，a2b24c2，cos A，即，46.3(2019天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bc2a,3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因?yàn)閎c2a，得到ba，ca，由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可

3、得sin B，從而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin.主干整合1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3輔助角公式asin xbcos xsin(x)，其中tan .4正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B

4、，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C.5余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A.6三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.熱點(diǎn)一三角恒等變換與求值數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值中的核心素養(yǎng)三角運(yùn)算是重要的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，在正確分析條件和所求的基礎(chǔ)上明確運(yùn)算的方法，靈活地選用三角公式，完成三角運(yùn)算.例1(1)(2019江蘇卷)已知，則sin的值是_解析方法1：由，解得tan 2或.sin(sin 2cos 2)(2sin cos 2cos21)

5、(sin cos cos2)，將tan 2和分別代入得sin.方法2：，sin coscos sin.又sinsinsincos cossin ，由，解得sin cos，cos sin.sinsinsin coscos sin.答案(2)(2018浙江卷)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P.()求sin()的值；()若角滿足sin()，求cos 的值解析()由角的終邊過(guò)點(diǎn)P得sin ，所以sin()sin .()由角的終邊過(guò)點(diǎn)P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .答案()()或(1)

6、三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解(1)(2019維坊三模)已知sin ，sin()，均為銳角，則等于()A.B.C. D.解析：C因?yàn)?，均為銳角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.(2)(2020廣西三市

7、聯(lián)考)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為_(kāi)解析：因?yàn)闉殇J角且cos0，所以，所以sin.所以sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案：熱點(diǎn)二正、余弦定理的應(yīng)用用正、余弦定理求解邊、角、面積例21(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解析(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因?yàn)?A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由題設(shè)及正弦定理得sin As

8、in(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因?yàn)?C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口 用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題例22(2019重慶二診)如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西

9、偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.解析由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得.解得BC300m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案100解三角形實(shí)際問(wèn)題三步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解(1)(2019威海三模)如圖，在ABC中，點(diǎn)D在AC上，ABBD，BC3，BD5，sinABC，則CD的長(zhǎng)為()A.B4

10、C2 D5解析：B利用余弦定理求解因?yàn)閟inABCsincosDBC，在DBC中，由余弦定理可得CD2BD2BC22BDBCcosDBC252725316，所以CD4，故選B.(2)如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測(cè)站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北(045)的C處，且cos .已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_(kāi)海里/小時(shí)解析：因?yàn)閏os ，045，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC280010022010340，所以BC2，該貨船的船速為4海里/小時(shí)答案：4熱點(diǎn)三與解三角形的交匯創(chuàng)新例

11、3(2020煙臺(tái)模擬)已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin B，.(1)求證：0B；(2)若，求|.審題指導(dǎo)(1)三角恒等變換，利用重要不等式轉(zhuǎn)化關(guān)于cos B的不等式(2)由數(shù)量積求ac，再由模長(zhǎng)公式結(jié)合余弦定理求模解析(1)證明：因?yàn)椋詓in Asin Csin2B，由正弦定理可得b2ac，因此b2a2c22accos B2ac2accos B，所以cos B，又0B，所以0B.(2)由(1)知0B，又sin B，所以cos B .所以cacos Bac，解得ac2，因此b22.由余弦定理得b2a2c22accos B，所以a2c2b22accos B2225

12、.從而|2a2c22528，故|2.以向量的運(yùn)算為載體考查三角函數(shù)、三角變換、解三角形及不等式這類綜合問(wèn)題的解法思路是：通過(guò)向量的運(yùn)算把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題或解三角形問(wèn)題，再利用三角變換或正(余)弦定理綜合解決(2020山師附中模擬)已知m，n，設(shè)函數(shù)f(x)mn.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，求f(B)的取值范圍解析：(1)f(x)mnsin，令2k2k，則4kx4k，kZ，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由b2ac可知cos B(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào))，所以0B，1f(B)，綜上f(B)的

13、取值范圍為.限時(shí)50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2020河北省六校聯(lián)考)已知(0，)，且tan 2，則cos 2cos ()A.B.C. D.解析：B(0，)，tan 2，在第一象限，cos ，cos 2cos 2cos21cos 221，選B.2(2020日照模擬)已知sin 2，則cos2()A. B.C. D.解析：Csin 2cos2cos21，cos2.3(組合型選擇題)下列式子的運(yùn)算結(jié)果為的是( )tan 25tan 35tan 25tan 35；2(sin 35cos 25cos 35cos 65)；.A BC D解析：C對(duì)于，tan 25

14、tan 35tan 25tan 35tan(2535)(1tan 25tan 35)tan 25tan 35tan 25tan 35tan 25tan 35；對(duì)于，2(sin 35cos 25cos 35cos 65)2(sin 35cos 25cos 35sin 25)2sin 60；對(duì)于，tan 60；對(duì)于，tan.綜上，式子的運(yùn)算結(jié)果為的是.故選C.4(2019沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，AC，BC2，B60，則BC邊的高為()A. B.C. D.解析：B由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos B，得7AB244ABcos 60，即AB22AB30，得AB3，則BC

15、邊上的高為ABsin 60，故選B.5(2020廣西南寧、玉林、貴港等市摸底)在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c，C，sin B2sin A，則ABC的周長(zhǎng)是()A3 B2C3 D4解析：C在ABC中，sin B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，a1，b2.ABC的周長(zhǎng)是abc123.故選C.6.(2019保定二模)已知在河岸A處看到河對(duì)岸兩個(gè)帳篷C，D分別在北偏東45和北偏東30方向，若向東走30米到達(dá)B處后再次觀察帳篷C，D，此時(shí)C，D分別在北偏西15和北偏西60方向，則帳篷C，D之間的距離為()A10

16、米 B10米C5米 D5米解析：C由題意可得DAB60，CAB45，CBA75，DBA30，在ABD中，DAB60，DBA30，AB30，所以ADB90，sinDABsin 60，解得BD15.在ABC中，CAB45，CBA75，所以ACB60，解得BC10.在BCD中，CBDCBADBA45，則由余弦定理得cosCBDcos 45，即，得CD5.故選C.二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7(2020陜西省質(zhì)量檢測(cè))在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知1，且b5，5，則ABC的面積是_解析：在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知1，所以1，化簡(jiǎn)

17、可得：b2a2bcc2，可得cos A，0A，A.又b5，5，bccos A5，bc10.Sbcsin A10.答案：8(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，點(diǎn)D在線段AC上若BDC45，則BD_，cosABD_.解析：解答解三角形問(wèn)題，要注意充分利用圖形特征在ABD中，有：，而AB4，ADB，AC5，sinBAC，cosBAC，所以BD.cosABDcos(BDCBAC)coscosBACsinsinBAC.答案：，三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9(2019江蘇卷)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a3c，b，cos B，求c的

18、值；(2)若，求sin的值解：(1)因?yàn)閍3c，b，cos B，由余弦定理，得cos B，得，即c2.所以c.(2)因?yàn)?，由正弦定理，得，所以cos B2sin B.從而cos2 B(2sin B)2，即cos2 B4(1cos2 B)，故cos2 B.因?yàn)閟in B0，所以cos B2sin B0，從而cos B.因此sincos B.10(2020遼寧三市調(diào)研)在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(ac)c.(1)求角B的大??；(2)若|，求ABC面積的最大值解：(1)由題意得(ac)cos Bbcos C.根據(jù)正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos

19、 C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A.因?yàn)锳(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因?yàn)閨，所以|，即b，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào))，即ac3(2)，故ABC的面積Sacsin B，即ABC面積的最大值為.11.(2020廣東六校聯(lián)考)某學(xué)校的平面示意圖為如圖五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.(1)求道路BE的

20、長(zhǎng)度(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值解析：(1)如圖，連接BD，在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2CD22BCCDcosBCD，所以BD，因?yàn)锽CCD，所以CDBCBD，又CDE，所以BDE.在RtBDE中，BE.(2)設(shè)ABE，因?yàn)锽AE，所以AEB.在ABE中，由正弦定理，得，所以ABsin，AEsin .所以SABE|AB|AE|sin，因?yàn)?，所以當(dāng)2，即時(shí)，SABE取得最大值為，即生活區(qū)ABE面積的最大值為.高考解答題審題與規(guī)范(二) 三角函數(shù)與解三角形類考題重在“變換”思維流程變角已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和

21、定理的變換運(yùn)用變式在解決解三角形的問(wèn)題時(shí)，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍.(1)利用正弦定理將已知條件統(tǒng)一成角的關(guān)系，再用誘導(dǎo)公式、二倍角公式變形化簡(jiǎn)，解出角的正弦值，從而得角B.(2)結(jié)合(1)及已知，把三角形面積表示成a的函數(shù)，再利用正弦定理將a表示為角C的三角函數(shù)，注意到銳角三角形及角B的大小，確定角C的范圍，進(jìn)而得解.條件是解題的主要材料，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路審視條件

22、要充分挖掘每一個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含信息，發(fā)掘條件的內(nèi)在聯(lián)系.規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則解析(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A1分因?yàn)閟in A0，所以sinsin B2分由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.3分因?yàn)閏os0，故sin，因此B60.5分(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.6分由正弦定理得a.8分由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，10分故a2，11分從而SABC.因此，ABC面積的取值范圍是.12分第(1)問(wèn)踩點(diǎn)得分正確利用正弦定理得1分sin A0正確化簡(jiǎn)得1分利用ABC180，恒等變形得1分cos0得sin得1分；進(jìn)而求出B得1分第(2)問(wèn)踩點(diǎn)得分表示出SABC得1分利用正弦定理并能表示出a得2分利用銳角和B60，得出C的范圍得2分由C的范圍得出a的范圍得1分求出SABC的范圍得1分.- 18 -