《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級二 專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用教學(xué)案（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 考情考向高考導(dǎo)航1已知數(shù)列遞推關(guān)系求通項公式，主要考查利用an與Sn的關(guān)系求通項公式，利用累加法、累乘法及構(gòu)造法求通項公式，主要以選擇題、填空題的形式考查，有時作為解答的第(1)問考查，難度中等2數(shù)列求和常與數(shù)列綜合應(yīng)用一起考查，常以解答題的形式考查，有時與函數(shù)不等式綜合在一起考查，難度中等偏上真題體驗1(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_.解析：當(dāng)n1時，a1S12a11，a11.當(dāng)n2時，Sn2an1Sn12an11得anSnSn12an2an1，an2an1即2，數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，S663.答案：632(201

2、9天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，依題意，得解得故an33(n1)3n，bn33n13n.所以，an的通項公式為an3n，bn的通項公式為bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)記Tn131232n3n，則3Tn132233n3n1，得，2Tn33233

3、3nn3n1n3n1.所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23(nN*)主干整合1數(shù)列通項(1)數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系，an(2)應(yīng)用an與Sn的關(guān)系式f(an，Sn)0時，應(yīng)特別注意n1時的情況，防止產(chǎn)生錯誤2數(shù)列求和(1)分組轉(zhuǎn)化求和：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并(2)錯位相減法：主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中an是各

4、項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列熱點一求數(shù)列的通項公式例1(1)(2020臨沂模擬)在數(shù)列an中，a12，an1anln，則an等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)(2020成都模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，Snn2an(nN)則數(shù)列an的通項公式為_解析(1)由已知，an1anln，a12，所以anan1ln(n2)，an1an2ln，a2a1ln，將以上n1個式子疊加，得ana1lnlnlnlnln n.所以an2ln n(n2)，經(jīng)檢驗n1時也適合故選A.(2)由Snn2an，()得當(dāng)n2時，Sn1(n1)2an1，()()(

5、)，得ann2an(n1)2an1(n2，nN*)，所以(n1)an(n1)an1，即(n2)，因為a1，又a1，符合上式，所以an.答案(1)A(2)an1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系an2求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)(1)數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足1(n2)則數(shù)列an

6、的通項公式為_解析：由已知，當(dāng)n2時，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列所以1(n1)，即Sn.所以當(dāng)n2時，anSnSn1.因此an答案：an(2)各項均不為0的數(shù)列an滿足an2an(nN*)，且a32a8，則數(shù)列an的通項公式為_解析：因為an2an，所以an1anan1an22an2an.因為anan1an20，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為d，則(83)d.因為a32a8，所以d1，又2d3，所以數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列3(n1)1n2，an.答案：an熱點二數(shù)列求和問題裂項相消法求和例21(2018天津卷)設(shè)an是等比數(shù)列

7、，公比大于0，其前n項和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn(nN*)求Tn；證明n,k1 2(nN*)解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a11，a3a22，可得q2q20.因為q0，可得q2，故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a4b3b5，可得b13d4，由a5b42b6，可得3b113d16，從而b11，d1，故bnn.所以，數(shù)列an的通項公式為an2n1，數(shù)列bn的通項公式為bnn.(2)由(1)，有Sn2n1，故Tnn2n1n2.證明：因為，所以，n,k1 2.錯位

8、相減法求和例22(2018浙江卷)已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項，數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式解析(1)由a42是a3，a5的等差中項得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520得820，解得q2或q，因為q1，所以q2.(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn前n項和為Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得，an2n1，所以bn1bn(4n1)n1，故bnbn1(4n5)n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b

9、2b1)(4n5)n2(4n9)n373.設(shè)Tn37112(4n5)n2，n2，Tn372(4n9)n2(4n5)n1，所以Tn34424n2(4n5)n1，因此Tn14(4n3)n2，n2，又b11，所以bn15(4n3)n2.數(shù)列求和的常用方法1利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；(2)裂項相消求和法是數(shù)列求和的重要方法之一，其基本形式為：若an是等差數(shù)列且an0，則.2用錯位相減法求和時應(yīng)注意的兩點(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的數(shù)列；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的

10、表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式3并項求和法一個數(shù)列的前n項和可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用并項求和(1)(2020長沙模擬)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和為_解析：由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0，由于an是正項數(shù)列，所以Sn10.所以Snn2n(nN*)n2時，anSnSn12n，n1時，a1S12適合上式an2n(nN*)即bnTn答案：(2)已知an若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，則數(shù)列bn的前n項和為_解析：因

11、為anbnlog3an，所以b1，當(dāng)n1時，bn3(1n)log33n1(n1)31n.所以T1b1；當(dāng)n1時，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.經(jīng)檢驗，n1時也適合綜上可得Tn.答案：熱點三數(shù)列與函數(shù)不等式的交匯創(chuàng)新例3(2019桂林三模)已知函數(shù)f(x)的圖象過定點(1,1)，且對任意的實數(shù)x1，x2R，都有f(x1x2)1f(x1)f(x2)(1)證明數(shù)列(nN*)為等比數(shù)列；(2)若bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，不等式T2nTnlog2(x1)

12、(n2，nN*)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍審題指導(dǎo)(1)先令x1x2，再證明數(shù)列(nN*)為等比數(shù)列；(2)先求出數(shù)列的通項公式，再求和，根據(jù)T2nTn的單調(diào)性求出最小項，最后求實數(shù)x的取值范圍解析(1)令x1x2，則f1ff，即f12f，則f12，令x1x2，則f(1)12f1，得f0，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為1.(2)由題意知函數(shù)f(x)的圖象過定點(1,1)，所以f(1)1.令x1n，x21，則f(n1)1f(1)f(n)，即f(n1)f(n)2，則f(n)是等差數(shù)列，公差為2，首項為1，故f(n)1(n1)22n1.因為bn，所以bn.設(shè)g(n)T2nTnbn1bn2b2n，

13、則g(n1)g(n)0，所以g(n)是遞增數(shù)列，g(n)ming(2)，從而log2(x1)，即log2(x1)2，則解得x(1,3)，所以實數(shù)x的取值范圍為(1,3)1求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件2數(shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理(2019淮南二模)若數(shù)列an的前n項和為Sn，點(an，Sn)在yx的圖象上(xN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若c10，且對任意正整

14、數(shù)n都有cn1cnlogan，求證：對任意正整數(shù)n2，總有.解：(1)Snan，當(dāng)n2時，anSnSn1an1an，anan1，又S1a1，a1，ann12n1.(2)證明：由cn1cnlogan2n1，得當(dāng)n2時，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1).又，原式得證限時50分鐘滿分76分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2020重慶七校聯(lián)考)若數(shù)列an滿足0，則稱an為“夢想數(shù)列”已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b31，則b6b7b8()A4 B16 C32 D64解析：C由0可得an1an，故an是公比為的等比數(shù)列，故

15、是公比為的等比數(shù)列，則bn是公比為2的等比數(shù)列，b6b7b8(b1b2b3)2532，故選C.2(2020江西省五校協(xié)作體考試)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，若anSn2n,2bn2an2an1，則()A. B. C. D.解析：D因為anSn2n，所以an1Sn12n1，得2an1an2n，所以2an2an12n1.又2bn2an2an12n1，所以bnn1，則11，故選D.3(2020廣東省六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan(2n1)3n.設(shè)bn，Sn為數(shù)列bn的前n項和，若Sn(為常數(shù)，nN*)，則的最小值是()A. B. C. D.解析：Ca12a23a3nan(2n1)3

16、n，當(dāng)n2時，a12a23a3(n1)an1(2n3)3n1，得，nan4n3n1(n2)，即an43n1(n2)當(dāng)n1時，a134，所以anbn所以Sn，Sn，得，Sn，所以Sn，所以易知的最小值是，故選C.4(2019青島三模)已知f(n)表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則f(12)3；21的因數(shù)有1,3,7,21，則f(21)21，那么100,i51f(i)的值為()A2 488 B2 495 C2 498 D2 500解析：D由f(n)的定義知f(n)f(2n)，且若n為奇數(shù)則f(n)n，則100,i1f(i)f(1)f(2)f(100)

17、13599f(2)f(4)f(100)f(1)f(2)f(50)2 50050,i1f(i)，100,i51f(i)100,i1f(i)50,i1f(i)2 500.5(2019深圳二模)已知數(shù)列an滿足2a122a22nann(nN*)，數(shù)列的前n項和為Sn，則S1S2S3S10()A. B. C. D.解析：C2a122a22nann(nN*)，2a122a22n1an1n1(n2)，2nan1(n2)，當(dāng)n1時也滿足，故an，故，Sn11，S1S2S3S10，選C.6(2019濰坊三模)已知等差數(shù)列an中公差d0，a11，a1，a2，a5成等比數(shù)列，且a1，a2，ak1，ak2，akn成

18、等比數(shù)列，若對任意的nN*，恒有(mN*)，則m()A0 B1 C2 D1或2解析：D由已知可得，aa1a5，即(1d)21(14d)，又d0，解得d2，所以an2n1.因為a1，a2，ak1，ak2，akn成等比數(shù)列，所以2kn13n1.令bn，設(shè)數(shù)列bn中的最大項為bl，故滿足解得1l2，即數(shù)列bn中的最大項為b1，b2，所以m1或2.二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)7(2019昆明三模)已知數(shù)列an中，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項和為_解析：由題意可知，數(shù)列a2n是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項和

19、為10121 123.答案：1 1238(2019山師附中質(zhì)檢)將數(shù)列an中的所有項按每一行比上一行多1項的規(guī)則排成如下數(shù)陣：a1a2，a3a4，a5，a6a7，a8，a9，a10記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1，a2，a4，構(gòu)成的數(shù)列為bn，Sn為數(shù)列bn的前n項和，若Sn2bn1，則a56_.解析：當(dāng)n2時，Sn2bn1，Sn12bn11，bn2bn2bn1，bn2bn1(n2且nN*)，b12b11，b11，數(shù)列bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，bn2n1.設(shè)a1，a2，a4，a7，a11，的下標(biāo)1,2,4,7,11，構(gòu)成數(shù)列cn，則c2c11，c3c22，c4c33，c5c44，cncn1n1

20、，累加得，cnc11234(n1)，cn1，由cn156，得n11，a56b112101 024.答案：1 024三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9(2020鄭州三測)已知數(shù)列an滿足a11,2anan1an1an0，數(shù)列bn滿足bn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記數(shù)列bn的前n項和為Sn，問：是否存在n，使得Sn的值是？解析：(1)因為2anan1an1an0，所以an1，2，由等差數(shù)列的定義可得是首項為1，公差為d2的等差數(shù)列故12(n1)2n1，所以an.(2)由(1)得bn，所以Sn，兩邊同乘以得，Sn，兩式相減得Sn2，即Sn2，所以Sn3.因為Sn1Sn0

21、，所以數(shù)列Sn是關(guān)于項數(shù)n的遞增數(shù)列，所以SnS1，因為，所以不存在n，使得Sn.10(2019武漢二模)已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且a12，b36b2.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項和為Sn.求Sn；求正整數(shù)k，使得對任意nN*均有SkSn.解析：(1)由題意a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*)所以，a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項為bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn(nN

22、*)因為c10，c20，c30，c40；當(dāng)n5時，cn，而0，即數(shù)列當(dāng)n5時是遞減的所以1，所以，當(dāng)n5時，cn0.綜上，對任意nN*，恒有S4Sn，故k4.11(文)(2020浙江三地市聯(lián)考)已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)已知，求證：1.解析：(1)因為3(n1)bnnbn1，所以.則3，3，3，3，累乘，可得3n1n，因為b13，所以bnn3n，即數(shù)列bn的通項公式bnn3n.(2)證明：因為，所以an3n.因為，所以1.因為nN*，所以0，所以11，所以1.11(理)(2019江蘇卷)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”(1

23、)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn(nN*)，對任意正整數(shù)k，當(dāng)km時，都有ckbkck1成立，求m的最大值解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由得解得因此數(shù)列an為“M數(shù)列”(2)因為，所以bn0.由b11，S1b1，得，則b22.由，得Sn，當(dāng)n2時，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項公式為bnn(nN*)由知

24、，bkk，kN*.因為數(shù)列cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c11，q0.因為ckbkck1，所以qk1kqk，其中k1,2,3，m.當(dāng)k1時，有q1；當(dāng)k2,3，m時，有l(wèi)n q.設(shè)f(x)(x1)，則f(x).令f(x)0，得xe.列表如下：x(1，e)e(e，)f(x)0f(x)極大值因為，所以f(k)maxf(3).取q，當(dāng)k1,2,3,4,5時，ln q，即kqk，經(jīng)檢驗知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6，分別取k3,6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.高考解答題審題與規(guī)范(三)數(shù)列

25、類考題數(shù)列問題重在“歸”思維流程等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個基本數(shù)列，是一切數(shù)列問題的出發(fā)點與歸宿，首項與公差(比)稱為等差數(shù)列(等比數(shù)列)的基本量只要涉及這兩個數(shù)列的數(shù)學(xué)問題，我們總希望把條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數(shù)列特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的情形出發(fā)，從中歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目的特點，將數(shù)列化歸為函數(shù)問題來解決.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2019全國卷)已知數(shù)列an和bn

26、滿足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.(1)首先將已知條件中兩個等式相加，由等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列anbn為等比數(shù)列，然后將已知條件中兩個等式相減，由等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列anbn為等差數(shù)列；(2)由(1)分別求得數(shù)列anbn和anbn的通項公式，然后將這兩個通項公式進(jìn)行加減運(yùn)算即可求得an，bn的通項公式.結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)問題的搭配形式，某些問題已知的數(shù)式結(jié)構(gòu)中常常隱含著某種特殊的關(guān)系審視結(jié)構(gòu)要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、加工和轉(zhuǎn)化，以實現(xiàn)解題突破.規(guī)范解答評分細(xì)則解析(1)由題設(shè)得4(an1bn1

27、)2(anbn)，即an1bn1(anbn)2分又因為a1b110.3分所以anbn是首項為1，公比為的等比數(shù)列.4分由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.5分又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.6分(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.8分所以an(anbn)(anbn)n.10分bn(anbn)(anbn)n.12分第(1)問踩點得分由已知得出an1bn1(anbn)得2分算出a1b110得1分證明anbn是等比數(shù)列得1分由已知得出an1bn1anbn2得1分證明anbn是等差數(shù)列得1分第(2)問踩點得分分別計算anbn，anbn的通項各得2分求出an的通項得2分求出bn的通項得2分.- 19 -