《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理(含解析)北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié)綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程和特點.3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.4.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題1綜合法、分析法內(nèi)容綜合法分析法定義從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法從求證的結(jié)論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件,直到歸結(jié)為這個命題的條件,或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法實質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果
2、索因框圖表示得到一個明顯,成立的條件文字語言因為所以或由得要證只需證即證2.反證法(1)反證法的定義:在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下,經(jīng)過推理,若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立,由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法(2)反證法的證題步驟:作出否定結(jié)論的假設(shè);進行推理,導(dǎo)出矛盾;否定假設(shè),肯定結(jié)論3數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:(1)歸納奠基:證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立;(2)歸納遞推:假設(shè)nk(kn0,kN*)時命題成立,證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步
3、驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法常用結(jié)論利用歸納假設(shè)的技巧在推證nk1時,可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè)此時既要看準目標,又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系在推證時,分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗證當n1時結(jié)論成立 ()(2)綜合法是直接證明,分析法是間接證明()(3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(4)用反證法證明結(jié)論“ab”時,應(yīng)假設(shè)“a0,b0,且ab.證明:(1)ab2;(2)a2a2與b2b
4、0,b0,得ab1.(1)由基本不等式及ab1,有ab22,即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立,則由a2a0,得0a1;同理,0b1,從而ab1,這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟(1)反設(shè):假定所要證的結(jié)論不成立,而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)(2)歸謬:將“反設(shè)”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)出矛盾,矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾)(3)立論:因為推理正確,所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤既然原命題結(jié)論的反面不成立,從而肯定了原命題成立(命題成立) 設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,
5、Sn是它的前n項和(1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列;(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?解(1)證明:假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列,則SS1S3,即a(1q)2a1a1(1qq2),因為a10,所以(1q)21qq2,即q0,這與公比q0矛盾,所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當q1時,Snna1,故Sn是等差數(shù)列;當q1時,Sn不是等差數(shù)列假設(shè)Sn是等差數(shù)列,則2S2S1S3,即2a1(1q)a1a1(1qq2),得q0,這與公比q0矛盾綜上,當q1時,數(shù)列Sn是等差數(shù)列;當q1時,數(shù)列Sn不是等差數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用【例3】已知f(n)1,g(n),nN*.(1)當n1,2,3時,試比較f(n)與g
6、(n)的大小關(guān)系;(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明解(1)當n1時,f(1)1,g(1)1,所以f(1)g(1);當n2時,f(2),g(2),所以f(2)g(2);當n3時,f(3),g(3),所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想,f(n)g(n),用數(shù)學(xué)歸納法證明當n1,2,3時,不等式顯然成立假設(shè)當nk(k3,kN*)時不等式成立,即1,則當nk1時,f(k1)f(k).因為0,所以f(k1)g(k1)由可知,對一切nN*,都有f(n)g(n)成立規(guī)律方法1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)
7、用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立,推證nk1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法2利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納猜想證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足Sn2nan13n24n,nN*,且S315.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)由Sn2nan13n24n,得S24a320,S3S2a35a320.又S315,a37,S24a3208.S2S1a2(2a27)a23a27,a25,a1S12a273.綜上知a13,a25,a37.(2)由(1)猜想an2n1(nN*),以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當n1時,猜想顯然成立;假設(shè)當nk(kN*,且k2)時,有ak2k1成立,則Sk357(2k1)kk(k2)又Sk2kak13k24k,k(k2)2kak13k24k,解得ak12k32(k1)1,即當nk1時,猜想成立由知,數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*)- 8 -