《2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題學(xué)案 文 北師大版（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考專題突破四高考中的立體幾何問題【考點(diǎn)自測】1在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為()A相交 B平行 C垂直相交 D不確定答案B解析如圖取B1C1的中點(diǎn)為F，連接EF，DF，則EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：x，y，z均為直線；x，y是直線，z是平面；z是直線，x，y是平面；x，y，z均為平面其中使“xz且yzxy”為真命題的是()A B C D答案C解析由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的

2、性質(zhì)定理可知為真命題3(2018屆遼寧凌源二中聯(lián)考)已知一幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形和半圓，則該幾何體的體積為()A2 B.C2 D.答案D解析結(jié)合三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半圓柱與一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐組成的組合體，其體積為V212122，故選D.4(2017天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A BC D答案B解析由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD

3、為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯(cuò)故選B.5(2017沈陽調(diào)研)設(shè)，是三個(gè)平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個(gè)條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的序號填上)答案或解析由線面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)b，a時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確故應(yīng)填入的條件為或.題型一求簡單幾何體的表面積與體積例1 (2018屆衡水聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBCCC12

4、，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)(1)證明：AC1平面B1CD；(2)求三棱錐A1CDB1的體積(1)證明連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD.在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是平行四邊形，點(diǎn)O是BC1的中點(diǎn)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，ODAC1.又OD平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面B1CD.(2)解ACBC，ADBD，CDAB.在三棱柱ABCA1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC.又平面ABB1A1平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面ABB1A1，ACBC，ACBC2，ABA1B12，CD，V三棱錐ACDBV三棱錐CADB22.思維升華 (1)若所給定的幾何

5、體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解跟蹤訓(xùn)練1 (2018烏魯木齊質(zhì)檢)正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖)求：(1)這個(gè)正三棱錐的表面積；(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積解(1)底面正三角形中心到一邊的距離為2，則正棱錐側(cè)面的斜高為，S側(cè)329，S表S側(cè)S底9(2)296.(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O

6、，連接OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.V三棱錐PABCV三棱錐OPABV三棱錐OPBCV三棱錐OPACV三棱錐OABCS側(cè)rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S內(nèi)切球4(2)2(4016).V內(nèi)切球(2)3(922).題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例2 (2017廣州五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上(1)求證：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中點(diǎn)，求證：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，試求的值(1)證明由E是AD的中

7、點(diǎn)，PAPD可得ADPE.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，BAD60，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE平面PBE，所以AD平面PBE.(2)證明連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)QPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)解設(shè)四棱錐PBCDE，QABCD的高分別為h1，h2.所以V四棱錐PBCDES四邊形BCDEh1，V四棱錐QABCDS四邊形ABCDh2.又VPBCDE2VQABCD，且S四邊形BCDES四邊形ABCD，所以.思維升華 (1)平行問題的轉(zhuǎn)化利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定

8、問題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反在實(shí)際的解題過程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，S

9、C的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB的中點(diǎn)，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，AF，AB平面SAB，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問題例3 五邊形ANB1C1C是由一個(gè)梯形ANB1B與一個(gè)矩形BB1C1C組成的，如圖甲所示，B為AC的中點(diǎn)，ACCC12AN8.沿虛線BB1將五邊形ANB1C1C折成直二面角ABB1C，如

10、圖乙所示(1)求證：平面BNC平面C1B1N；(2)求圖乙中的多面體的體積(1)證明四邊形BB1C1C為矩形，故B1C1BB1，又由于二面角ABB1C為直二面角，故B1C1平面BB1A，又BN平面BB1A，故B1C1BN，由線段ACCC12AN8知，BBNBBN2，即BNNB1，又B1C1NB1B1，B1C1，NB1平面NB1C1，所以BN平面C1B1N，因?yàn)锽N平面BNC，所以平面BNC平面C1B1N.(2)解連接CN，過N作NMBB1，垂足為M，V三棱錐CABNBCSABN444，又B1C1平面ABB1N，所以平面CBB1C1平面ABB1N，且平面CBB1C1ABB1NBB1，NMBB1，

11、NM平面ABB1N，所以NM平面B1C1CB，V四棱錐NBCCBNMS矩形BCCB448，則此幾何體的體積VV三棱錐CABNV四棱錐NBCCB.思維升華 平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化跟蹤訓(xùn)練3 (2018屆珠海摸底)為了迎接某節(jié)日，商場進(jìn)行促銷活動，某商場打算將進(jìn)行促銷活動的禮品盒重新設(shè)計(jì)方案如下：將一塊邊長為10的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH，再將剩下的陰影部分折成一個(gè)四棱錐形狀的包裝盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于點(diǎn)

12、O，E與E重合，F(xiàn)與F重合，G與G重合，H與H重合(如圖所示)(1)求證：平面SEG平面SFH；(2)已知AE，過O作OMSH交SH于點(diǎn)M，求cosEMO的值(1)證明折后A，B，C，D重合于一點(diǎn)O，拼接成底面EFGH的四個(gè)直角三角形必為全等的等腰直角三角形，底面EFGH是正方形，故EGFH.連接SO.在原平面圖形中，SEESGG，SESG，EGSO，EGFH，EGSO，F(xiàn)HSOO，F(xiàn)H，SO平面SFH，EG平面SFH，又EG平面SEG，平面SEG平面SFH.(2)解由題意，當(dāng)AE時(shí)，OE，RtSHO中，SO5，SH，OM.由(1)知，EO平面SHF，又OM平面SHF，EOOM.在RtEMO中

13、，EM，cosEMO.題型四立體幾何中的存在性問題例4 (2017北京昌平區(qū)統(tǒng)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為正三角形，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABAD，CD2AB2AD4.(1)求證：平面PCD平面PAD；(2)求三棱錐PABC的體積；(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得BE平面PAD？若存在，請確定點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，請說明理由(1)證明因?yàn)锳BCD，ABAD，所以CDAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.因?yàn)镃D平面PCD，所以平面PCD平面PAD. (2)解取AD的中點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)镻AD為正三角形，所以POAD.

14、因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，所以PO為三棱錐PABC的高因?yàn)镻AD為正三角形，CD2AB2AD4，所以PO.所以V三棱錐PABCSABCPO22.(3)解在棱PC上存在點(diǎn)E，當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，BE平面PAD.分別取CP，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，BF，EF，所以EFPD.因?yàn)锳BCD，CD2AB，所以ABFD，ABFD，所以四邊形ABFD為平行四邊形，所以BFAD.因?yàn)锽FEFF，ADPDD，所以平面BEF平面PAD.因?yàn)锽E平面BEF，所以BE平面PAD.思維升華 對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件

15、下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)跟蹤訓(xùn)練4 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，DCAB，PA1，AB2，PDBC.(1)求證：平面PAD平面PCD；(2)試在棱PB上確定一點(diǎn)E，使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為21.(1)證明ADAB，DCAB，DCAD.PA平面ABCD，DC平面ABCD，DCPA.ADPAA，AD，PA平面PAD，DC平面PAD.DC平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)解作EFAB于F點(diǎn)，在ABP中，PAAB，EFPA，EF平面ABCD.設(shè)

16、EFh，AD1，SABCABAD1，則V三棱錐EABCSABChh.V四棱錐PABCDS四邊形ABCDPA1.由VPDCEAV三棱錐EACB21，得h21，解得h.EFPA，故E為PB的中點(diǎn)1(2017北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A3 B2 C2 D2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD2.故選B.2(2018沈陽月考)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點(diǎn)，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體

17、積的最大值是()A48 B16 C24 D144答案A解析由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因?yàn)镈A4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點(diǎn)M，由題意知，PM平面.令BMt，則AM|6t|，PA2(6t)24PA2t2，所以PA24t12.所以PM，即為四棱錐PABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S(48)636.所以V361212448.3(2017云南省十一校調(diào)研)設(shè)已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確命題的序號是_答案解析對于，當(dāng)

18、兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，分別位于這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線未必垂直，因此不正確；對于，依據(jù)結(jié)論“由空間一點(diǎn)向一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面(或半平面所在平面)引垂線，這兩條垂線所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)”可知正確；對于，分別與兩條平行直線平行的兩個(gè)平面未必平行，因此不正確；對于，由n得，在平面內(nèi)必存在直線n1平行于直線n，由m，得m，mn1，又n1n，因此有mn，正確綜上所述，所有正確命題的序號是.4.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面

19、BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_(填寫結(jié)論序號)答案解析因?yàn)锽CAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BPCF時(shí)就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯(cuò)誤5.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，則點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_答案解析點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC

20、D上的射影為P，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值連接DE，當(dāng)PCDE時(shí)，PC的長度最小，此時(shí)PC.6(2018屆永州市模擬)如圖，在三棱錐SABC中，SASB，ACBC，O為AB的中點(diǎn)，SO平面ABC，AB4，OC2，N是SA的中點(diǎn)，CN與SO所成的角為，且tan 2.(1)證明：OCON；(2)求三棱錐SABC的體積(1)證明ACBC，O為AB的中點(diǎn)，OCAB，又SO平面ABC，OC平面ABC，OCSO，又ABSOO，AB，SO平面SAB，OC平面SAB，又ON平面SAB，OCON.(2)解設(shè)OA的中點(diǎn)為M，連接MN，MC，則MNSO，故CNM即為CN與SO所成的角，又

21、MCMN且tan 2，MC2MNSO，又MC，即SO，三棱錐SABC的體積VSh24.7(2018屆武漢調(diào)研)如圖1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得MF平面D1AE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由(1)證明連接BE，ABCD為矩形且ADDEECBC2，AEB90，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)解AMAB，取D1E的

22、中點(diǎn)L，連接AL，F(xiàn)L，F(xiàn)LEC，ECAB，F(xiàn)LAB且FLAB，M，F(xiàn)，L，A四點(diǎn)共面，若MF平面AD1E，則MFAL.AMFL為平行四邊形，AMFLAB.故線段AB上存在滿足題意的點(diǎn)M，且.8.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDAB2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)(1)求證：平面PAB平面EFG；(2)在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC平面ADQ，并給出證明(1)證明在PCD中，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，EFCD，又四邊形ABCD為正方形，ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理EG平面PAB，EF，EG是平面EFG

23、內(nèi)兩條相交直線，平面PAB平面EFG. (2)解當(dāng)Q為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，PC平面ADQ.取PB的中點(diǎn)Q，連接DE，EQ，AQ，DQ，EQBCAD，且ADQE，四邊形ADEQ為梯形，由PD平面ABCD，AD平面ABCD，得ADPD，ADCD，PDCDD，PD，CD平面PCD，AD平面PDC，又PC平面PDC，ADPC.PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，DEPC，AD，DE是平面ADQ內(nèi)的兩條相交直線，PC平面ADQ.9.如圖所示的幾何體PABCD中，四邊形ABCD為菱形，ABC120，ABa，PBa，PBAB，平面ABCD平面PAB，ACBDO，E為PD的中點(diǎn)，G為平面PAB內(nèi)任一點(diǎn)(1)在

24、平面PAB內(nèi)，過G點(diǎn)是否存在直線l使OEl？如果不存在，請說明理由，如果存在，請說明作法；(2)過A，C，E三點(diǎn)的平面將幾何體PABCD截去三棱錐DAEC，求剩余幾何體AECBP的體積解(1)過G點(diǎn)存在直線l使OEl，理由如下：由題意知O為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以在PBD中，OEPB.若點(diǎn)G在直線PB上，則直線PB即為所求的直線l，所以有OEl；若點(diǎn)G不在直線PB上，在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)G作直線l，使lPB，又OEPB，所以O(shè)El，即過G點(diǎn)存在直線l使OEl.(2)連接EA，EC，則平面ACE將幾何體分成兩部分：三棱錐DAEC與幾何體AECBP(如圖所示)因?yàn)槠矫鍭BCD平面PAB，且交線為AB，又PBAB，PB平面PAB，所以PB平面ABCD.故PB為幾何體PABCD的高又四邊形ABCD為菱形，ABC120，ABa，PBa，所以S四邊形ABCD2a2a2，所以V四棱錐PABCDS四邊形ABCDPBa2aa3.又OE綊PB，所以O(shè)E平面ACD，所以V三棱錐DAECV三棱錐EACDSACDEOV四棱錐PABCDa3，所以幾何體AECBP的體積VV四棱錐PABCDV三棱錐DEACa3a3a3.19