《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第53講 曲線與方程學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第53講 曲線與方程學(xué)案（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第53講曲線與方程考綱要求考情分析命題趨勢(shì)了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2017全國(guó)卷，202016全國(guó)卷，20(1)2016全國(guó)卷，20(2)求滿足條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡及軌跡方程，用直接法和定義法較為普遍.分值：35分1曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是_這個(gè)方程_的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是_曲線上_的點(diǎn)那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點(diǎn)的集合，也可看作是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟1思維辨析(

2、在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx表示的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.( )(4)方程y與xy2表示同一曲線()解析 (1)正確由f(x0，y0)0可知點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上時(shí)，有f(x0，y0)0.所以f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件(2)錯(cuò)誤方程變?yōu)閤(xy1)0，所以x0或xy10，故方程表示直線x0或直線xy10.(3)錯(cuò)誤當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x

3、軸，y軸時(shí)，是x2y2，否則不正確(4)錯(cuò)誤因?yàn)榉匠蘺表示的曲線只是方程xy2表示曲線的一部分，故其不正確2和點(diǎn)O(0,0)，A(c,0)距離的平方和為常數(shù)c(c0)的點(diǎn)的軌跡方程為_2x22y22cxc2c0_.解析 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知()2()2c，即x2y2(xc)2y2c，即2x22y22cxc2c0.3MA和MB分別是動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與兩定點(diǎn)A(1,0)和B(1,0)的連線，則使AMB為直角的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是_x2y21(x1)_.解析 點(diǎn)M在以A，B為直徑的圓上，但不能是A，B兩點(diǎn)4平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_y28x(x

4、0)_解析 ，由，得0.即2x0.動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y28x(x0)5圓的方程為x2y24，拋物線過點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是_1(y0) _.解析 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則24，由拋物線定義得，4，故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))一定義法求軌跡方程應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解【例1】 已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切

5、，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程解析 由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以(Rr1)(r2R)r1r242.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)二直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略(1)題中給出等量關(guān)系，求軌跡方程直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程【例2】 (2016全國(guó)卷)已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x

6、軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程解析 由題知F.設(shè)l1：ya，l2：yb，則ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.(1)由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1bk2.所以ARFQ.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，則SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題設(shè)可得|ba|，解得x11.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB

7、kDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，故所求軌跡方程為y2x1.三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【例3】 (2018安徽合肥高三調(diào)研)已知M為橢圓C：1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)P滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的

8、取值范圍解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y0.由M，得(mx，y)(0，n)，則有又M(m，n)為橢圓C：1上的點(diǎn)，1，即x2y225，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2y225(y0)(2)依題意知A(5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)Q(x0，y0)，線段AB為圓E的直徑，APBP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kPA，kQFkPBkQFkQB，點(diǎn)P不同于A，B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在，5x00，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓2(2017全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(B)A1B1C1D1解析 根據(jù)雙曲

9、線C的漸近線方程為yx，可知，又橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)，所以a2b29，根據(jù)可知a24，b25，故選B3已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(D)A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析 設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得Q點(diǎn)的軌跡方程為2xy50.4設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(D)A1B1C1D1解析 M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|，|M

10、C|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2，且1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(A)Ax23y21(x0，y0)Bx23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0，點(diǎn)Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.將a，b代入axby1得所求的軌跡方程為x23y21(x

11、0，y0)6已知圓錐曲線mx24y24m的離心率e為方程2x25x20的根，則滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為(B)A4B3C2D1解析 e是方程2x25x20的根，e2或e，mx24y24m可化為1，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，有，m3；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，有，m；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，可化為1，有2，m12，滿足條件的圓錐曲線有3個(gè)，故選B二、填空題7已知ABC的頂點(diǎn) A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_1(x3)_.解析 如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌

12、跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)8在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(2,2)，若點(diǎn)C滿足OOt(OO)，其中tR，則點(diǎn)C的軌跡方程是_2xy20_.解析 設(shè) C(x，y)，則(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y2x2.9P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足O，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是1.解析 作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形，所以22.又，所以，設(shè)Q(x，y)，則，即點(diǎn)P坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.三、解答題10已知圓C1的圓心

13、在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：xy20相切(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，ANx軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足m(1m)(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C2.解析 (1)依題意圓的半徑為圓心(0,0)到直線l1的距離2，故圓C1的方程為x2y24.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)ANx軸交于點(diǎn)N，N(x0,0)，由題意，得(x，y)m(x0，y0)(1m)(x0,0)，即將A，代入x2y24，得1.即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為1.11(2018河北唐山統(tǒng)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l：x1的距離等于它到圓C：x2y24x10的切線長(zhǎng)(P到切點(diǎn)的距離)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)

14、求曲線E的方程；(2)過圓心C作直線AB：xmy2交曲線E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，過圓心C作直線CQ垂直于直線AB交直線l于點(diǎn)Q，求的取值范圍解析 (1)由已知得圓的方程為(x2)2y23，則圓心為C(2,0)，半徑r.設(shè)P(x，y)，依題意可得|x1|，整理得y26x.故曲線E的方程為y26x.(2)又直線AB的方程為myx2，則直線CQ的方程為ym(x2)，可得Q(1,3m)將myx2代入y26x并整理可得y26my120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y26m，y1y212，AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|2，所以2，故的

15、取值范圍是.12(2017全國(guó)卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解析 (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又過點(diǎn)F存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.12