《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算教學案 文（含解析）北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C公式變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aababab解的個數(shù)一解兩解一解一解3

2、.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)1三角形內(nèi)角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABab，cosAcos BABab.4三角形射影定理abcos Cccos B；bacos Cccos A；cacos Bbcos A基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有s

3、in Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，則B45或135()(4)在ABC中，()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯誤由cos A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知，BA(4)正確利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知結論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，

4、由余弦定理得cos C0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D4在ABC中，A45，C30，c6，則a等于()A3 B6 C2D3B由正弦定理得，所以a6.5(教材改編)在非鈍角ABC中，2bsin Aa，則角B為()AB CDC由2bsin Aa得2sin Bsin Asin Asin B，又B是銳角或直角B.利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4BCD2(2)(201

5、9青島模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，則A等于()A B C D(1)A(2)C(1)因為cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故選A(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A又a22b2(1sin A)，所以sin Acos A，即tan A1，又A是三角形內(nèi)角，則A，故選C規(guī)律方法應用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊：利用公式a，b，c或其他相應變形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再

6、求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相應變形公式求解(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解(4)靈活利用式子的特點轉化：如出現(xiàn)a2b2c2ab形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理 (1)(2019鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30 B45 C60 D120(2)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，A60，則sin B_，c_.(1)A(2)3(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A

7、得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)因為a，b2，A60，所以由正弦定理得sin B.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3.與三角形面積有關的問題【例2】(1)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因為sin Bsin C0，所以sin A.因為b2c2a28，

8、cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.(2)(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.求cos B；若ac6，ABC的面積為2，求b.解由題設及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法：(1)對

9、于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化 (1)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A B C DC因為SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故選C(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B證明：A2B；若ABC的面積S，求角A的大小解證明：由bc2acos B得s

10、in Bsin C2sin Acos B即2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B；所以sin(AB)sin B又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或ABB，所以A(舍去)或A2B，所以A2B由S得absin C，則sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B由sin B0得sin Ccos B又B，C(0，)，所以CB當BC時，A，當CB時，A，綜上知A或A.正余弦定理的簡單應用考法1判斷三角形的形狀【例3】(1)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos Abcos B，則ABC的形狀為()A

11、等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2019廣州模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2c2a2bc，若sin Bsin Csin2A，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因為acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(

12、bc)20，即bc，從而ABC是等邊三角形，故選C考法2求解幾何計算問題【例4】(2019哈爾濱模擬)如圖，在ABC中，B，AB8，點D在邊BC上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長解(1)在ADC中，cosADC ，sinADC，則sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcos B825228549，即AC7.考法3正、余弦定理與三角函數(shù)的交匯問題【例5】(2018天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin

13、 Aacos(1)求角B的大小；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因為B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因為ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.規(guī)律方法平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖

14、形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果易錯警示：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題 如圖，在ABC中，D是BC邊上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC

15、中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC故AB22AC23AD2BD22DC26，又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.1(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCDB因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A

16、)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角，故C，故選B2(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.3(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c

17、os A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.4(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C60，b，c3，則A_.75如圖，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A180604575.5(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.- 12 -