《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算教學案 文(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算教學案 文(含解析)北師大版(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第六節(jié)正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos A;b2c2a22cacos B;c2a2b22abcos C公式變形(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)sin A,sin B,sin Ccos A;cos B;cos C2.在ABC中,已知a,b和A時,解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aababab解的個數(shù)一解兩解一解一解3
2、.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A;(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)1三角形內(nèi)角和定理在ABC中,ABC;變形:.2三角形中的三角函數(shù)關系(1)sin(AB)sin C;(2)cos(AB)cos C;(2)sincos ;(4)cossin .3在ABC中,sin Asin BABab,cosAcos BABab.4三角形射影定理abcos Cccos B;bacos Cccos A;cacos Bbcos A基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)在ABC中,若AB,則必有s
3、in Asin B()(2)在ABC中,若b2c2a2,則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中,若A60,a4,b4,則B45或135()(4)在ABC中,()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯誤由cos A0知,A為銳角,但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知,BA(4)正確利用a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,可知結論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C,則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理,得sin A,sin B,sin C,代入得到a2b2c2,
4、由余弦定理得cos C0,所以C為鈍角,所以該三角形為鈍角三角形3ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a,c2,cos A,則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2,解得b3或b(舍去),故選D4在ABC中,A45,C30,c6,則a等于()A3 B6 C2D3B由正弦定理得,所以a6.5(教材改編)在非鈍角ABC中,2bsin Aa,則角B為()AB CDC由2bsin Aa得2sin Bsin Asin Asin B,又B是銳角或直角B.利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018全國卷)在ABC中,cos ,BC1,AC5,則AB()A4BCD2(2)(201
5、9青島模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知bc,a22b2(1sin A),則A等于()A B C D(1)A(2)C(1)因為cos ,所以cos C2cos2 1221.于是,在ABC中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132,所以AB4.故選A(2)在ABC中,由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A又a22b2(1sin A),所以sin Acos A,即tan A1,又A是三角形內(nèi)角,則A,故選C規(guī)律方法應用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊:利用公式a,b,c或其他相應變形公式求解(2)求角:先求出正弦值,再
6、求角,即利用公式sin A,sin B,sin C或其他相應變形公式求解(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解(4)靈活利用式子的特點轉化:如出現(xiàn)a2b2c2ab形式用余弦定理,等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理 (1)(2019鄭州模擬)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊, 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A,則角B的大小為()A30 B45 C60 D120(2)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a,b2,A60,則sin B_,c_.(1)A(2)3(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A
7、得(bc)(bc)(ac)a,即b2c2a2ac,a2c2b2ac.又cos B,cos B,B30.(2)因為a,b2,A60,所以由正弦定理得sin B.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30,所以c3.與三角形面積有關的問題【例2】(1)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C,b2c2a28,則ABC的面積為_由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C,因為sin Bsin C0,所以sin A.因為b2c2a28,
8、cos A,所以bc,所以SABCbcsin A.(2)(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(AC)8sin2.求cos B;若ac6,ABC的面積為2,求b.解由題設及ABC得sin B8sin2,故sin B4(1cos B)上式兩邊平方,整理得17cos2B32cos B150,解得cos B1(舍去),或cos B.故cos B.)由cos B得sin B,故SABCacsin Bac.又SABC2,則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法:(1)對
9、于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化 (1)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為,則C()A B C DC因為SABCabsin C,所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C,得2abcos C2absin C,即cos Csin C,所以在ABC中,C.故選C(2)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bc2acos B證明:A2B;若ABC的面積S,求角A的大小解證明:由bc2acos B得s
10、in Bsin C2sin Acos B即2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B;所以sin(AB)sin B又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或ABB,所以A(舍去)或A2B,所以A2B由S得absin C,則sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B由sin B0得sin Ccos B又B,C(0,),所以CB當BC時,A,當CB時,A,綜上知A或A.正余弦定理的簡單應用考法1判斷三角形的形狀【例3】(1)在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,滿足acos Abcos B,則ABC的形狀為()A
11、等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2019廣州模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b2c2a2bc,若sin Bsin Csin2A,則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因為acos Abcos B,由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0,),A.由sin Bsin Csin2A得bca2,代入b2c2a2bc得(
12、bc)20,即bc,從而ABC是等邊三角形,故選C考法2求解幾何計算問題【例4】(2019哈爾濱模擬)如圖,在ABC中,B,AB8,點D在邊BC上,且CD2,cosADC.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長解(1)在ADC中,cosADC ,sinADC,則sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中,由正弦定理得BD3.在ABC中,由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcos B825228549,即AC7.考法3正、余弦定理與三角函數(shù)的交匯問題【例5】(2018天津高考)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsin
13、 Aacos(1)求角B的大小;(2)設a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B,又由bsin Aacos,得asin Bacos,即sin Bcos,可得tan B.又因為B(0,),可得B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,有b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A.因為ac,故cos A.因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以,sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.規(guī)律方法平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖
14、形拆分成若干個三角形,然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解;(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系,交叉使用公共條件,求出結果易錯警示:做題過程中,要用到平面幾何中的一些知識點,如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的一些性質(zhì),要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結合,才能順利解決問題 如圖,在ABC中,D是BC邊上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍(1)求;(2)若AD1,DC,求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD,SADCACADsinCAD因為SABD2SADC,BADCAD,所以AB2AC由正弦定理可得.(2)因為SABDSADCBDDC,所以BD.在ABD和ADC
15、中,由余弦定理,知AB2AD2BD22ADBDcosADB,AC2AD2DC22ADDCcosADC故AB22AC23AD2BD22DC26,又由(1)知AB2AC,所以解得AC1.1(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c,則C()ABCDB因為a2,c,所以由正弦定理可知,故sin Asin C又B(AC),故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A
16、)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角,故sin C0,則sin Acos A0,即tan A1.又A(0,),所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角,故C,故選B2(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos Bacos Cccos A,則B_.由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理,得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC,ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0,cos B.B.3(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c
17、os A,cos C,a1,則b_.在ABC中,cos A,cos C,sin A,sin C,sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又,b.4(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C60,b,c3,則A_.75如圖,由正弦定理,得,sin B.又cb,B45,A180604575.5(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C;(2)若c,ABC的面積為,求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,即2cos Csin(AB)sin C,故2sin Ccos Csin C可得cos C,所以C.(2)由已知得absin C.又C,所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7,故a2b213,從而(ab)225.所以ABC的周長為5.- 12 -