《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第58講 古典概型學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第58講 古典概型學(xué)案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第58講古典概型考綱要求考情分析命題趨勢1.理解古典概型及其概率計算公式2會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.2017山東卷，82016江蘇卷，72016天津卷，16古典概型主要考查實際背景的等可能事件，通常與互斥事件、對立事件等知識相結(jié)合進行考查.分值：5分1基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是_互斥_的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基本事件_的和2古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件_只有有限個_；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性_相等_3古典概型的概率公式P(A).1思維辨析

2、(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同()(2)從3，2，1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同()(3)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名作代表，那么每個同學(xué)當選的可能性相同()(4)利用古典概型的概率公式求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率()(5)“從長為1的線段AB上任取一點C，求滿足AC的概率是多少”是古典概型()解析 (1)錯誤摸到紅球的概率為，摸到黑球的概率為，摸到白球的概率為.(2)正確取到小于0的數(shù)的概率為，取到不小于0的數(shù)的概率也為.

3、(3)錯誤男同學(xué)當選的概率為，女同學(xué)當選的概率為.(4)錯誤由于正方形內(nèi)點的個數(shù)具有無限性，與古典概型不符(5)錯誤線段上的點及所取的點不具有古典概型所滿足的有限性，所以(5)錯誤2從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為(C)ABCD1解析 基本事件總數(shù)為(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3種，甲被選中共2種，則P.3從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是(D)ABCD解析 從六個數(shù)中任取2個數(shù)有15種方法，取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P1.4從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，假設(shè)

4、每張卡片被取到的概率相等，且每張卡片上只有一個數(shù)字，則取到的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為(D)ABCD解析 列舉法：從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，總的情況為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20種情況兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8種情況從分別寫有1,2,3,4,5

5、的五張卡片中依次取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P，故選D5將甲、乙兩球隨機放入編號為1,2,3的3個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則在1,2號盒子中各有一個球的概率為(B)ABCD解析 依題意得，甲、乙兩球各有3種不同的放法，共9種放法，其中1,2號盒子中各有一個球的放法有2種，故有1,2號盒子中各有一個球的概率為.一簡單的古典概型問題求古典概型概率的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)算出事件A包含的所有基本事件的個數(shù)m.(3)代入公式P(A)，求出P(A)【例1】 (1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球從袋中任取2個球，所取的2個球中

6、恰有1個白球，1個紅球的概率為(B)ABCD1(2)從分別標有1,2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(C)ABCD解析 (1)從15個球中任取2個球共有C種取法，其中有1個紅球，1個白球的情況有CC50(種)，所以P.(2)所求概率為P.二復(fù)雜的古典概型問題求較復(fù)雜事件的概率問題的方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解【例2】 為振興旅游業(yè)，四川省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省

7、內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡)某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝景區(qū)旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡(1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率解析 (1)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡設(shè)事件A為“采訪該團2人，恰有1人持銀卡”，則P(A)，所以采訪該團2人，恰有1人持銀卡的概率是.(2)設(shè)事件B為“采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等”，可以分為事件B1為“采訪該團2人，持金卡0人，持銀卡0人”，或事件B2

8、為“采訪該團2人，持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況則P(B)P(B1)P(B2)，所以采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是.三知識交匯中的古典概型問題古典概型可以出現(xiàn)在很多問題背景下，關(guān)鍵是理解題目的實際含義，找出基本事件的總數(shù)及目標事件的數(shù)目【例3】 (2017山東卷)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取

9、5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)解析 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)012342.1投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是(B)ABCD解析 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的

10、骰子，向上的點數(shù)之差的絕對值為3的情況有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3；共6種，而拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的情況有36種，所以所求概率P，故選B2已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(D)ABCD解析 f(x)x22axb2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點則有(2a)24b20，即a2b2.由題意知所有的基本事件9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值滿足

11、a2b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為.3盒子中裝有標有數(shù)字且大小相同的小球，其中m個小球標有數(shù)字1,3個小球標有數(shù)字3,2個小球標有數(shù)字5.若從盒子中任取2個球，可得這兩個球所標數(shù)字之和為6的概率是.若從盒子中任取3個球，則三個球所標數(shù)字之和小于10的概率為(B)ABCD解析 依題意，化簡得13m263m100，解得m5，任取3個球它們所標數(shù)字之和小于10的情況有：(1,1,1)，(1,1,3)，(1,1,5)，(1,3,3)，(1,3,5)，(3,3,3)，故所求概率為：.4某校50名學(xué)生參加智力答題活動，每

12、人回答3個問題，答對題目個數(shù)的及對應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下表.答對題目個數(shù)0123人數(shù)5102015根據(jù)上表信息解答以下問題：(1)從這50名學(xué)生任選兩人，求兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率；(2)從這50名學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對題目之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解析 (1)記“兩人答對題目個數(shù)之和為4或5”為事件A，則P(A)，即兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率為.(2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3.則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).從而X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.易錯點將基本事件的“等可能”與“非等

13、可能”弄錯錯因分析：誤認為題目中所有的基本事件的出現(xiàn)都是等可能的，而有些時候基本事件的出現(xiàn)不是等可能的，從而造成錯解，如對于下面的例題會誤認為基本事件共有4個：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，其實這四種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的【例1】 同時投擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，三枚硬幣同時正面向上的概率為_解析 由題意作出樹狀圖如下一共有8種情況，三枚硬幣同時正面向上只有1種情況，所以，P(三枚硬幣同時正面向上).答案 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016江蘇卷)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后投擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是_.解析 先

14、后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況可用數(shù)對表示為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個其中點數(shù)之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6個從而點數(shù)之和小于10的數(shù)對共有30個，故所求概率P.課時達標第58講解密考綱古典概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時與集合、函數(shù)、不等式等知識

15、綜合，以解答題形式出現(xiàn)一、選擇題1從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)b，則ab的概率為(D)ABCD解析 從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)的取法有5種，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)的取法有3種，所以a，b的可能結(jié)果有5315種，其中ab的結(jié)果有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3種所以所求概率為P，故選D2隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過4的概率記為p1，點數(shù)之和大于8的概率記為p2，點數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為p3，則(A)Ap1p2p3Bp2p1p3Cp1p3p2Dp3p1p2解析 隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，共有36種不同結(jié)果，其中向

16、上的點數(shù)之和不超過4的有6種不同結(jié)果；點數(shù)之和大于8的有10種不同結(jié)果；點數(shù)之和為奇數(shù)的有18種不同結(jié)果，故p1，p2，p3，故p1p2p3.3有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為(A)ABCD解析 甲、乙兩位同學(xué)參加3個小組的所有可能性有339(種)，其中甲、乙兩人參加同個小組的情況有3種，故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率P.4從1,2,3,4這四個數(shù)字中一次隨機取兩個，則取出的這兩個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是(B)ABCD解析 從1,2,3,4這四個數(shù)字中一次隨機取兩個，共有6種情況，其中取出的這個

17、數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(2,4)，共2種，所以P.5把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為n，方程組只有一組解的概率是(D)ABCD解析 方程組只有一組解，除了這兩種情況之外都可以，故所求概率P.6甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就稱甲、乙“心相近”現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心相近”的概率為(D)ABCD解析 試驗包含的基本事件共有6636種結(jié)果其中滿足題設(shè)條件的有如下情況：若a1，則b1,2；若a2，則b1,2,3；若a3，則b2,3

18、,4；若a4，則b3 ,4 ,5 ；若a5，則b4,5,6；若a6，則b5,6.共16種故他們“心相近”的概率為P.二、填空題7甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為_.解析 甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍)，(藍，紅)，(白，藍)，(藍，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種故所求概率為P.8某班班會準備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人依次發(fā)言，要求甲、乙

19、兩人至少有一人發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為_.解析 若甲、乙兩人只有一人參加時，不同的發(fā)言順序有CCA種；若甲、乙同時參加時，不同的發(fā)言順序有CA種，而甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰情況有AA種，所求概率為.9(2017山東濰坊模擬)如圖，莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中的得分，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為.解析 由莖葉圖知甲在五場比賽中的得分總和為1819202122100；乙運動員在已知成績的四場比賽中得分總和為1516182877，乙的另一場得分是20到29十個數(shù)字中的任何一個的可能性是相等的，共

20、有10個基本事件，而事件“甲的平均得分不超過乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7個基本事件，所以甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為.三、解答題10一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率解析 (1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1,2，1

21、,3兩個因此所求事件的概率P.(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件nm2的事件的概率為P1.故滿足條件nm2的事件的概率為1P11.11(2016天津卷)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3

22、,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解析 (1)由已知，有P(A).所以事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X012P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0121.12一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c.(1)z(b3)2(c3)2，求z4的概率；(2)若方程x2bxc0至少有一根x1,2,3

23、,4，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率解析 (1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個當z4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)，所以P(z4).(2)若方程一根為x1，則1bc0，即bc1，不成立若方程一根為x2，則42bc0，即2bc4，所以若方程一根為x3，則93bc0，即3bc9，所以若方程一根為x4，則164bc0，即4bc16，所以由知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)所以方程為“漂亮方程”的概率為P.12