《2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題五 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合應用教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題五 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合應用教學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講圓錐曲線的綜合應用 考情考向高考導航1圓錐曲線中的定點與定值、最值與范圍問題是高考必考的問題之一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一2以橢圓或拋物線為背景，尤其是與條件或結論相關存在性開放問題對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力有較高的要求，并突出數(shù)學思想方法考查真題體驗1(2019北京卷)已知橢圓C：1的右焦點為(1,0)，且經(jīng)過點A(0,1)(1)求橢圓C的方程；(2)設O為原點，直線l：ykxt(t1)與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N.若|OM|ON|2，求證：直線l經(jīng)過定點解析：(1)因為橢圓的右焦點為(1,0)，c1；因為橢

2、圓經(jīng)過點A(0,1)，所以b1，所以a2b2c22，故橢圓的方程為y21.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)聯(lián)立得(12k2)x24ktx2t220，0，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2.直線AP：y1x，令y0得x，即|OM|；同理可得|ON|.因為|OM|ON|2，所以2；1，解之得t0，所以直線方程為ykx，所以直線l恒過定點(0,0)答案：(1)y21(2)見解析2(2018全國卷)設拋物線C：y22x，點A(2,0)，B(2，0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：AB

3、MABN.解：(1)當l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得M的坐標為(2,2)或(2，2)所以直線BM的方程為yx1或yx1.(2)當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當l與x軸不垂直時，設l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直線BM，BN的斜率之和為kBMkBN.將x12，x22及y1y2，y1y2的表達式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以ABMABN.綜上，ABMABN.主干整合1有關弦長問題有關弦長問

4、題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2| |y2y1|(k0)，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)2圓錐曲線中的最值(1)橢圓中的最值F1，F(xiàn)2為橢圓1(ab0)的左、右焦點，P為橢圓的任意一點，B為短軸的一個端點，O為坐標原點，則有：|OP|b，a；|PF1|ac，ac

5、；|PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)雙曲線中的最值F1，F(xiàn)2為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，P為雙曲線上的任一點，O為坐標原點，則有：|OP|a；|PF1|ca.(3)拋物線中的最值點P為拋物線y22px(p0)上的任一點，F(xiàn)為焦點，則有：|PF|；A(m，n)為一定點，則|PA|PF|有最小值3拋物線焦點弦的幾個重要結論直線AB過拋物線y22px(p0)的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p，x1x22p，即當x1x2時，弦長最短為2p.(3)為定值.(4)弦長|AB|(為AB的傾斜角

6、)(5)以AB為直徑的圓與準線相切熱點一圓錐曲線中的范圍、最值問題數(shù)學運算素養(yǎng)數(shù)學運算圓錐曲線問題的核心素養(yǎng)以圓錐曲線問題為載體，借助相關知識，通過式的變形考查運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).構造函數(shù)求最值例11(2019全國卷)已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.證明：PQG是直角三角形；求PQG面積的最大值審題指導(1)利用斜率公式及kAMkBM求動點M的軌跡方程(2)根據(jù)點P在第

7、一象限的特征，畫出滿足題意的幾何圖形，初步判斷出PQG中QPG是直角設出直線PQ的斜率和方程，再結合xExP及點P，Q關于原點對稱，求出直線QG的斜率和方程，聯(lián)立直線QG和曲線C的方程，求出點G的坐標，最后求出直線PG的斜率，即可證明kPQkPG1.根據(jù)PQG是直角三角形，建立SPQG關于直線PQ的斜率k的關系式求最值解析(1)由題設得，化簡得1(|x|2)，所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點(2)證明：設直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k0)由得x.設u，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直線QG的斜率為，方程為y(xu)由得(2k2)x22uk2

8、xk2u280.設G(xG，yG)，則u和xG是方程的解，故xG，由此得yG，從而直線PG的斜率為.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面積S|PQ|PG|.設tk，則由k0得t2，當且僅當k1時取等號因為S在2，)單調遞減，所以當t2，即k1，S取得最大值，最大值為.因此，PQG面積的最大值為.最值問題的2種基本解法幾何法根據(jù)已知的幾何量之間的相互關系、平面幾何和解析幾何知識加以解決的(如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等在選擇題、填空題中經(jīng)常考查)代數(shù)法建立求解目標關于某個(或兩個)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值解決的(普通方法、基

9、本不等式方法、導數(shù)方法)(如本例)等尋找不等關系解范圍問題例12(2018全國卷，節(jié)選)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m0)證明：k0，2221.當m時，取得最小值1，此時G(2,0)5(2019北京卷)已知拋物線C：x22py經(jīng)過點(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準線方程；(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點解析：本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關系，圓的方程的求解及其應用等知識，意在

10、考查學生的轉化能力和計算求解能力(1)將點(2，1)代入拋物線方程：222p(1)可得：p2，故拋物線方程為：x24y，其準線方程為：y1.(2)很明顯直線l的斜率存在，焦點坐標為(0，1)，設直線方程為ykx1，與拋物線方程x24y聯(lián)立可得：x24kx40.故：x1x24k，x1x24.設M，N，則kOM，kON，直線OM的方程為yx，與y1聯(lián)立可得：A，同理可得B，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為：，圓的半徑為：，且：2k，22，則圓的方程為：(x2k)2(y1)24(k21)，令x0整理可得：y22y30，解得：y13，y21，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0，3)，(0,1)

11、高考解答題審題與規(guī)范(五)解析幾何類考題重在“巧設”思維流程1.解析幾何部分知識點多，運算量大，能力要求高，在高考試題中大都是在壓軸題的位置出現(xiàn)，是考生“未考先怕”的題型之一，不是怕解題無思路，而是怕解題過程中繁雜的運算2.在遵循“設列解”程序化運算的基礎上，應突出解析幾何“設”的重要性，以克服平時重思路方法、輕運算技巧的頑疾，突破如何避繁就簡這一瓶頸.真題案例審題指導審題方法(12分)(2019全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點；(2)若以E為圓的圓與直線AB相切，切點為線段AB的中點，求四邊形ABCD的面積.(1)設

12、點D的坐標為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義確定切線DA，DB的斜率，利用方程的同解性得出直線AB的方程，進而證明直線過定點(2)聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，求出AB的弦長及點D，E到直線AB的距離，建立四邊形ADBE的面積表達式，再利用直線與圓相切的條件求出參數(shù)的值，進而可求四邊形ADBE的面積.審方法數(shù)學思想是問題的主線，方法是解題的手段審視方法，選擇適當?shù)慕忸}方法，往往使問題的解決事半功倍審題的過程還是一個解題方法的抉擇過程，開拓的解題思路能使我們心涌如潮，適宜的解題方法則幫助我們事半功倍.規(guī)范解答解析(1)設D，A(x1，y1)，則x2y1.1分由yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2t

13、x12y110.2分設B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.3分故直線AB的方程為2tx2y10.4分所以直線AB過定點5分(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.6分于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21).7分設d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離，則d1，d2.因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23).9分設M為線段AB的中點，則M.由于，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.11分當t0時，S3；當t1時，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.12分評分細則第(1)問踩點得分設出D點、A點坐標得1分求出A點處的切線方程得1分同理寫出B點處的切線方程得1分求出AB的方程得1分求出定點得1分第(2)問踩點得分聯(lián)立方程組得x的一元二次方程得1分用t表示出|AB|的長得1分分別求出點D、E到AB的距離得1分；表示出四邊形的面積得1分求出M點及的坐標得1分；求出AB的方向向量，利用求出t的值得1分求出四邊形的面積得1分.- 17 -