《2020版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間圖形的基本關系與公理教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間圖形的基本關系與公理教學案 文（含解析）北師大版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)空間圖形的基本關系與公理考綱傳真1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題1空間圖形的公理(1)公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(2)公理2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行2空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系(2)異面直線所成的角定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線

2、a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角范圍：.(3)定理(等角定理)空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補3空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)空間中直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面內(nèi)a有無數(shù)個公共點直線在平面外直線a與平面平行a沒有公共點直線a與平面斜交aA有且只有一個公共點直線a與平面垂直a(2)空間中兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行沒有公共點兩平面相交斜交l有一條公共直線垂直且a1公理2的三個推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有

3、且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線3等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個角互補基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合()(4)若直線a不平行于平面，

4、且a，則內(nèi)的所有直線與a異面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A30B45C60D90C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3(教材改編)下列命題正確的是()A經(jīng)過三點確定一個平面B經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C四邊形確定一個平面D兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面D根據(jù)確定平面的公理和推論知選項D正確4已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形 一定是()A空間四邊

5、形B矩形C菱形D正方形B四邊形的相鄰兩邊分別平行于空間四邊形的兩角對角線，故選B5已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點，從而，有公共點，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A空間圖形的公理及其應用【例1】(1)以下命題中，正確命題的個數(shù)是()不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，

6、C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0 B1C2D3B正確，可以用反證法證明，假設任意三點共線，則四個點必共面，與不共面的四點矛盾；中若點A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故錯誤；中，直線b，c可能是異面直線，故錯誤；中，當四條線段構成空間四邊形時，四條線段不共面，故錯誤(2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面；CE，D1F，DA三線共點解如圖，連接EF，CD1，A1BE，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，

7、C，D1，F(xiàn)四點共面EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設交點為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點規(guī)律方法共點、共線、共面問題的證明方法(1)證明點共線問題：公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)基本公理3證明這些點都在交線上；同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上(2)證明線共點問題：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點(3)證明點、直線共面問題：納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi)；輔助

8、平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合 (1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是 ()ABCDD根據(jù)異面直線的判定定理，選項D中PS與QR是異面直線，則四點P，Q，R，S不共面故選D(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點求證：D1，H，O三點共線證明如圖，連接BD，B1D1，則BDACO，因為BB1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，則H平面BB1D1D，因為平面ACD1平面BB1D1DOD1，

9、所以HOD1.即D1，H，O三點共線空間兩條直線的位置關系【例2】(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面，b平面，c，給出下列命題：若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；若ab，則必有ac.其中真命題有_(填序號)(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)(1)(2)(1)對于，若c與a，b都不相交，則ca，cb，從而ab，這與a與b是異面直線矛盾，故正確對于，a與b可能異面垂直，故錯誤對于，由ab可知a，又c，從而ac，故正確(2)圖中，直線GHMN

10、；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG(圖略)，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖中，GH與MN異面規(guī)律方法異面直線的判定方法 (1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線(2)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結論為_(把你

11、認為正確的結論的序號都填上)(1)C(2)(1)c與b可能相交，也可能異面，但可不能平行，故選C(2)根據(jù)兩條異面直線的判定定理知，正確異面直線所成的角【例3】(1)(2018全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()ABCD(2)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，BB11，P是AB的中點，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A30 B45 C60 D90(1)C(2)C(1)如圖，連接BE，因為ABCD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即EAB不妨設正方體的棱長為2，則CE1

12、，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故選C(2)取CD的中點Q，連接BQ，C1QP是AB的中點，BQPDC1BQ是異面直線BC1與PD所成的角在C1BQ中，C1BBQC1Q，C1BQ60，即異面直線BC1與PD所成的角等于60，故選C規(guī)律方法用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角 (1)已知P是ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB、PC

13、的中點，若MNBC4，PA4，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A30B45C60D90(2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(1)A(2)(1)取AC的中點O，連接OM，ON，則OMBC，ONPAONM就是異面直線PA與MN所成的角在OMN中，MN4，OM2，ON2，cosONM，ONM30即異面直線PA與MN所成角的大小為30，故選A(2)取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線

14、AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.1(2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()ABCDC將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD2221222

15、1cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C2(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()ABCDA根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角設平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.- 11 -