《2019版高考數學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第三章 三角函數、三角恒等變換及解三角形學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019版高考數學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第三章 三角函數、三角恒等變換及解三角形學案（90頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第三章三角函數、三角恒等變換及解三角形第1課時任意角和弧度制及任意角的三角函數 了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義. 了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化. 理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義；了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數線表示任意角的正弦、余弦、正切 能進行角度與弧度的互化. 能判斷角所在的象限，會判斷半角和倍角所在的象限. 準確理解任意角的三角函數的定義，熟記特殊角的三角函數值，并能準確判斷三角函數值的符號1. (必修4P10習題9改編)小明從家步行到學校需要15 min，則這段時間內鐘表的分針走過的角度是_答案：90解析：利用定義得分針是順時針走的，形

2、成的角是負角又周角為360，所以1590，即分針走過的角度是90.2. (必修4P10習題4改編)若角的終邊與角的終邊相同，則在0，2)內終邊與角的終邊相同的角的集合為_(用列舉法表示)答案：解析：由題意2k(kZ)， k(kZ)由02，即0k2知k，kZ. k0或1.故在0，2)內終邊與角的終邊相同的角的集合為.3. (必修4P9例3改編)已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為_答案：6解析：設扇形的半徑為R，則R22， R242.而R21， R1， 扇形的周長為2RR246.4. 已知角的終邊經過點P(8，m1)，且sin ，則m_答案：5解析：sin ，解得m5.5.

3、 函數ylg(2cos x1)的定義域為_答案：(kZ)解析： 2cos x10， cos x.利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， x(kZ)1. 任意角(1) 角的概念的推廣 按旋轉方向不同分為正角、負角、零角 按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2) 終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成k360(kZ)(3) 弧度制 1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 規(guī)定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，|，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑 弧度與角度的換算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度 弧長公

4、式：l|r扇形面積公式：S扇形lr|r22. 任意角的三角函數(1) 任意角的三角函數的定義設P(x，y)是角終邊上任意一點，且|PO|r(r0)，則有sin ，cos ，tan ，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數(2) 三角函數在各象限內的正值口訣是：全正、正弦、正切、余弦(3) 特殊角的三角函數值角弧度數sin cos tan 0001030451609010/120續(xù)表角弧度數sin cos tan 135115018001027010/3. 三角函數線設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM垂直x軸于點M，則點M是點P在x軸上的正射影

5、由三角函數的定義知，點P的坐標為(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan AT我們把有向線段OM，MP，AT叫做的余弦線、正弦線、正切線三角函數線備課札記,1象限角及終邊相同的角),1)(1) 已知2 017，則與角終邊相同的最小正角為_，最大負角為_(2) (必修4P10習題12改編)已知角是第三象限角，試判斷： 是第幾象限角？ 是第幾象限角？ 2的終邊在什么位置？(1) 答案：143217解析：可以寫成6360143的形式，則與終邊相同的角可以寫成k360143(kZ)的形式當k0時，

6、可得與角終邊相同的最小正角為143，當k1時，可得最大負角為217.(2) 解： 是第三象限角， 2k2k，kZ. 2k2k，kZ. 是第四象限角 kk，kZ， 是第二或第四象限角 4k224k3，kZ， 2的終邊在第一或第二象限或y軸非負半軸上變式訓練(必修4P10習題5改編)終邊在直線yx上的角的集合可表示為_答案：解析：直線yx 經過第一象限、第三象限，直線的傾斜角為，則終邊在該直線上的角的集合為x|xk，kZ,2三角函數的定義),2)(1) 點P是始邊與x軸的正半軸重合、頂點在原點的角的終邊上的一點，若|OP|2，60，則點P的坐標是_；(2) (2017泰州模擬)已知角的終邊過點P(

7、8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為_答案：(1) (1，)(2) 解析：(1) 設點P的坐標為(x，y)，由三角函數的定義，得sin 60，cos 60，所以x2cos 601，y2sin 60，故點P的坐標為(1，)(2) r， cos ， m0， ，即m.變式訓練(2017無錫期末)已知角的終邊與單位圓的交點為P，則sin tan _答案：解析：由OP2y21，得y2，y.當y時，sin ，tan ，此時sin tan .當y時，sin ，tan ，此時sin tan .,3三角函數的符號及判定),3)點A(sin 2 017，cos(2 017)位于第_象限答案：三解析：因為

8、2 0175360217是第三象限角，所以sin 2 0170.又2 0176360143是第二象限角，所以cos(2 017)0，所以點A(sin 2 017，cos(2 017)位于第三象限變式訓練下列判斷正確的是_(填序號) sin 3000； cos(305)0； tan0； sin 100.答案：解析：30036060，則300是第四象限角；30536055，則305是第一象限角；8，則是第二象限角；因為310，所以10是第三象限角故sin 3000，cos(305)0，tan0，sin 100，正確,4弧長公式與扇形面積公式),4)扇形AOB的周長為8 cm.(1) 若這個扇形的面

9、積為3 cm2，求圓心角的大小；(2) 求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設扇形AOB的半徑為r cm，弧長為l cm，圓心角為，(1) 由題意可得解得或 或6.(2) 2rl8， S扇lrl2r4(cm2)，當且僅當2rl，即2時，扇形面積取得最大值， r2， 弦長AB22sin 14sin 1(cm)已知扇形的周長是4 cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數是_；扇形的圓心角所對的弦長為_cm.答案： 22sin 1解析：設此扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，則2rl4，面積Srlr(42r)r22r(r1)21，故當r1時S最大，這時l42r2 cm.從而

10、2.扇形的圓心角所對的弦長為2sin 1 cm.1. 若tan(45)0，則sin ，cos ，sin 2，cos 2中一定為負數的是_答案：cos 2解析： tan(45)0， k180135k18045， k3602702k36090， cos 20)，扇形所在圓的半徑為R.(1) 若90，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2) 若扇形的周長是一定值C cm(C0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：(1) 設弧長為l，弓形面積為S弓，又90，R10，則l105(cm)，S弓S扇S三角形5101022550 (cm2)(2) 扇形周長C2Rl(2RR)cm， Rcm，

11、 S扇R2.當且僅當24，即2時，扇形面積有最大值 cm2.1. 給出下列命題： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的內角是第一象限角或第二象限角； 不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關； 若sin sin ，則與的終邊相同； 若cos 0，則是第二或第三象限的角其中正確的命題是_(填序號)答案：解析：由于第一象限角370大于第二象限角100，故錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；正弦值相等，但角的終邊不一定相同，故錯；當時，cos 10，則實數a的取值范圍是_答案：(2，3解析： cos 0，sin 0， 角的終邊落在第二

12、象限或y軸的正半軸上 2a3.1. (1) 要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再根據條件解方程或不等式(2) 已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義來求相關問題若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角2. 已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解的三角函數值3. 弧度制下的扇形的弧長與面積公式，比角度制下的扇形的弧長與面積公式要簡潔得多，用起來也方便得多因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長與面積公式4. 利用單位圓解有關三角函數的不等式(組)

13、的一般步驟(1) 用邊界值定出角的終邊位置(2) 根據不等式(組)定出角的范圍(3) 求交集，找單位圓中公共的部分(4) 寫出角的表達式第2課時同角三角函數的基本關系式與 誘導公式(對應學生用書(文)、(理)5152頁) 會運用同角三角函數進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明. 能運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，會運用它們進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明 理解同角三角函數的基本關系式：sin2cos21，tan . 理解正弦、余弦、正切的誘導公式2k(kZ)，1. 已知sin ，且，則tan _答案：解析：由sin ，得cos ，則tan .2. (必修4

14、P20練習2改編)sin(585)的值為_答案：解析：sin(585)sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.3. (2017蘇北四市摸底)已知sin，則cos 的值為_答案：解析： sinsincos ， cos .4. (必修4P23習題11改編)已知tan 2，則_答案：1解析：因為tan 2，所以1.5. (必修4P21例4改編)若sin，則coscos2_答案：解析： sin ， sin， cos . cos21sin21sin21sin21. coscos2.1. 同角三角函數的基本關系(1) 平方關系：sin2cos21(2) 商數關系

15、：tan_. 2. 誘導公式組數一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限k(kZ)與的三角函數關系的記憶規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限,1同角三角函數的基本關系式),1)(必修4P23習題20改編)已知x0，sin xcos x.(1) 求sin2xcos2x的值；(2) 求的值解：由sin xcos x，得12sin xcos x，則2sin xcos x. x0， sin x0，即sin xcos x0.則sin xcos

16、x.(1) sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x).(2) 由得則tan x.即.變式訓練(2017鹽城模擬)已知sin cos ，且，則cos sin 的值為_答案：解析： ， cos 0，sin sin ， cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12， cos sin .,2)(必修4P23習題12(2)改編)化簡：()()解：原式()()若為第二象限角，則cos sin _答案：0解析：原式cos sin cos sin .因為是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.,2誘導公式及其運用)

17、,3)已知sin，則sinsin2的值為_答案：解析：由誘導公式得sin sin，sin2cos2，則sinsin2.變式訓練已知cosa(|a|1)，則cossin_答案：0解析：由題意知，coscoscosa.sinsincosa， cossin0.,3同角三角函數的基本關系與誘導公式的綜合應用),4)(1) 設tan(5)m，求的值；(2) 在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三個內角解：(1) 由tan(5)m，得tan m， .(2) 由已知得22得2cos2A1，即cos A.() 當cos A時，cos B.又 A，B是三角形的內角， A，

18、B， C(AB).() 當cos A時，cos B.又 A，B是三角形的內角， A，B，不合題意綜上知，A，B，C.變式訓練(1) (2017江西聯考)已知tan()，且，求的值；(2) 在ABC中，若sin(3A)sin(B)，coscos(B)試判斷三角形的形狀解：(1) 由已知得tan ，.(2) 由題設條件，得sin Asin B，sin Acos B， sin Bcos B， tan B1. B(0，)， B， sin A1.又A(0，)， A， C. ABC是等腰直角三角形1. 已知cos 31a，則sin 239tan 149的值是_答案：解析：sin 239tan 149sin

19、(27031)tan(18031)(cos 31)(tan 31)sin 31.2. 已知為銳角，且tan()30，則sin 的值是_答案：解析：(解法1)由tan()30，得tan 3，即3，sin 3cos ，所以sin29(1sin2)，10sin29，sin2.因為為銳角，所以sin .(解法2)因為為銳角，且tan()30，所以tan 30即tan 3.在如圖所示的直角三角形中，令A，BC3，則AC1，所以AB，故sin .3. (2017南通調研)已知sin cos ，則sin cos _答案：解析： sin cos ， 2sin cos ， (sin cos )212sin co

20、s ， sin cos 或. ， sin cos ， sin cos .4. 已知2，則(cos 3)(sin 1)的值為_答案：4解析：因為2，所以sin242cos 2，即cos22cos 30，解得cos 1或cos 3(舍去)由cos 1得sin 0，故(cos 3)(sin 1)4.1. 已知sin(3)2sin，則sin cos _答案：解析：因為sin(3)sin()2sin，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .2. 已知cos(80)k，那么tan 100_答案：解析：因為cos(80)cos 80k，所以sin 80.所以tan 100tan 80.

21、3. (2017鹽城調研)若3sin cos 0，則_答案：解析： 3sin cos 0，且cos 0， tan ， .4. (2017南京、鹽城模擬)已知cos，且，求x的取值范圍解：(1) 周期T， 2. fcoscossin .又， 2k2x2k， 2k2x2k， kxk，kZ， x的取值范圍是.,2三角函數的性質)已知函數f(x)sin1.(1) 求f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3) 求f(x)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心，使得它們到y(tǒng)軸的距離分別最小【思維導圖】【規(guī)范解答】解：(1) 函數f(x)的最小正周期為T.令2k2x2k(

22、kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當x時，2x.由正弦函數ysin x在上的圖象知，當2x，即x時，f(x)取最大值1；當2x，即x時，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在上的最大值為1，最小值為0.(3) 令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當k0時，直線x是所有對稱軸中最靠近y軸的令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當k0時，是所有對稱中心中最靠近y軸的，所以所求的對稱軸為直線x，對稱中心為.【精要點評】 對于三角函數f(x)Asin(x)的性質(定義域、單調性、對稱性、最值或值域等)問題，通常用換元的方法，令tx，將其轉化為函數yAsin t

23、，再進行其性質的研究總結歸納解有關三角函數性質的問題，通常需先將函數轉化為f(x)Asin(x)的形式，再用研究復合函數的單調性、值域的方法利用正弦函數的圖象和性質來處理若0)的形式，再將x看成整體，利用正弦函數ysin x的性質進行求解題組練透1. 將函數ysin 2x的圖象向左平移(0)個單位，若所得的圖象過點，則的最小值為_答案：解析：易知ysin 2(x)，即ysin(2x2) 圖象過點， sin， 22k或22k，kZ，即k或k，kZ. 0， 的最小值為.2. 設函數ysin(0x)，當且僅當x時，y取得最大值，則正數的值為_答案：2解析：當x時，令x，則正數2.3. 函數f(x)s

24、in在區(qū)間上的最小值為_答案：解析：由已知x，得2x，所以sin，故函數f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.4. 設函數f(x)2sin的最小正周期為，且滿足f(x)f(x)(1) 求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；(2) 當x時，試求yf的最值，并寫出取得最值時自變量x的值解：(1) 因為f(x)的最小正周期為，所以T，解得2.又f(x)f(x)，所以f(0)0，所以sin0.又|，所以，所以2，所以f(x)2sin 2x.則2x(kZ)，解得函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當x時，2x，yf2sin 22sin.當2x，即x時，f(x)取得最大值2；當2x，即x0時，f(x)取得最小

25、值.,3根據圖象和性質確定函數yAsin(x)的解析式),3)設函數f(x)Asin(x)(A0，0，xR)的部分圖象如圖所示(1) 求函數yf(x)的解析式；(2) 當x時，求f(x)的取值范圍解：(1) 由圖象知，A2.又，0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，將點代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.所以f(x)2sin.(2) 當x時，x，所以sin，即f(x)，2變式訓練已知函數f(x)2sin(0，0)為偶函數，且函數yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1) 求f的值；(2) 將函數yf(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

26、，縱坐標不變，得到函數yg(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)的單調遞減區(qū)間解：(1) f(x)為偶函數， k，kZ，解得k，kZ. 0， .由題意得2，解得2.故f(x)2cos 2x，f2cos .(2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到f的圖象，所以g(x)f()2cos2cos.當2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時，g(x)單調遞減因此g(x)的單調遞減區(qū)間為4k，4k(kZ),4三角函數的應用),4)(必修4P42例2改編)如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分

27、鐘轉動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計算時間(1) 將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數；(2) 點P第一次到達最高點大約需要多少時間？解：(1) 建立如圖所示的直角坐標系，設角是以Ox為始邊，OP0為終邊的角OP每秒鐘內所轉過的角為.則OP在t(s)內所轉過的角為t.由題意可知水輪逆時針轉動，得z4sin2.當t0時，z0，得sin ，即.故所求函數解析式為z4sin2.(2) 令z4sin26，得sin1.令t，得t4，故點P第一次到達最高點大約需要4 s.如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m，且60 s轉動一

28、圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面間的距離為h.(1) 求h與之間的函數解析式；(2) 設從OA開始轉動，經過t s后到達OB，求h與t之間的函數解析式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少解：(1) 以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系則以Ox為始邊，OB為終邊的角為，故點B的坐標為， h5.64.8sin.(2) 點A在圓上轉動的角速度是 rad/s，故t s轉過的弧度數為t， h5.64.8sin，t0，)到達最高點時，h10.4 m.由sin1，得t， t30 s， 纜車到達最高點時，用的最少時間為30 s.1. 已知函數f(x)2sin(

29、x)的最小正周期為，且它的圖象過點，則的值為_答案：解析：f(x)2sin(x) 的最小正周期為，則2，所以f(x)2sin(2x)，它的圖象過點，則sin，故.2. 函數f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示若A，B兩點之間的距離AB5，則的值為_答案：解析：AB5，|yAyB|4，則|xAxB|3，則T6，則6，.3. 將函數ysin(2x)(0)的圖象沿x軸向左平移個單位得到的圖象關于點對稱，則_答案：解析：由題意得平移以后的函數為ysin，因為圖象關于點對稱，所以2k(kZ)，解得k(kZ)因為00，所以，x0.(2) 由(1)可知f(x)cos.因為x，所以x.所以當x0，即x時，

30、f(x)取得最大值1；當x，即x時，f(x)取得最小值0.1. (2017南師附中、淮陰中學、海門中學、天一中學四校聯考)將函數ysin(2x)(0)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數yf(x)的圖象，若函數f(x)的圖象過原點，則_答案：解析：將函數ysin(2x)(0)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數f(x)sinsin的圖象，若函數f(x)的圖象過原點，則f(0)sin0，k，kZ，k，kZ.又0，則.2. 若函數ysin(x)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則，的值分別是_答案：2，解析：由題圖可知，T2，所以2.又sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)而|，所以.3. (2017第

31、三次全國大聯考江蘇卷)將函數f(x)sin(2x)的圖象向右平移(0)向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，則ab|a|b|cos()cos()，由向量數量積的坐標表示，可知abcos cos sin sin ，因而cos()cos cos sin sin .2. 公式之間的關系及導出過程3. 公式cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；tan()；tan()4. asin bcos sin()，其中cos ，sin ，tan .的終邊所在象

32、限由a，b的符號來決定5. 常用公式變形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)；sin cos sin；sin cos sin.備課札記,1利用角的和、差公式進行化簡、求值或證明),1)(1) 求值：_；(2) (原創(chuàng))化簡：tan(18)tan(18)tan(12)_答案：(1) (2) 1解析：(1) 原式.(2) 原式tan(18)tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)tan(18)(12)1tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)1tan(18)tan(12)1.變式訓練(1) (改編題)求4(cos 24cos 26cos 66sin 26)tan 40的值；(2) 化簡：sin(75)cos(45)cos(15)解：(1) 原式4(sin 66cos 26cos 66sin 26)tan 404sin 40.(2) 原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0.,2給值求值、求角問題)典型示例,2)已知0，tan7，cos().(1) 求s