《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學案 文（含解析）北師大版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考綱傳真1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的相關概念名稱意義約束條件由x，y的一次不等式組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有

2、可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題常見結論1確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法把二元一次不等式AxByC0(0)表示為ykxb或ykxb的形式若ykxb，則平面區(qū)域為直線AxByC0的上方；若ykxb，則平面區(qū)域為直線AxByC0的下方2點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線AxByC0的兩側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直線AxByC0同側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1

3、)不等式AxByC0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)不等式x2y20表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是()Cx3y60表示直線x3y60左上方的平面區(qū)域，xy20表示直線xy20及其右下方的平面區(qū)域，故選C3點(2，t)在直線2x3y60的上方，則t的取值范圍是_直線2x3y60上方的點滿足不等式y(tǒng)x2，t(2)2，即t.4在平面直角坐

4、標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_1不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC211.5設x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_3根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由zxy得yxz.作出直線yx，并平移該直線，當直線yxz過點A時，目標函數(shù)取得最大值由圖知A(3,0)，故zmax303.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()ABCDC由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，則ABC的面積為1.故選C2

5、若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是()Aa5Ba7C5a7Da5或a7C如圖，當直線ya位于直線y5和y7之間(不含y7)時滿足條件，故選C3已知關于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實數(shù)k的值為_直線kxy20恒過點(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，則A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知2(2k2)3，解得k.規(guī)律方法確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式(組)若滿足不等式(組)，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域；否則就對應與特殊點異側

6、的平面區(qū)域(2)當不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應畫為虛線，特殊點常取原點求目標函數(shù)的最值問題考法1求線性目標函數(shù)的最值【例1】(1)(2018全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_(2)(2018北京高考)若x，y滿足x1y2x，則2yx的最小值是_(1)6(2)3(1)畫出可行域，如圖中陰影部分所示作出直線3x2y0并平移，結合圖像可知，當平移后的直線經(jīng)過點B(2,0)時，直線z3x2y在y軸上的截距最大，z取得最大值，即當時，zmax3206.(2)x1y2x可化為其表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，令z2yx，易知z2yx在點A(1，2)處取得最小值，最小

7、值為3.考法2求非線性目標函數(shù)的最值【例2】實數(shù)x，y滿足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2)若zx2y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍解由作出可行域，如圖中陰影部分所示(1)z表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范圍是2，)(2)zx2y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方因此x2y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由得A(0,1)，所以OA2()21，OB2()25，所以z的取值范圍是1,5拓展探究(1

8、)保持本例條件不變，求目標函數(shù)z的取值范圍(2)保持本例條件不變，求目標函數(shù)zx2y22x2y3的最值解(1)z可以看作過點P(1,1)及(x，y)兩點的直線的斜率，所以z的取值范圍是(，0(2)zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示點P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ，所以zmax213，zmin1.考法3求參數(shù)的值【例3】(1)已知實數(shù)x，y滿足若zxmy(m0)的最大值為4，則m_.(2)若實數(shù)x，y滿足不等式組其中m0，且xy的最大值為9，則實數(shù)m_.(1)3(2)1(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影

9、區(qū)域所示，由得B(2，2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因為zxmy(m0)，則yxz，當，即0m2時，zxmy在點A(2,0)處取得最大值2，不合題意，因此m2，此時zxmy在點B(2，2)處取得最大值4.所以22m4，解得m3.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設zxy，則yxz，當直線yxz經(jīng)過點A時，xy有最大值，此時xy9，由得A(4,5)，將A(4,5)代入xmy10得45m10，解得m1.規(guī)律方法(1)求目標函數(shù)的最值的三個步驟作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線平移將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置求值解方

10、程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值(2)常見的三類目標函數(shù)截距型：形如zaxby.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值距離型：形如z(xa)2(yb)2.表示點(x，y)與(a，b)的距離的平方斜率型：形如z.表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率 (1)(2019長春模擬)若x，y滿足約束條件，則zx2y的最小值為_(2)若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為_(3)已知x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z3xy的最大值為10，則z的最小值為_(1)5(2)(3)5(1)不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示由

11、zx2y得yxz.平移直線yx，易知經(jīng)過點A(3,4)時，z有最小值，最小值為z3245.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因為表示平面區(qū)域內的點與定點P(0,1)連線的斜率由圖知，點P與點A連線的斜率最小，所以minkPA.(3)畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3xy0，平移l，從而可知經(jīng)過C點時z取到最大值，由解得231m0，m5.由圖知，平移l經(jīng)過B點時，z最小，當x2，y2251時，z最小，zmin3215.線性規(guī)劃的實際應用【例4】(2017天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)

12、劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式， 并畫出相應的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2)設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z

13、60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得則點M的坐標為(6,3)所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多規(guī)律方法解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系(2)設元：設問題中起關鍵作用(或關聯(lián)較多)的量為未知量x，y并列出相應的不等式組和目標函數(shù)(3)作圖：準確作出可行域，平

14、移找點(最優(yōu)解)(4)求解：代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值)(5)檢驗：根據(jù)結果，檢驗反饋 (2016全國卷)某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料，生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為_元216 000設生產產品A為x件，產品B為y件，則目標函數(shù)z2 100x900y.作出可行域為圖中的陰影部分(包

15、括邊界)內的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)當直線z2 100x900y經(jīng)過點(60,100)時，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)1(2017全國卷)設x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0B3,2C0,2D0,3B畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當直線yxz過點A(2,0)時，z取得最大值，即zmax202；當直線yxz過點B(0,3)時，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范圍是3,2故選B2(2014全國卷)設x，y滿足約束條件且zxay的

16、最小值為7，則a()A5B3C5或3D5或3B二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線xay0，可知在點A，處，z取得最值，因此a7，化簡得a22a150，解得a3或a5，但a5時，z取得最大值，故舍去，答案為a3，故選B3(2018全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_9畫出可行域如圖中陰影部分所示目標函數(shù)zxy可化為yxz，作出直線yx，并平移，當平移后的直線經(jīng)過點B時，z取得最大值聯(lián)立，得解得所以B(5,4)，故zmax549.4(2018全國卷)若變量x，y滿足約束條件則zxy的最大值是_3作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線y3x，平移該直線，由圖可知當平移后的直線經(jīng)過直線x2與直線x2y40的交點(2,3)時，zxy取得最大值，即zmax233.- 13 -