《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理（含解析）（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、三角恒等變換與解三角形【2019年高考考綱解讀】正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(

2、2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如(

3、)，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解 8利用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思路把實(shí)際問(wèn)題中的要素歸入到一個(gè)或幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過(guò)解這樣的三角形即可求出實(shí)際問(wèn)題的答案注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，從而得出正確結(jié)果.【題型示例】題型一、三角變換及應(yīng)用【例1】(2018全國(guó))已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin

4、0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin(). 【變式探究】(1)已知cos3sin，則tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos3cos sinsin cos ，tan ，又tantan2，tan24.(2)若sin 2，則sin 2等于()A. BC. D答案B解析由題意得2(cos sin )sin 2，將上式兩邊分別平方，得44sin 23sin22，即3sin224sin 240，解得sin 2或sin 22(舍去)，所以sin 2.【變式探究】【2017山東，理9】在中，角，的對(duì)邊

5、分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，選A.【變式探究】若tan 0，則()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【舉一反三】 (2015新課標(biāo)全國(guó)，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【變式探究】(2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【舉一反三】

6、(2015江蘇，8)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_(kāi)解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此類問(wèn)題的著眼點(diǎn)是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解(2)對(duì)于三角函數(shù)中角的求值問(wèn)題，關(guān)鍵在于“變角”，將“目標(biāo)角”變換成“已知角”若角所在象限沒(méi)有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用(3)求三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想

7、消元，引輔角【變式探究】(2015廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1題型二、正、余弦定理【例2】(2018全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_(kāi) 答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理

8、得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.【舉一反三】【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求。【答案】(1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.【舉一反三】(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即284c24ccos ，即c22

9、c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為42sinBAC2，所以ABD的面積為.【變式探究】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知B60，c8.(1)若點(diǎn)M，N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BMBC，2，求AM的值；(2)若b12，求ABC的面積解(1)由題意得M，N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)BMx，則BN2x，AN2x，又B60，AB8，在ABN中，由余弦定理得12x2644x2282xcos 60，解得x2(負(fù)值舍去)，則BM2.在ABM中，由余弦定理，得AB2BM2

10、2ABBMcos BAM2，AM2.(2)在ABC中，由正弦定理，得sin C.又bc，所以BC，則C為銳角，所以cos C.則sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面積Sbcsin A48248.【舉一反三】 若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析SABACsin A，sin A，在銳角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【變式探究】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1. 答案1【舉一反三】(

11、1)在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_(2)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC.求cosCAD的值；若cosBAD，sinCBA，求BC的長(zhǎng)【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力(2)本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理、正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，第一問(wèn)可利用余弦定理直接求解，第二問(wèn)需綜合運(yùn)用兩角差的正弦公式和正弦定理(2)如題圖，在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由題設(shè)知，cosCAD.如題圖，設(shè)BAC，則BADCAD.因?yàn)閏osCAD，cosBAD，所以sinCAD.sin

12、BAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，得.故BC3.【變式探究】ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos A.(1)求AA；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0A，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以AAbccos A156144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，所以a5。【規(guī)律方法】 求解此類問(wèn)題，一要注意從問(wèn)題的不斷轉(zhuǎn)化中

13、尋求解題的突破口，如求AA，需要求出bc，由三角形的面積及cos A，可求出sin A，二要注意求解本題第(2)問(wèn)時(shí)，應(yīng)該結(jié)合第(1)問(wèn)中的結(jié)論題型三、解三角形的應(yīng)用【例3】(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bs

14、in Aacos，可得sin A .因?yàn)閍c，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【感悟提升】解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對(duì)最值或范圍問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來(lái)求解【變式探究】【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_ 【答案】【解析】取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意：，ABE中，又，綜上可得，BCD面積為，【變式探究】 已知函數(shù)f(x)2cos

15、2xsin1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.【舉一反三】ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長(zhǎng)【變式探究】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因?yàn)閟in Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因?yàn)锳，bcsin A3，所以bc6，故b3. 13