《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題08 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理(含解析)(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、三角恒等變換與解三角形【2019年高考考綱解讀】正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容,主要考查:1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng),與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn),不可輕視【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(
2、2R為ABC外接圓的直徑)變形:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C.sin A,sin B,sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A,b2a2c22accos B,c2a2b22abcos C.推論:cos A,cos B,cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”,“切化弦”,“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“化異為同”是指“化異名為同名”,“化異次為同次”,“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心,如(
3、),2()(),等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊,利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解(4)已知三邊,利用余弦定理求解 8利用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思路把實(shí)際問(wèn)題中的要素歸入到一個(gè)或幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三角形中,通過(guò)解這樣的三角形即可求出實(shí)際問(wèn)題的答案注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義,對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍,從而得出正確結(jié)果.【題型示例】題型一、三角變換及應(yīng)用【例1】(2018全國(guó))已知sin cos 1,cos sin 0,則sin()_.答案解析sin cos 1,cos sin
4、0,22得12(sin cos cos sin )11,sin cos cos sin ,sin(). 【變式探究】(1)已知cos3sin,則tan_.答案24解析cos3sin,sin 3sin,sin 3sin3sin cos3cos sinsin cos ,tan ,又tantan2,tan24.(2)若sin 2,則sin 2等于()A. BC. D答案B解析由題意得2(cos sin )sin 2,將上式兩邊分別平方,得44sin 23sin22,即3sin224sin 240,解得sin 2或sin 22(舍去),所以sin 2.【變式探究】【2017山東,理9】在中,角,的對(duì)邊
5、分別為,若為銳角三角形,且滿足,則下列等式成立的是(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】 所以,選A.【變式探究】若tan 0,則()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【舉一反三】 (2015新課標(biāo)全國(guó),2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【變式探究】(2015四川,12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【舉一反三】
6、(2015江蘇,8)已知tan 2,tan(),則tan 的值為_(kāi)解析tan 2,tan(),解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此類問(wèn)題的著眼點(diǎn)是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”,即一看角的差異,二看名稱的差異,三看結(jié)構(gòu)形式的差異,然后多角度使用三角公式求解(2)對(duì)于三角函數(shù)中角的求值問(wèn)題,關(guān)鍵在于“變角”,將“目標(biāo)角”變換成“已知角”若角所在象限沒(méi)有確定,則應(yīng)分情況討論,要注意三角公式的正用、逆用、變形運(yùn)用,掌握其結(jié)構(gòu)特征,還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用(3)求三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的一般思路:“五遇六想一引”,即遇正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差異,想聯(lián)系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想
7、消元,引輔角【變式探究】(2015廣東,11)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a,sin B,C,則b_解析因?yàn)閟in B且B(0,),所以B或B.又C,所以B,ABC.又a,由正弦定理得,即,解得b1.答案1題型二、正、余弦定理【例2】(2018全國(guó))ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C,b2c2a28,則ABC的面積為_(kāi) 答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C,由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0,sin A.由余弦定理
8、得cos A0,cos A,bc,SABCbcsin A.【舉一反三】【2017課標(biāo)II,理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,(1)求;(2)若,的面積為,求。【答案】(1); (2) b=2【解析】b=2(1)由題設(shè)及,故上式兩邊平方,整理得 解得 (2)由,故又由余弦定理 及得所以b=2.【舉一反三】(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin Acos A0,a2,b2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積解(1)由已知可得tan A,所以A.在ABC中,由余弦定理,得a2b2c22bccos A,即284c24ccos ,即c22
9、c240,解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD,所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為42sinBAC2,所以ABD的面積為.【變式探究】在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知B60,c8.(1)若點(diǎn)M,N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),BMBC,2,求AM的值;(2)若b12,求ABC的面積解(1)由題意得M,N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),設(shè)BMx,則BN2x,AN2x,又B60,AB8,在ABN中,由余弦定理得12x2644x2282xcos 60,解得x2(負(fù)值舍去),則BM2.在ABM中,由余弦定理,得AB2BM2
10、2ABBMcos BAM2,AM2.(2)在ABC中,由正弦定理,得sin C.又bc,所以BC,則C為銳角,所以cos C.則sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C,所以ABC的面積Sbcsin A48248.【舉一反三】 若銳角ABC的面積為10,且AB5,AC8,則BC等于_解析SABACsin A,sin A,在銳角三角形中A,由余弦定理得BC7.答案7【變式探究】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a,sin B,C,則b_解析因?yàn)閟in B且B(0,),所以B或B.又C,所以B,ABC.又a,由正弦定理得,即,解得b1. 答案1【舉一反三】(
11、1)在ABC中,A60,AC4,BC2,則ABC的面積等于_(2)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD1,CD2,AC.求cosCAD的值;若cosBAD,sinCBA,求BC的長(zhǎng)【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力(2)本題以平面四邊形為載體,考查余弦定理、正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,第一問(wèn)可利用余弦定理直接求解,第二問(wèn)需綜合運(yùn)用兩角差的正弦公式和正弦定理(2)如題圖,在ADC中,由余弦定理,得cosCAD.故由題設(shè)知,cosCAD.如題圖,設(shè)BAC,則BADCAD.因?yàn)閏osCAD,cosBAD,所以sinCAD.sin
12、BAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中,由正弦定理,得.故BC3.【變式探究】ABC的面積是30,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cos A.(1)求AA;(2)若cb1,求a的值【解析】解(1)由cos A,且0A,得sin A.又SABCbcsin A30,所以bc156,所以AAbccos A156144.(2)由(1)知bc156,又cos A,cb1,在ABC中,由余弦定理,得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625,所以a5。【規(guī)律方法】 求解此類問(wèn)題,一要注意從問(wèn)題的不斷轉(zhuǎn)化中
13、尋求解題的突破口,如求AA,需要求出bc,由三角形的面積及cos A,可求出sin A,二要注意求解本題第(2)問(wèn)時(shí),應(yīng)該結(jié)合第(1)問(wèn)中的結(jié)論題型三、解三角形的應(yīng)用【例3】(2018天津)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大??;(2)設(shè)a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos,得asin Bacos,即sin Bcos,所以tan B.又因?yàn)锽(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accos B7,故b.由bs
14、in Aacos,可得sin A .因?yàn)閍c,所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【感悟提升】解三角形與三角函數(shù)的綜合題,要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系;對(duì)最值或范圍問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來(lái)求解【變式探究】【2017浙江,14】已知ABC,AB=AC=4,BC=2點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連結(jié)CD,則BDC的面積是_,cosBDC=_ 【答案】【解析】取BC中點(diǎn)E,DC中點(diǎn)F,由題意:,ABE中,又,綜上可得,BCD面積為,【變式探究】 已知函數(shù)f(x)2cos
15、2xsin1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知f(A),若bc2a,且6,求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ),可解得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)sin,可得2A2k或2A2k(kZ)A(0,),A,bccos Abc6,bc12,又2abc,cos A111,a2.【舉一反三】ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍(1)求;(2)若AD1,DC,求BD和AC的長(zhǎng)【變式探究】在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知A,b2a2c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A,即BC,得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C,解得tan C2.(2)由tan C2,C(0,)得sin C,cos C,又因?yàn)閟in Bsin(AC)sin,所以sin B,由正弦定理得cb,又因?yàn)锳,bcsin A3,所以bc6,故b3. 13