《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學(xué)案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第59講幾何概型考綱要求考情分析命題趨勢1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率2了解幾何概型的意義.2017全國卷，22017江蘇卷，7幾何概型主要考查事件發(fā)生的概率與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、角度、面積、體積有關(guān)的實際問題，注重考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯思維能力.分值：5分1幾何概型如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_長度(面積或體積)_成比例，而與A的形狀和位置無關(guān)則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個特點一是_無限性_，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是_等可能性_，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是

2、相同的，同屬于“比例解法”，即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的_圖形面積(體積、長度)_”與“試驗的基本事件所占的_總面積(總體積、總長度)_”之比來表示3在幾何概型中，事件A的概率的計算公式P(A)_.4幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)隨機模擬方法是

3、以事件發(fā)生的頻率估計概率()(2)相同環(huán)境下兩次隨機模擬得到的概率的估計值是相等的()(3)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()解析 (1)正確由隨機模擬方法及幾何概型可知，該說法正確(2)錯誤雖然環(huán)境相同，但是因為隨機模擬得到的是某一次的頻率，所以結(jié)果不一定相等(3)正確由幾何概型的定義知，該說法正確(4)正確由幾何概型的定義知，該說法正確2在區(qū)間(15,25內(nèi)的所有實數(shù)中隨機抽取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17a20的概率是(C)ABCD解析 a(15,25，P(1

4、7a20).3有一杯2 L的水，其中含有1個細(xì)菌，用一個小杯從水中取0.1 L水，則小杯水中含有這個細(xì)菌的概率為(C)A0.01B0.02C0.05D0.1解析 因為取水是隨機的，而細(xì)菌在2 L水中的任何位置是等可能的，則小杯水中含有這個細(xì)菌的概率為P0.05.4已知x是4,4上的一個隨機數(shù)，則使x滿足x2x20的概率為(B)ABCD0解析 x2x202x1，則P.5某路公共汽車每5 min發(fā)車一次，某乘客到乘車點時刻是隨機的，則他候車時間不超過3 min的概率是(A)ABCD解析 此題可以看成向區(qū)間0,5內(nèi)均勻投點，求點落入2,5內(nèi)的概率設(shè)A某乘客候車時間不超過3 min則P(A).一與長度

5、、角度有關(guān)的幾何概型(1)設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點，點落在線段l的概率為P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，如扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段【例1】 (1)(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是.(2)(2016全國卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(B)ABCD解析 (1)由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所求概率為.(2)由題

6、意得圖：由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為.二與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合【例2】 (1)在區(qū)間1,1內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿足yx21的概率是(D)ABCD(2)(2017全國卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(B)ABCD解析 (1)如圖滿足yx21的概率為陰影部分面積與正方形面積的比， 1(x21)dx (2x2)dx|，,P.,(2)不妨設(shè)正方形的邊長

7、為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為，故選B,三與體積有關(guān)的幾何概型,對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求【例3】 (1)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_1_.(2)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐SAPC的體積大于的概率是

8、_.解析 (1)正方體的體積為2228，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為r313，則點P到點O的距離大于1的概率為：11.(2)由題意知，三棱錐SABC的高與三棱錐SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，則PM，BN分別為APC與ABC的高，所以，,又，所以，故所求的概率為(即為長度之比)1把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點，此點落在星形內(nèi)的概率為(A)A1BCD解析 這是一道幾何概型概率計算問題星形弧半徑為2，所以點落在星形內(nèi)的概率為P1，故選A2在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)x，使cos 的值介于0到之間的概率為(A

9、)ABCD解析 在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)x，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為2.1x1，x.由0cos x，得x或x，x1或1x.設(shè)事件A為“cos x的值介于0到之間”，則事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域長度為.P(A).3在區(qū)間2,2上隨機取一個數(shù)x，使1成立的概率為_.解析 在區(qū)間2,2上隨機取一個數(shù)x，則2x2，而不等式|x1|x1|1的解集為x.又因為2x2，故2x，所以使不等式成立的概率為P.4如圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為_.解析 根據(jù)題意，可以求得陰影部分的面積為S(x2)dx|，,故該點落在陰影部分的概率為P.易錯點幾何概型概念不清,錯因分析：對事

10、件中的幾何元素認(rèn)識不清晰，導(dǎo)致解題錯誤【例1】 (1)在等腰RtABC中，在斜邊AB上任取一點M，則AMAC的概率為_(2)在等腰RtABC中，過直角頂點C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，則AMAC的概率為_解析 (1)這是一個與長度有關(guān)的幾何概型問題，在AB上截取ACAC，于是P(AMAC)P(AMAC).(2)這是一個與角度有關(guān)的幾何概型問題，在AB上截取ACAC，則ACC67.5，而ACB90，于是P(AMAC)P(AMAC).答案 (1)(2)【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016山東卷)在1,1上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_.解析

11、直線ykx與圓(x5)2y29相交的充要條件為3，解之得k，,故所求概率為P.課時達(dá)標(biāo)第59講解密考綱幾何概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1在區(qū)間2,3上隨機選取一個數(shù)X，則X1的概率為(B)ABCD解析 區(qū)間2,3的長度為3(2)5，2,1的長度為1(2)3，故滿足條件的概率P.2設(shè)p在0,5上隨機地取值，則關(guān)于x的方程x2px10有實數(shù)根的概率為(C)ABCD解析 方程有實根，則p240，解得p2或p2(舍去)所以所求概率為.3在區(qū)間0,2上任取一個數(shù)x，則使得2sin x1的概率為(C)ABCD解析 2sin x1，x0,2，x，p，故選C4如圖所示，半徑為3的圓中有一

12、封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是(D)ABC2D3解析 設(shè)陰影部分的面積為S1，圓的面積S329，由幾何概型的概率計算公式得，得S13.5(2018北京昌平模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y20的距離大于2的概率是(D)ABCD解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3)，B(4，2)，C(6，2)為頂點的三角形區(qū)域，當(dāng)點在AED區(qū)域內(nèi)時，點到直線y20的距離大于2.P，故選D6(2016全國卷)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x

13、2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為(C)ABCD解析 如圖，數(shù)對(xi，yi)(i1,2，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得.故選C二、填空題7正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_.解析 當(dāng)VMABCD時，即11h，解得h，即點M到底面ABCD的距離小于，所以所求概率P.8記集合A(x，y)|x2y24和集合B(x，y)|xy20，x0，

14、y0表示的平面區(qū)域分別為1和2，若在區(qū)域1內(nèi)任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域2的概率為_.解析 作圓O：x2y24，區(qū)域1就是圓O內(nèi)部(含邊界)，其面積為4，區(qū)域2就是圖中AOB內(nèi)部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為.9在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是_.解析 設(shè)隨機取出的兩個數(shù)分別為x，y，則0x1,0y1，依題意有xy，由幾何概型知，所求概率為P.三、解答題10甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達(dá)是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時間

15、為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率解析 (1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時間分別為x，y，則0x24,0y4或yx2或yx4.設(shè)在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域則P(B).11已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球n個若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b.記“2ab3”為事件A，求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2y2(ab)2恒

16、成立”的概率解析 (1)由題意共有小球n2個，標(biāo)號為2的小球n個從袋子中隨機抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是，解得n2.(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b，則取出2個小球的可能情況共有12種結(jié)果，令滿足“2ab3”為事件A，則事件A共有8種結(jié)果，故P(A)；由可知(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中點的坐標(biāo)，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，由幾何概型可得概率為P1.12甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤，當(dāng)指針指向

17、陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15，邊界忽略不計)即為中獎乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？解析 如果顧客去甲商場，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤，面積為R2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為.所以，在甲商場中獎的概率為P1.如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球為a1，a2，a3,3個紅球為b1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3 )，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種摸到的2個球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3個，所以在乙商場中獎的概率為P2，又P1P2，所以顧客在乙商場中獎的可能性大12