《2019-2020學年新教材高中數學 第8章 向量的數量積與三角恒等變換 8.1 向量的數量積 8.1.2 向量數量積的運算律學案 新人教B版第三冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第8章 向量的數量積與三角恒等變換 8.1 向量的數量積 8.1.2 向量數量積的運算律學案 新人教B版第三冊（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、8.1.2向量數量積的運算律學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.通過向量數量積的定義給出向量數量積的運算律(難點)2.能利用運算律進行向量的數量積運算(重點，難點)1.通過向量加法與數乘運算律得到數量積的運算律，培養(yǎng)學生的數學抽象的核心素養(yǎng)2.利用平面向量的運算律進行數量積運算，提升學生數學運算的核心素養(yǎng).1.兩個向量數量積的運算律(1)交換律：abba.(2)結合律：(a)b(ab)(R)(3)分配律：(ab)cacbc.思考1：根據實數乘法的分配律，得到向量數量積的分配律：(1)實數a，b，c的乘法分配律：(ab)c_.(2)向量a，b的數量積的分配律：(ab)c_.提示(1)acbc(2)a

2、cbc2.重要公式：平方差公式(ab)(ab)a2b2完全平方公式(ab)2a22abb2思考2：根據實數的乘法公式，得到向量數量積的公式：(1)平方差公式：(ab)(ab)_；向量數量積公式：(ab)(ab)_.(2)完全平方公式：(ab)2_；向量數量積公式：(ab)2_.提示(1)a2b2 ；a2b2(2)a22abb2；a22abb21.下面給出的關系式中正確的個數是() 0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1B2C3D4C正確，錯誤，錯誤，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos 2 a2b2，選C2.已知|a|1，|b|1，|c|，a與b的夾

3、角為90，b與c的夾角為45，則a(bc)的化簡結果是()A0Ba CbDcBbc|b|c|cos 451.a(bc)a.3.已知|a|2，|b|1，a與b之間的夾角為60，那么向量|a4b|2()A2B2 C6D12D|a4b|2a28ab16b222821cos 60161212.4設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不與c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正確的序號是_根據向量積的分配律知正確；因為(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b與c垂直

4、， 錯誤；因為a，b不共線，所以|a|，|b|，|ab|組成三角形三邊，|a|b|ab|成立，正確；正確故正確命題的序號是.利用向量數量積的運算律計算【例1】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則_.(2)(2019東營高一檢測)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，ae1e2，be1e2.若ab，求實數的值；若a與b的夾角為60，求實數的值思路探究(1)利用向量垂直的充要條件轉化為向量的數量積計算(2)利用平面向量的數量積公式以及運算律，解方程求參數的值(1)18在平行四邊形ABCD中，得，.由APBD，垂足為P，且AP3，得()0.所以()222|cos，2|2

5、18.(2)解由ab, 得ab0，則(e1e2)(e1e2)0，得ee1e2e1e2e0，0，所以.因為e1e2與e1e2的夾角為60，所以cos e1e2，e1e2，且ee1e2e1e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2cos 60，解得.利用向量數量積的運算律計算的注意事項(1)計算(ab)(ab)，可以類比多項式乘法運算律，注意實數的乘法、數乘向量和向量的數量積在表示和意義的異同.(2)三個實數的積滿足結合律(ab)ca(bc)(ac)b，而三個向量的“數量積”不一定滿足結合律，即下列等式不一定成立：(ab)ca(bc)(ac)b，這是因為上式的本質為cakb，當三個向量不共線時，顯然

6、等式不成立.1.已知ABC外接圓半徑是1，圓心為O，且3450，則()ABCDC由3450，得534，兩邊平方，得2529216224，因為ABC外接圓半徑是1，圓心為O，所以2591624，即0.所以(5)()(34)()(332424).利用平面向量的數量積證明幾何問題【例2】如圖，已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE2EB求證：ADCE.思路探究借助平面向量垂直的充要條件解題，即通過計算0完成證明證明設此等腰直角三角形的直角邊長為a，則a20aaaa2a2a20.所以ADCE.利用向量法證明幾何問題的方法技巧(1)利用向量表示幾何關系，如位置關系、長

7、度關系，角度關系.(2)進行向量計算，如向量的線性運算、數量積運算.(3)將向量問題還原成幾何問題，如向量共線與三點共線或者直線平行，向量的夾角與直線的夾角等.2.在邊長為1的菱形ABCD中，A60，E是線段CD上一點，滿足|2|，如圖所示，設a，b.(1)用a，b表示；(2)在線段BC上是否存在一點F滿足AFBE？若存在，確定F點的位置，并求|；若不存在，請說明理由解(1)根據題意得：b，a，ba；(2)結論：在線段BC上存在使得4|的一點F滿足AFBE，此時|.理由如下：設ttb，則(1t)b，(0t1)，atb，在邊長為1的菱形ABCD中，A60，|a|b|1，ab|a|b|cos 60

8、，AFBE，(atb)aba2tb2t0，解得t，從而ab，|.1.向量的數量積與實數乘積運算性質的比較實數a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/ b0abbc(b0)acabbc(b0)/ ac|ab|a|b|ab|a|b|滿足乘法結合律不滿足乘法結合律2.知識導圖數量積運算律1.已知|a|3，|b|2，則(ab)(ab)()A2B3C5D5C因為|a|3，|b|2，所以(ab)(ab)a2b2945.2.已知ABCD中，|4，|3，N為DC的中點，2，則()A2B5C6D8C()()2242326.故選C3.已知向量|a|2|b|2，a與b的夾角為120，則|a2b|()A2B3C4D6A因為向量|a|2|b|2，a與b的夾角為120，則|a2b|2(a2b)2a24ab4b244|a|b|cos 12044.所以|a2b|2.4已知向量a與b的夾角為30，且|a|1，|2ab|1，則|b|_.因為|2ab|1，所以|2ab|24a2b24ab4|b|24|b|cos 301，即|b|22|b|30，所以(|b|)20，所以|b|.7