《2019-2020學年新教材高中數學 第8章 向量的數量積與三角恒等變換 8.1 向量的數量積 8.1.2 向量數量積的運算律學案 新人教B版第三冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第8章 向量的數量積與三角恒等變換 8.1 向量的數量積 8.1.2 向量數量積的運算律學案 新人教B版第三冊(7頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、8.1.2向量數量積的運算律學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.通過向量數量積的定義給出向量數量積的運算律(難點)2.能利用運算律進行向量的數量積運算(重點,難點)1.通過向量加法與數乘運算律得到數量積的運算律,培養(yǎng)學生的數學抽象的核心素養(yǎng)2.利用平面向量的運算律進行數量積運算,提升學生數學運算的核心素養(yǎng).1.兩個向量數量積的運算律(1)交換律:abba.(2)結合律:(a)b(ab)(R)(3)分配律:(ab)cacbc.思考1:根據實數乘法的分配律,得到向量數量積的分配律:(1)實數a,b,c的乘法分配律:(ab)c_.(2)向量a,b的數量積的分配律:(ab)c_.提示(1)acbc(2)a
2、cbc2.重要公式:平方差公式(ab)(ab)a2b2完全平方公式(ab)2a22abb2思考2:根據實數的乘法公式,得到向量數量積的公式:(1)平方差公式:(ab)(ab)_;向量數量積公式:(ab)(ab)_.(2)完全平方公式:(ab)2_;向量數量積公式:(ab)2_.提示(1)a2b2 ;a2b2(2)a22abb2;a22abb21.下面給出的關系式中正確的個數是() 0a0;abba;a2|a|2;|ab|ab;(ab)2a2b2.A1B2C3D4C正確,錯誤,錯誤,(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos 2 a2b2,選C2.已知|a|1,|b|1,|c|,a與b的夾
3、角為90,b與c的夾角為45,則a(bc)的化簡結果是()A0Ba CbDcBbc|b|c|cos 451.a(bc)a.3.已知|a|2,|b|1,a與b之間的夾角為60,那么向量|a4b|2()A2B2 C6D12D|a4b|2a28ab16b222821cos 60161212.4設a,b,c是任意的非零向量,且它們相互不共線,給出下列結論:acbc(ab)c;(bc)a(ca)b不與c垂直;|a|b|ab|;(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正確的序號是_根據向量積的分配律知正確;因為(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0,(bc)a(ca)b與c垂直
4、, 錯誤;因為a,b不共線,所以|a|,|b|,|ab|組成三角形三邊,|a|b|ab|成立,正確;正確故正確命題的序號是.利用向量數量積的運算律計算【例1】(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,APBD,垂足為P,且AP3,則_.(2)(2019東營高一檢測)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,ae1e2,be1e2.若ab,求實數的值;若a與b的夾角為60,求實數的值思路探究(1)利用向量垂直的充要條件轉化為向量的數量積計算(2)利用平面向量的數量積公式以及運算律,解方程求參數的值(1)18在平行四邊形ABCD中,得,.由APBD,垂足為P,且AP3,得()0.所以()222|cos,2|2
5、18.(2)解由ab, 得ab0,則(e1e2)(e1e2)0,得ee1e2e1e2e0,0,所以.因為e1e2與e1e2的夾角為60,所以cos e1e2,e1e2,且ee1e2e1e2e,|e1e2|2,|e1e2|,2cos 60,解得.利用向量數量積的運算律計算的注意事項(1)計算(ab)(ab),可以類比多項式乘法運算律,注意實數的乘法、數乘向量和向量的數量積在表示和意義的異同.(2)三個實數的積滿足結合律(ab)ca(bc)(ac)b,而三個向量的“數量積”不一定滿足結合律,即下列等式不一定成立:(ab)ca(bc)(ac)b,這是因為上式的本質為cakb,當三個向量不共線時,顯然
6、等式不成立.1.已知ABC外接圓半徑是1,圓心為O,且3450,則()ABCDC由3450,得534,兩邊平方,得2529216224,因為ABC外接圓半徑是1,圓心為O,所以2591624,即0.所以(5)()(34)()(332424).利用平面向量的數量積證明幾何問題【例2】如圖,已知ABC中,C是直角,CACB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE2EB求證:ADCE.思路探究借助平面向量垂直的充要條件解題,即通過計算0完成證明證明設此等腰直角三角形的直角邊長為a,則a20aaaa2a2a20.所以ADCE.利用向量法證明幾何問題的方法技巧(1)利用向量表示幾何關系,如位置關系、長
7、度關系,角度關系.(2)進行向量計算,如向量的線性運算、數量積運算.(3)將向量問題還原成幾何問題,如向量共線與三點共線或者直線平行,向量的夾角與直線的夾角等.2.在邊長為1的菱形ABCD中,A60,E是線段CD上一點,滿足|2|,如圖所示,設a,b.(1)用a,b表示;(2)在線段BC上是否存在一點F滿足AFBE?若存在,確定F點的位置,并求|;若不存在,請說明理由解(1)根據題意得:b,a,ba;(2)結論:在線段BC上存在使得4|的一點F滿足AFBE,此時|.理由如下:設ttb,則(1t)b,(0t1),atb,在邊長為1的菱形ABCD中,A60,|a|b|1,ab|a|b|cos 60
8、,AFBE,(atb)aba2tb2t0,解得t,從而ab,|.1.向量的數量積與實數乘積運算性質的比較實數a,b,c向量a,b,ca0,ab0b0a0,ab0/ b0abbc(b0)acabbc(b0)/ ac|ab|a|b|ab|a|b|滿足乘法結合律不滿足乘法結合律2.知識導圖數量積運算律1.已知|a|3,|b|2,則(ab)(ab)()A2B3C5D5C因為|a|3,|b|2,所以(ab)(ab)a2b2945.2.已知ABCD中,|4,|3,N為DC的中點,2,則()A2B5C6D8C()()2242326.故選C3.已知向量|a|2|b|2,a與b的夾角為120,則|a2b|()A2B3C4D6A因為向量|a|2|b|2,a與b的夾角為120,則|a2b|2(a2b)2a24ab4b244|a|b|cos 12044.所以|a2b|2.4已知向量a與b的夾角為30,且|a|1,|2ab|1,則|b|_.因為|2ab|1,所以|2ab|24a2b24ab4|b|24|b|cos 301,即|b|22|b|30,所以(|b|)20,所以|b|.7