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1、2022年高三數(shù)學(xué) 2.3函數(shù)的極限(第二課時(shí))大綱人教版選修 課　　題 §2.3.2　函數(shù)的極限(二) 教學(xué)目標(biāo) 一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限的概念. 2.函數(shù)的左極限. 3.函數(shù)的右極限. 二、能力訓(xùn)練要求 1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限,并會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限. 2.已知函數(shù)的左、右極限,會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右極限. 3.理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限的關(guān)系. 三、德育滲透目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系與區(qū)別,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力. 2.要用運(yùn)動(dòng)的、聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題. 教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限. 教學(xué)難點(diǎn)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的極限的概念的理解,以及與函數(shù)的左、右極限之間的關(guān)系.要與函數(shù)的第一類極限即自變量趨向于無(wú)窮大區(qū)別開. 教學(xué)方法 建構(gòu)主義方法,讓學(xué)生在做中學(xué). 教具準(zhǔn)備 幻燈片三張 第一張：兩類極限的區(qū)別(記作§2.3.2 A). 第二張：函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的值的關(guān)系(記作§2.3.2 B). 第三張：函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限的關(guān)系(記作§2.3.2 C). 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了當(dāng)x趨向于∞即x→∞時(shí),函數(shù)f(x)的極限.當(dāng)x趨向于∞時(shí),函數(shù)f(x)的值就無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a.我們可以把∞看成數(shù)軸上的一個(gè)特殊的點(diǎn),那么如

3、果對(duì)于數(shù)軸上的一般的點(diǎn)x0,當(dāng)x趨向于x0時(shí),函數(shù)f(x)的值是否會(huì)趨近于某個(gè)常數(shù)a呢？先看幾個(gè)具體的例子. Ⅱ.講授新課 (一)舉例 ［師］我們要考慮當(dāng)x無(wú)限趨近于2時(shí),函數(shù)y=x2的變化趨勢(shì),可以有哪些方法呢？ ［生］畫圖和列表. ［板書］1.y=x2,當(dāng)x→2時(shí).(如圖2－21) 圖2－21 列表如下: x 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 … y=x2 2.25 3.61 3.96 3.996 3.9996 3.99996 … |y-4| 1.75 0.39 0.04 0.004 0.000

4、4 0.00004 … x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 … y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 … |y-4| 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 … x 2.1 1.9 2.01 1.999 2.0001 1.99999 … y=x2 4.41 3.61 4.04 3.996 4.0004 3.99996 … |y-4| 0.41 0.39 0.04 0.004 0.0

5、004 0.00004 … ［結(jié)論］(1)x從表示2的點(diǎn)的左邊無(wú)限趨近于2,|y-4|的值無(wú)限趨近于0,即y=x2的值無(wú)限趨近于4. (2)x從表示2的點(diǎn)的右邊無(wú)限趨近于2,則|y-4|的值無(wú)限趨近于0,即y=x2的值無(wú)限趨近于4. (3)x從表示2的點(diǎn)的兩側(cè)交錯(cuò)地?zé)o限趨近于2,則|y-4|的值無(wú)限趨近于0,即y=x2的值無(wú)限趨近于4. 2.(x∈R,x≠1). ［師］考慮x無(wú)限趨近于1但不等于1時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),只用圖象,寫出結(jié)論. 圖2－22 (學(xué)生板演)圖2－22. ［結(jié)論］(1)x從1的左邊無(wú)限趨近于1,則的值無(wú)限趨近于2. (2)x從1的右邊無(wú)限趨近于1

6、,則的值無(wú)限趨近于2. (3)x從1的兩側(cè)交錯(cuò)地?zé)o限趨近于1,則的值無(wú)限趨近于2. 3.分段函數(shù) 當(dāng)x→0時(shí)的變化趨勢(shì). 圖2－23 (學(xué)生板演)圖2－23. ［結(jié)論］(1)x從0的左邊無(wú)限趨近于0,則y的值無(wú)限趨近于-1. (2)x從0的右邊無(wú)限趨近于0,則y的值無(wú)限趨近于1. (二)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與左、右極限 1.當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于常數(shù)x0(但x不等于x0)時(shí),如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限是a,記作x0f(x)=a或當(dāng)x→x0時(shí),f(x)→a.f(x)叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的極限. 2.如果當(dāng)x從點(diǎn)x=

7、x0左側(cè)(即x＜x0)無(wú)限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左極限,記作f(x)=a. 3.如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0右側(cè)(即x＞x0)無(wú)限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右極限,記作f(x)=a. 4.常數(shù)函數(shù)f(x)=C在點(diǎn)x=x0處的極限有f(x)=C(分別給出幻燈片A、B、C). ［注意］(1)第一類函數(shù)極限f(x)中的自變量x是無(wú)限趨近于∞;第二類函數(shù)極限f(x)中的自變量x是無(wú)限地趨近于一個(gè)點(diǎn)x0. (2)f(x)中x無(wú)限趨近于x0,但不包含x=x0,即x≠x0.所以函數(shù)f(x)的極限a僅與函數(shù)

8、f(x)在點(diǎn)x0附近的函數(shù)值的變化有關(guān),而與函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的值無(wú)關(guān). ①點(diǎn)x0可以不屬于函數(shù)f(x)的定義域. 如. ②點(diǎn)x0可以屬于函數(shù)f(x)的定義域,但函數(shù)f(x)的極限與函數(shù)值f(x0)無(wú)關(guān). 如 . (3)是x從x0的兩側(cè)無(wú)限趨近于x0,是雙側(cè)極限. 、都是x從x0的單側(cè)無(wú)限趨近于x0,是單側(cè)極限. 同樣,是雙側(cè)極限, 、是單側(cè)極限. . . 函數(shù)f(x)的左、右極限存在,但它的極限不一定存在.只有當(dāng)左、右極限都存在并且相等時(shí),函數(shù)f(x)的極限才存在并且等于它的左極限(或右極限). 圖2－24 (三)課本例題 當(dāng)時(shí),寫出下列函數(shù)的極限.(學(xué)生

9、板演) (1)y=x2; 解：. 　　　　 圖2－25　　　　　　　圖2－26 (2)y=sinx; 解：. (3)y=x; 解：. (4)y=5. 解：∵y=5是常數(shù)函數(shù),∴. (四)精選例題 寫出下列函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)的左、右極限,哪些有極限？ (1) 解：, , ∴f(x)在x=0處有極限,即. (2) 解：, , ∴f(x)在x=0處無(wú)極限,即不存在. (3)f(x)=(x≠-3); 解：, , ∴f(x)在x=0處有極限,即. (4) 解：, 不存在,∴f(x)在x=0處無(wú)極限,即不存在. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.,討論f(x)在x→0

10、和x→1時(shí)的極限. 解:, ,∵,∴f(x)在x→0時(shí)的極限不存在. 又,,∴且f(1)=1. 2.下列函數(shù)在x=0處的左、右極限各是什么？哪些有極限？(學(xué)生口答) (1) ［生］在x=0處左極限為1,右極限為0,無(wú)極限. (2) ［生］在x=0處左極限為0,右極限為0,極限為0. (3). ［生］在x=0處左極限為-1,右極限為1,無(wú)極限. 3.已知函數(shù)其中［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù),給出下列判斷:①;②;③;④.其中正確的命題的個(gè)數(shù)有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè)　 C.3個(gè)　 D.4個(gè) 解析:①,②,③,④,. ∴不存在. 綜上所述,只有①③正確.

11、故選B. 答案:B Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了第二類函數(shù)極限.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的極限,左、右極限.要弄清極限與左、右極限的關(guān)系,第一類函數(shù)極限實(shí)質(zhì)上是第二類函數(shù)極限的特例.要學(xué)會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的左、右極限和極限. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P83習(xí)題2.4　2(5)~(8),3. (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本Ｐ84～Ｐ85. 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)預(yù)習(xí)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則,理解極限運(yùn)算與“+、-、×、÷”可交換順序. (2)預(yù)習(xí)由函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則推出的兩個(gè)式子. 板書設(shè)計(jì) §2.3.2　函數(shù)的極限(二) 一、幾個(gè)概念 1.f(x)在x=x0處的極限. 2.f(x)在x=x0處的左極限. 3.f(x)在x=x0處的右極限. 4.常數(shù)函數(shù)在x=x0處的極限. 二、舉例 1.y=x2　x→2 畫圖 列表 結(jié)論 2.　(x→1) 圖、結(jié)論 3. 圖、結(jié)論 課本例題 課堂練習(xí) 課后作業(yè)