《2018年高考數(shù)學(xué) 專題06 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 專題06 三角恒等變換與解三角形教學(xué)案 理（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題 6 三角恒等變換與解三角形【2018年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是C級要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B級要求，應(yīng)用時(shí)要適當(dāng)選擇公式，靈活應(yīng)用(2)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，要求是B級，能夠應(yīng)用定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊和角的轉(zhuǎn)化，以及應(yīng)用定理解決實(shí)際問題試題類型一般是填空題，同時(shí)在解答題中與三角函數(shù)、向量等綜合考查，構(gòu)成中檔題.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2

2、2sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan

3、 45等“化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如()，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解8利用解三角形的知識解決實(shí)際問題的思路把實(shí)際問題中的要素歸入到一個(gè)或幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實(shí)際問題的答案注意要檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，從而得出正確結(jié)果.【題型示例】題型1、三角變換及應(yīng)用【例1】【2017

4、山東，理9】在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，選A.【變式探究】(1)(2016高考全國乙卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.解析：基本法：將轉(zhuǎn)化為.由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.答案：B，tan B，tan B.答案：(2)若tan 0，則()Asin 0Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角，則A，B錯(cuò)；由sin 22sin cos 知sin 20，C正確；取時(shí)，cos 22cos21221

5、0，D錯(cuò)故選C.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0，故選C.答案：C【舉一反三】 (2015新課標(biāo)全國，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【變式探究】(2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【舉一反三】(2015江蘇，8)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_解析tan 2，tan()，

6、解得tan 3.答案3【變式探究】(1)(2014新課標(biāo)全國卷)設(shè)，且tan ，則()A3B2C3 D2(2)(2014山西)若銳角滿足2sin 2cos 3，則tan的值是()A3 BC3 D.【解析】(1)解法一：由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2，故選B.解法二：tan cottantan，k，kZ.22k，kZ.當(dāng)k0時(shí)，滿足2，故選B.【感悟提升】(1)此類問題的著眼點(diǎn)是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解(2)對于三角函數(shù)中角的求值問題，

7、關(guān)鍵在于“變角”，將“目標(biāo)角”變換成“已知角”若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用(3)求三角函數(shù)的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角【變式探究】(2015廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1考點(diǎn)2、正、余弦定理的應(yīng)用【例2】【2017課標(biāo)II，理17

8、】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）【解析】（）由（）知,所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】 (2015福建，12)若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析SABACsin A，sin A，在銳角三角形中A，由余弦定理得BC7.答

9、案7【變式探究】(2015廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1【舉一反三】(1)(2014福建)在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_(2)(2014湖南)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC.求cosCAD的值；若cosBAD，sinCBA，求BC的長【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力(2)本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理、正弦定

10、理和三角函數(shù)的化簡求值，第一問可利用余弦定理直接求解，第二問需綜合運(yùn)用兩角差的正弦公式和正弦定理【答案】(1)2【解析】(1)解法一：在ABC中，根據(jù)正弦定理，得，所以，解得sin B1，因?yàn)锽(0，120)，所以B90，所以C30，所以ABC的面積SABCACBCsin C2.解法二：在ABC中，根據(jù)正弦定理，得，所以，解得sin B1，因?yàn)锽(0，120)，所以B90，所以AB2，所以ABC的面積SABCABBC2.(2)如題圖，在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由題設(shè)知，cosCAD.如題圖，設(shè)BAC，則BADCAD.因?yàn)閏osCAD，cosBAD，所以sinCAD.sinBAD

11、.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，得.故BC3.【變式探究】ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A.(1)求AA；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0A，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以AAbccos A156144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，所以a5?！疽?guī)律方法】 求解此類問題，一要注意從問題的不斷轉(zhuǎn)化中尋求解

12、題的突破口，如求AA，需要求出bc，由三角形的面積及cos A，可求出sin A，二要注意求解本題第(2)問時(shí)，應(yīng)該結(jié)合第(1)問中的結(jié)論題型三、解三角形的應(yīng)用【例3】【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意：，ABE中，又，綜上可得，BCD面積為，【變式探究】【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）（）由（）知,所以 ，

13、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故 的最小值為.【舉一反三】(2015新課標(biāo)全國，17)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因?yàn)镾ABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因?yàn)镾ABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【變式探究】(2015浙江，

14、16)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因?yàn)閟in Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因?yàn)锳，bcsin A3，所以bc6，故b3.【舉一反三】 (2015陜西，17)ABC的內(nèi)角A，B，C 所對的邊分別為a ，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行 (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面積解(1)因?yàn)閙n，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因?yàn)閏0，所以c3，故ABC的面積為Sbcsin A. 14