《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第61講 條件概率、n次獨立重復(fù)試驗與二項分布學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第61講 條件概率、n次獨立重復(fù)試驗與二項分布學(xué)案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第61講條件概率、n次獨立重復(fù)試驗與二項分布考綱要求考情分析命題趨勢1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念2理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.2017全國卷，132016四川卷，12主要考查對事件獨立性的辨識能力和根據(jù)相關(guān)概型運用公式進(jìn)行計算的能力.分值：5分1條件概率(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)_為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(2)性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)_P(B|A)P(C|A)_2事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)_P(A)P(B)_，則稱

2、事件A與事件B相互獨立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，則P(B|A)_P(B)_，P(A|B)P(A)，P(AB)_P(A)P(B)_如果事件A與B相互獨立，那么_A與_，_與B_，_與_也都相互獨立3獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗在_相同_條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗. Ai (i1,2，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3An)_P(A1)P(A2)P(An)_(2)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作_XB(n，p)_，并稱p為_成功概率_在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰

3、好發(fā)生k次的概率為P(Xk)_Cpk(1p)nk_(k0，1,2，n)1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)若條件A與B獨立，則A與，與B，與不一定相互獨立()(5)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第1枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨立()(6)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k

4、0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布()(7)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生k次的概率為Cpk.()2一張儲蓄卡的密碼共有6個數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個，某人忘記了密碼的最后一位數(shù)字但記得是偶數(shù)，則不超過2次就按對的概率為_.解析 由題意知，此人在按最后一位數(shù)字時，有“0,2,4,6,8”5種可能，所以此人按前兩次的所有基本事件有nA20(個)，不超過2次就按對的基本事件為mCA8(個)，故P.3由0,1組成的三位編號中，若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”，則P(A|B)_.解析 因為第一位數(shù)字可為0或

5、1，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)，第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0，即事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)，所以P(A|B).4甲、乙兩名籃球運動員分別進(jìn)行一次投籃，若兩人投中的概率都是0.6，則至少有一人投中的概率為_0.84_.解析 由題意可得，甲、乙未投中的概率均為10.60.4，故甲、乙兩人分別進(jìn)行一次投籃均未投中的概率0.40.40.16，故所求概率P10.84.5(2017全國卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_1.96_.解析 依題意，XB(100,0.02)，所以D(X)1000.02(10.

6、02)1.96.一條件概率條件概率的兩種求解方法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).【例1】 (1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(A)A0.8B0.75C0.6D0.45(2)(2018湖北黃岡調(diào)考)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A是“取到的兩數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B是“取到的兩個數(shù)均為偶

7、數(shù)”，則P(B|A)(B)ABCD(3)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)_.解析 (1)根據(jù)條件概率公式P(B|A)，可得所求概率為0.8.(2)P(A)，P(B)，又AB，則P(AB)P(B)，所以P(B|A).(3)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)，事件AB表示“豆子落在EOH內(nèi)”，則P(AB).故P(B|A).二事件的獨立性求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難以入手

8、時，可從其對立事件入手計算【例2】 為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度，不超過22千米的地鐵票價如下表.乘坐里程x/km0x66x1212x22票價/元345現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22千米，已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為，甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為，.(1)求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量，求的分布列解析 (1)由題意可知，甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為，則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率P1，所以甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率P1P1

9、1 .(2)由題意可知，6,7,8,9,10.且P(6)，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，所以的分布列為678910P三獨立重復(fù)試驗與二項分布利用獨立重復(fù)試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率【例3】 (2018河南開封模擬)博彩公司曾經(jīng)對2016年NBA總決賽做了大膽地預(yù)測和分析，預(yù)測西部冠軍是老辣的馬刺隊，東部冠軍是擁有詹姆

10、斯的年輕的騎士隊，總決賽采取7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間的結(jié)果互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽，前4場，馬刺隊勝利的概率為，第5,6場馬刺隊因為平均年齡大，體能下降厲害，所以勝利的概率降為，第7場，馬刺隊因為有多次打第7場的經(jīng)驗，所以勝利的概率為.(1)分別求馬刺隊以40,41,42,43勝利的概率及總決賽馬刺隊獲得冠軍的概率；(2)隨機變量X為分出總冠軍時比賽的場數(shù)，求隨機變量X的分布列解析 (1)設(shè)“馬刺隊以40勝利”為事件A，“馬刺隊以41勝利”為事件B，“馬刺隊以42勝利”為事件C，“馬刺隊以43勝利”為事件D，“總決賽馬刺隊獲得冠軍”為事件E，則P(A)4，P(B)

11、C4，P(C)C4C42，P(D)C43C4CC4.P(E)P(A)P(B)P(C)P(D).(2)隨機變量X的可能取值為4,5,6,7，P(X4)42，P(X5)C4，P(X6)2C4C4，P(X7)1P(X4)P(X5)P(X6)，所以隨機變量X的分布列為X4567P1袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是(C)ABCD解析 在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，故取到白球的概率P.2(2018廣東六校聯(lián)考)已知甲有5張紅卡、2張藍(lán)卡和3張綠卡，乙有4張紅卡、3張藍(lán)卡和3張綠

12、卡他們分別從自己的10張卡片中任取一張進(jìn)行打卡游戲比賽設(shè)事件A1，A2，A3表示甲取出的一張卡分別是紅卡、藍(lán)卡和綠卡；事件B表示乙取出的一張卡是紅卡，則下列結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)P(B)；P(A1|B)；事件B與事件A1相互獨立；A1，A2，A3是彼此相互獨立的事件；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件解析 因為P(B)，所以錯誤；因為事件B與事件A1相互獨立，所以P(A1|B)P(A1)，所以錯誤，正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，所以錯誤，正確3某學(xué)校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類

13、票各一張每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率；(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列解析 (1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎”這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以得到兩張“獲獎”票，或者得到三張“獲獎”票甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，P(A)C21C3.(2)所含“獲獎”和“待定”票票

14、數(shù)之和X的值為0,1,2,3.P(X0)3；P(X1)C12；P(X2)C21；P(X3)3.因此X的分布列為X0123P4在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊耕地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表.作物產(chǎn)量/kg300500概率0.50.5作物市場價格/元kg1610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊耕地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(2)若在這塊耕地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率解析 (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A

15、)0.5，P(B)0.4，因為利潤產(chǎn)量市場價格成本，所以X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2.所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i(i1,2,3)季利潤不少于2 000元”，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知，P(Ci)P(X4 00

16、0)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)P(C1C3)P(C1C2)30.820.20.384，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.易錯點1不會使用條件概率公式解題錯因分析：不理解條件概率的含義，不會使用條件概率公式解題【例1】 假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1個女孩，求至少有1個男孩的概率解析 方法一此家庭共有3個孩子，包含基本事件有(男，男，

17、男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，其中至少有1個女孩共有7種可能，其中至少有1個男孩有6種可能，故其概率為.方法二記事件A表示“有一名女孩”，B表示“至少有一名男孩”，則P(B|A).【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016全國卷節(jié)選)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下.上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下.一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.

18、200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率解析 (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.易錯點2對二項分布理解不到位錯因分析：不能把問題歸結(jié)為獨立重復(fù)試驗、二項分布模型解決問題【例2】 甲、乙兩支排球

19、隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立分別求甲隊以30,31,32勝利的概率解析 記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲隊以30勝利，以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.【跟蹤訓(xùn)練2】 (2016四川卷)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.解析 同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有

20、一枚硬幣正面向上的概率為12，且XB，所以均值是2.課時達(dá)標(biāo)第61講解密考綱對事件的獨立性與條件概率、獨立重復(fù)試驗與二項分布的考查在高考中三種題型均有呈現(xiàn)一、選擇題1(2018陜西西安模擬)甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績?nèi)缦?單位：分)甲組：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙組：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A；“抽出學(xué)生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是(A)A，B，C，D，解析 P(A)，P(B)，P(AB)，P

21、(A|B).2已知某射擊運動員，每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為(B)A0.85B0.819 2C0.8D0.75解析 PC0.830.2C0.840.819 2.3從甲袋中摸出1個紅球的概率為，從乙袋中摸出1個紅球的概率為，從兩袋中各摸出一個球，則等于(C)A2個球都不是紅球的概率B2個球都是紅球的概率C至少有1個紅球的概率D2個球中恰有1個紅球的概率解析 因為從兩個袋中各摸出一個球都不是紅球的概率為，所以至少有1個紅球的概率為1.4已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任

22、取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(D)ABCD解析 設(shè)事件A為“第1次抽到的螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)，P(AB)，則所求概率為P(B|A).5袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p.若A，B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，則p的值為(B)ABCD解析 設(shè)A中有x個球，B中有y個球，則因為A，B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，所以且，解得p.6將一枚硬幣連擲5

23、次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k1次正面向上的概率，那么k的值為(C)A0B1C2D3解析 C5C5，k(k1)5，k2.二、填空題7如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為_.解析 a，c閉合，b斷開，燈泡甲亮，概率為.8一盒中放有大小相同的10個小球，其中8個黑球，2個紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無放回地任意抽取2個小球，已知甲取到了2個黑球，則乙也取到2個黑球的概率是_.解析 記事件“甲取到2個黑球”為A，“乙取到2個黑球”為B，則有P(B|A)，即所求事件的概率是.9設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，且在三次獨立重

24、復(fù)試驗中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_.解析 假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)XB(3，p)，則有1(1p)3，得p，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C2.三、解答題10某中學(xué)為豐富教職工生活，國慶節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽，有A，B兩個定點投籃位置，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分規(guī)則是：每人投籃三次按先A后B再A的順序各投籃一次，教師甲在A和B點投中的概率分別是和，且在A，B兩點投中與否相互獨立(1)若教師甲投籃三次，求教師甲投籃得分X的分布列；(2)若教師乙與教師甲在A，B點投中的概率相同，兩

25、人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率解析 (1)設(shè)“教師甲在A點投中”的事件為A，“教師甲在B點投中”的事件為B.依題可知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.P(X0)P()2，P(X2)P(AA)C，P(X3)P(B)，P(X4)P(AA)，P(X5)P(ABBA)C，P(X7)P(ABA).則教師甲投籃得分X的分布列為X023457P(2)教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為P.11(2018湖北黃岡期末)甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個(其中“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”各一個)，現(xiàn)以投擲一個骰

26、子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點數(shù)是奇數(shù)時，甲贏得一個福娃；否則乙贏得甲一個福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止記游戲終止時投擲骰子的次數(shù)為.(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率；(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()解析 (1)當(dāng)7時，“甲贏”即“第七次甲贏，前6次贏5次，且前5次中必輸1次”，依題意，每次甲贏或乙贏的概率均為，P(7)2C4.(2)設(shè)游戲終止時骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，向上的點數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，則由或得：當(dāng)m5，n0或m0，n5時，5；當(dāng)m6，n1或m1，n6時，7；當(dāng)m7，n2或m2，n7時，9；當(dāng)m5，n4或m4，n5時，9

27、；當(dāng)m6，n3或m3，n6時，9；的可能取值是5,7,9.每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是.P(5)25，P(7)，P(9)1P(5)P(7)，的分布列是579PE()579.12(2018福建泉州模擬)在一種電腦屏幕保護畫面中，符號“”和“”隨機地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“”和“”之一，其中出現(xiàn)“”的概率為p，出現(xiàn)“”的概率為q.若第k次出現(xiàn)“”，則記ak1；出現(xiàn)“”，則記ak1，令Sna1a2an.(1)當(dāng)pq時，記|S3|，求 的分布列；(2)當(dāng)p，q時，求S82且Si0(i1,2,3,4)的概率解析 (1)因為|S3|的取值為1,3，又pq，所以P(1)C22，P(3)33.所以的分布列為13P(2)當(dāng)S82時，即前八秒出現(xiàn)“”5次，“”3次，又已知Si0(i1,2,3,4)，若第一、三秒出現(xiàn)“”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“”3次；若第一、二秒出現(xiàn)“”，第三秒出現(xiàn)“”，則后五秒可任意出現(xiàn)“”3次故所求的概率P(CC)53.15