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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的正交分解與坐標(biāo)運(yùn)算教案 理教材分析這節(jié)課通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示坐標(biāo)表示，這樣使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后導(dǎo)出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算，這就為利用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁，更突出也更簡(jiǎn)化了向量的應(yīng)用所以，一定要讓學(xué)生重點(diǎn)掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以利于掌握坐標(biāo)形式下的向量的一些關(guān)系式及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)是讓學(xué)生建立起平面向量的坐標(biāo)概念教學(xué)目標(biāo)1. 理解平面向量坐標(biāo)概念，領(lǐng)會(huì)它的引入過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的思想意識(shí)2. 理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并能應(yīng)

2、用坐標(biāo)運(yùn)算解決一些問(wèn)題3. 增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，領(lǐng)會(huì)“沒(méi)有運(yùn)算，向量只是一個(gè)路標(biāo)，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限”的說(shuō)法任務(wù)分析1. 有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標(biāo)系下點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就容易有在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)2. 可以從兩個(gè)角度來(lái)理解平面向量的坐標(biāo)表示：（1）設(shè)i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量可唯一地表示為xiyj，即唯一對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)（x，y），所以可以說(shuō)a（x，y）（2）任一向量可平移成，一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)A（x，y），從而可說(shuō)a（x，y）3. 在接觸過(guò)xOy平面內(nèi)一點(diǎn)到它的坐標(biāo)的這種形、數(shù)過(guò)渡的基礎(chǔ)上，容易接受由向量到坐標(biāo)的這種代數(shù)

3、化的過(guò)渡教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1. 光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）一個(gè)向量也可以分解為兩個(gè)互相垂直的向量的線性表達(dá)，這種情形叫向量的正交分解以后可以看到，在正交分解下，許多有關(guān)向量問(wèn)題將變得較為簡(jiǎn)單2. 在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量，可否用實(shí)數(shù)對(duì)來(lái)表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底對(duì)于平面上一個(gè)向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使xiyj，這樣平面內(nèi)任一向量a

4、都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標(biāo)，記作a（x，y）顯然，i（1，0），j（0，1），0（0，0）若把的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，即，則點(diǎn)A的位置由唯一確定設(shè)xiyj，則的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）也就是的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)（即坐標(biāo)）唯一表示2. 學(xué)生思考討論已知a（x1，y1），b（x2，y2），你能得出ab，ab，a的坐標(biāo)嗎？（x1，y1），b（x2，y2），x1y1，bx2y2（x1x2）i（y1y2）j，（x1x2，y1y2）同理（x1x2，y1y2），（x1，y1）上述結(jié)論可表述為：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)

5、向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)三、解釋?xiě)?yīng)用例題1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB的坐標(biāo)解：如圖39-3，AB（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1）總結(jié)：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)思考：能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（x2x1，y2y1）的P點(diǎn)嗎？平移到，則P（x2x1，y2y1）2. 已知A（2，1），B（1，3），C（3，4）（1）求的坐標(biāo)（2）求ABCD中D點(diǎn)的坐標(biāo)放開(kāi)思考，展開(kāi)討論，看學(xué)生們有哪些不同方法（1）解法1：（1，2），（5，3），（1，2）（5，3）（4，1）解法2：（4，1

6、）（2）解法1：設(shè)D（x，y），即（1，2）（3x，4y），xy2，D（2，2）思考：你能比較出對(duì)（2）的兩種解法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎？（解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）3. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（2，4），求向量的方向和長(zhǎng)度解：由已知，得（3，2），（2，4）設(shè)，則（3，2）（2，4）（1，6）由兩點(diǎn)的距離公式，得設(shè)相對(duì)x軸正向的轉(zhuǎn)角為，則查表或使用計(jì)算器，得8032答：向量的方向偏離軸正向約為8032，長(zhǎng)度等于，向量的方向偏離x軸正向約為11634，長(zhǎng)度等于2練習(xí)1. 已知a（2，1），b（3，4），求3a4b的坐標(biāo)2. 設(shè)ab（4，3），

7、ab（2，1），求a，b解法1：2a（4，3）（2，1）（2，2），2b（4，3）（2，1）（6，4），a（1，1），b（3，2）解法2：設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），則3. 已知（1，1），（1，1），（1，2），試以，為基底來(lái)表示解：設(shè)ck1ak2a，即（1，2）k1（1，1）k2（1，1），即（1，2）（k1k2，k1k2），四、拓展延伸1. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)（如圖39-5），則（）將上式換為向量的坐標(biāo)，得（x，y）（x1，y1 ）（x2，y2 ）即.這里得到的公式叫作線段中點(diǎn)的

8、坐標(biāo)計(jì)算公式，簡(jiǎn)稱(chēng)中點(diǎn)公式2. 對(duì)于向量a，b，c，若存在不全為0的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使k1ak2bk3c0，則稱(chēng)a，b，c三個(gè)向量線性相關(guān)，試研究三個(gè)向量（3，5），（0，1），（3，4）是否線性相關(guān)解法1：顯然有0，三者線性相關(guān)解法2：由k1k2k30，即k1（3，5）k2（0，1）k3（3，4）0，即（3k13k3，5k1k24k3）（0，0），取k1k2k31，則0，故三個(gè)向量線性相關(guān)點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路自然由斜邊上物體所受重力的分解，聯(lián)想到向量應(yīng)有常見(jiàn)的正交分解；由點(diǎn)的坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有坐標(biāo)形式這為鍛煉學(xué)生的類(lèi)比聯(lián)想能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提供了平臺(tái)向量用坐標(biāo)表示即把向量代數(shù)化，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，也增強(qiáng)了一一對(duì)應(yīng)的意識(shí)，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)