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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 導數(shù)概念知識梳理1 蘇教版 知識點反思梳理： 【只要都有則函數(shù)就在區(qū)間上單調遞增】 Ⅱ.觀察下列函數(shù)圖象不難發(fā)現(xiàn)：雖然函數(shù)都是遞增（遞減）函數(shù)，可是增減的快慢（陡峭程度）卻各不相同。究竟怎樣刻畫、區(qū)別函數(shù)的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’ 那么又是為了研究什么發(fā)明的“平均變化率”、“瞬時變化率“、”導數(shù)”呢？？ Ⅲ.發(fā)明一個什么樣的“數(shù)學工具模型”才能“刻畫變量變化的快與慢？” 數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。 如何量化曲線的陡峭程度？ Ⅳ.平均變化率 ：一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2

2、]上的平均變化率。簡記為 Ⅴ. 平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”． Ⅵ. 平均變化率量化一段曲線的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精確的”， Ⅶ.但應注意當很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。 Ⅷ.【導數(shù)產生的背景：】 1. 如圖，設曲線c是函數(shù)的圖象，點是曲線 c 上一點作割線PQ當點Q 沿著曲線c無限地趨近于點P，割線PQ無限地趨近于某一位置PT我們就把該位置上的直線PT，叫做曲線c在點P 處的切線割線斜率切線斜率也叫是函數(shù)在點的瞬時變化率. 2..函數(shù)在該點處的這個具有預測、導性的數(shù)，數(shù)學上也常把它叫做“導數(shù)’ 3.分別說出

3、下列符號語言的含義：①； ②； ③； .④. 4.導數(shù)與導函數(shù)都稱為導數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導數(shù)，就是求導函數(shù)；求一個函數(shù)在給定點的導數(shù)，就是求導函數(shù)值它們之間的關系是函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點的函數(shù)值 5．與的區(qū)別： 在對導數(shù)的概念進行理解時，特別要注意與是不一樣的，代表函數(shù)在處的導數(shù)值，不一定為0；而是函數(shù)值的導數(shù)，而函數(shù)值是一個常量，其導數(shù)一定為0，即=0。 例1.已知曲線在處的切線的傾斜角為，則 ， . 變式1：已知函數(shù)的導函數(shù)為，且有則？ 例2：.如圖，水以常速（單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出

4、與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像． 2.根據(jù)導數(shù)的幾何意義：就是函數(shù)在點處的切線斜率.請分別觀察上述圖象隨著的增大值增加的快慢與切線斜率的大小關系？ 練習：（xx江西）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為 練習：單位圓中弧AB長為x，f（x）表示弧AB與弦AB所圍成弓形面積的2倍。則函數(shù)f（x）的圖像是（ ） A B C D 解析一：

5、定量分析?？闪谐鰂（x）=x－sinx，知0x，f（x）圖像在y=x上方。選D 解二：定性分析。當x從增至2π時，f（x）變化經歷了從慢到快，從快到慢的過程，選D 命題意圖與思路點撥：此題考查學生作圖、識圖、用圖的能力。解析二與解析三直接避開求f（x）解析式，把圖像與性質對應，通過性質，作出判斷，本題對學生分析思考能力，要求較高。 例3.若直線為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點坐標. 變式1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程. 變式2:求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程 變式3:求曲線y=x3

6、過點(1,1)的切線方程 變式4:已知直線,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短. 變式5:求函數(shù) 圖象上的點到直線的距離的最小值及相應點的坐標. 解：首先由得 知，兩曲線無交點. ，要與已知直線平行，須， 故切點：（0 , －2）. . 例4：【xx海南寧夏文21/22】設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值. 解：（Ⅰ）方程可化為，當時，； 又，于是，解得， 故 （Ⅱ）設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為 ，即 令，得，從而得切線與直

7、線的交點坐標為； 令，得，從而得切線與直線的交點坐標為； 所以點處的切線與直線所圍成的三角形面積為； 故曲線上任一點處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6. 練習：曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為 。 練習：（10全國2）（10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則 . . 【命題意圖】本試題主要考查求導法則、導數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力.. 【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面

8、積是，解得. 練習：【致遠中學等xx屆高三第一次調研y x O P M Q N 】14．圖為函數(shù) 軸和直線分別 交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b 時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為 ▲ . 【江蘇·鹽城】8.設為曲線上一點,曲線在點處的切線的斜率的范圍是,則點縱坐標的取值范圍是____▲____. 例5: 【啟東中學xx高三備課組】★你能正確使用切點與交點嗎？ 15．（本小題滿分16分）如圖，在函數(shù)的圖像上取4個點，過點 作切線（，如果∥，且圍成的圖形是矩形記為M． （1）證明四邊形是平行四邊形； A1 A2 A3

9、A4 x y 0 （2）問矩形M的短邊與長邊的比是否有最大值，若有，求與的斜率，若沒有， 請證明． （1）設直線的斜率為（， 由，得 ------------------------------2分 由題意，，又點不重合，故，， 從而，，---------------------------------------------5分 因此，都關于原點對稱， 故四邊形是平行四邊形；------------------------------------7分 （2）有最大值； --------

10、-------------------------------------------9分 設， ，即，且 設與的距離為，與的距離為 （k＞1）-------11分 令（x＞1） ， 當時為增函數(shù)， 當時為減函數(shù)， 故當，---------------14分 因為 ，因此矩形M的短邊與長邊的比有最大值， 與的斜率分別為和，-----------------------------16分 練習：已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。解：設l與相切于點，與相切于。對，則與相切于點P的切線方程為，即。 ① 　　對，則與相切于點Q的切線

11、方程為 ，即。 ② 　　∴直線方程為y=0或y=4x-4。 課外作業(yè)： 1.已知函數(shù)（）的圖象為曲線． （1）求過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍； （2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點的橫 坐標的取值范圍； （3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合 條件的所有直線方程；若不存在，說明理由． 解：（1），則， 即過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍是；------------4分 （2）由（1）可知，----------------------------------------------

12、-----------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 （3）設存在過點A的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B， ， 則切線方程是：， 化簡得：，--------------------------11分 而過B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得，----------------------13分 又由， 即 ，即 即， 得，但當時，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。----------------------------------16分