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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十二章 第3講 數(shù)學(xué)歸納法 理 新人教A版 一、選擇題 1. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”時，在驗證n＝1成立時，左邊應(yīng)該是(　　) A 1　　　　　　　 B 1＋a C 1＋a＋a2 D 1＋a＋a2＋a3 解析 當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋a＋a2，故選C. 答案 C 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是 (　　

2、)． A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)． 答案　D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 (　　)． A. B．－ C.－ D.＋ 解析　∵當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時， 左側(cè)＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案　C

3、 4．對于不等式

4、－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 解析 (1)當(dāng)k＝1時，顯然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假設(shè)當(dāng)k＝n(n∈N*)時，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除， 那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 這就是說，k＝n＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知，命題對任何k∈N*都成立． 答案 D 6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為 (　　)． A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝

5、 D．不存在這樣的a、b、c 解析　∵等式對一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時等式成立，即 整理得 解得a＝，b＝c＝. 答案　A 二、填空題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________． 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案　 8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝；當(dāng)推證當(dāng)n＝k＋1等式也成立時，用上歸納假設(shè)后需要證明的等式是　　　　　. 解析 當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＝＋ 故只需證明＋ ＝即可. 答案 ＋＝ 9．已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,

6、2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個數(shù)對是________． 解析　本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n－1)對． 設(shè)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60， ∴n＝11時還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60個數(shù)對為(5,7)． 答案　(5,7) 10．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)a

7、n，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是________． 解析　當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝； 當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝15a3， 即a3＝(a1＋a2)＝； 當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4， 即a4＝(a1＋a2＋a3)＝. ∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝， 故猜想an＝. 答案　an＝ 三、解答題 11．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成

8、立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋， 則當(dāng)n＝k＋1時，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立． 12．已知數(shù)列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，與數(shù)列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．記Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan. (1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值； (2)求證：T12n＝－4n(n∈N*)． (1)解　a1＋a2＋a3＋…＋

9、a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. ∵48＋4r＝64，∴r＝4. (2)證明　用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時，T12n＝－4n. ①當(dāng)n＝1時，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立． ②假設(shè)n＝k時等式成立，即T12k＝－4k，那么當(dāng)n＝k＋1時， T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．

10、根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)n∈N*時，T12n＝－4n. 13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，… (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明)； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． 解　(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. (2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：n≥6(n∈N*)時都有2n>n2＋2n. ①n＝6時，26>62＋2×6，即64>48成立； ②假設(shè)n＝k(k≥6，k∈N*)時，2k>k2＋2k成

11、立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立； 由①、②可得，對于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n>n2＋2n成立． 14．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0； (2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列． (1)證明　先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c

12、}是遞增數(shù)列． 由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c. 由x10，即xn<1－. 由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③ 反復(fù)運用③式，得 －xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1， xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知 2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立． 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得 2－1≤0，c≤，故00，即證xn<對任意n≥1成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0xn，即{xn}是遞增數(shù)列． 由①②知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.