《2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時)大綱人教版必修》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時)大綱人教版必修(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時)大綱人教版必修課時安排 4課時從容說課 本節(jié)通過類比橢圓的幾何性質(zhì),結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的幾何性質(zhì),讓學(xué)生再一次體會用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法.學(xué)生通過自學(xué),可以掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)等性質(zhì),對于雙曲線的漸近線的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)“漸近”兩個字的含義:當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近,接近的程度是無限的,或當(dāng)雙曲線上的動點(diǎn)P沿著雙曲線無限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時,點(diǎn)P到這條直線的距離逐漸變小而無限接近于0.本節(jié)例2的設(shè)計,旨在讓學(xué)生利用雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)地解決實際問題,例3則給出了雙曲線的第二
2、定義(比值定義)及雙曲線準(zhǔn)線的方程,為解決問題提供了方便.對直線與雙曲線的位置關(guān)系的掌握,仍是從直線與雙曲線的公共點(diǎn)展開的,通過直線與雙曲線的方程將其轉(zhuǎn)化為求方程解的個數(shù)問題,教學(xué)中應(yīng)指出:所得的方程不一定是一元二次方程,需要對其二次項系數(shù)進(jìn)行討論.使學(xué)生認(rèn)識到,脫離了二次方程而去談?wù)摵透c系數(shù)的關(guān)系是毫無意義的.課 題8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(一)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)雙曲線的范圍、對稱性(對稱軸、對稱中心)、頂點(diǎn)(截距)、實軸、虛軸的概念及雙曲線的漸近線與離心率.(二)能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生理解并掌握雙曲線的范圍.2.使學(xué)生理解并掌握雙曲線的對稱性,明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的雙曲線的對
3、稱軸、對稱中心.3.使學(xué)生理解雙曲線的漸近線的定義,掌握雙曲線漸近線的方程,并能利用雙曲線的漸近線較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖.4.使學(xué)生掌握離心率的定義及其幾何意義.(三)德育滲透目標(biāo)使學(xué)生充分認(rèn)識數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系,數(shù)與形的辯證統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法.教學(xué)難點(diǎn)雙曲線的漸近線教學(xué)方法指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法雙曲線的幾何性質(zhì)討論的內(nèi)容,除漸近線外,與橢圓的幾何性質(zhì)類同,對橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法,學(xué)生已經(jīng)初步掌握,在教師的指導(dǎo)下,自學(xué)雙曲線的幾何性質(zhì)不會有什么問題,同時通過學(xué)生的自學(xué),學(xué)生的親身實踐與體驗,對于學(xué)生掌握雙曲線的幾何特征及問題的研究方法,能起到加深印象與理解的作用
4、,達(dá)到突破難點(diǎn)、鞏固所學(xué)知識的目的.教具準(zhǔn)備投影片一張本課時教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱(記作8.4.1 A)多媒體課件一個:先作出中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,其次,隨著內(nèi)容的討論至頂點(diǎn)時,標(biāo)出A1、A2、B1、B2點(diǎn),第三,討論到實軸、虛軸概念時,讓線段A1A2、B1B2閃動,第四,到漸近線時,按要求作出矩形,作出對角線,并隨著x的增大(縮小)延長漸近線、雙曲線,讓學(xué)生觀察曲線逐步接近直線.教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的簡單性質(zhì):范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率,請同學(xué)們回憶一下,對于橢圓(ab0)其幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法.生橢圓的范圍是|x|a,|y|b(教師板書)師討論
5、方法是什么?生因兩個非負(fù)數(shù)的和等于1,那么由方程可知,每一個大于1,即小于或等于1,據(jù)此得到橢圓的范圍.師請接著談一下其他性質(zhì).生對稱性:橢圓關(guān)于x 軸、y軸、原點(diǎn)都對稱,原點(diǎn)是橢圓的中心.頂點(diǎn):橢圓與它的對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn),其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(a,0),(0,b)離心率:e=(e(0,1)(學(xué)生回答,教師板書)師在橢圓頂點(diǎn)的研究中,我們給出了長軸、短軸的概念,明確了長軸長、短軸長,以及a、b、c的幾何意義,誰來補(bǔ)充一下?生橢圓在同一條對稱軸上的兩個頂點(diǎn)間的線段,較長的是橢圓的長軸,較短的是橢圓的短軸,長軸長是2a,短軸長是2b,a是長半軸的長,b是短半軸的長,c是半焦距.師很好!離心率對橢
6、圓的扁圓情況有怎樣的影響呢?生0e1,當(dāng)e越接近1時,c越接近于a,b=越小,橢圓就越扁;當(dāng)e越接近于0時,c越小,b=越接近于a,橢圓就越接近于圓.師好!橢圓的對稱性、離心率、頂點(diǎn)三種性質(zhì)的討論方法是什么呢?生討論橢圓的對稱性時,用-y代y,方程不變,則橢圓關(guān)于x軸對稱;用-x代x,方程不變,則橢圓關(guān)于y軸對稱;同時用-y代y,-x代x,方程不變,則橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱.討論離心率時,由離心率的定義,得到了離心率的范圍.討論頂點(diǎn)時,由頂點(diǎn)的定義及橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸,令x=0,得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),令y=0得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),據(jù)此可寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo).師很好!同學(xué)們對橢圓的簡單幾何性質(zhì),掌握得基本熟練.下面,
7、我們用類比的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì).(板書課題).講授新課師上節(jié)課下課時,老師請同學(xué)們依照研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)的方法和步驟去試推雙曲線的簡單幾何性質(zhì),完成了這個作業(yè)的同學(xué)請舉手.生舉手師好!請放下,哪位同學(xué)對照橢圓的簡單幾何性質(zhì)的順序,來談一下雙曲線(a0,b0)的幾何性質(zhì),并談?wù)勥@個性質(zhì)的討論方法.生甲范圍,|x|a,即xa,x-a討論方法是由標(biāo)準(zhǔn)方程可知與一個非負(fù)數(shù)的差等于1,所以1,由此推得x的范圍.y除受到式子本身的制約外,沒有任何限制,說明雙曲線位于xa與x-a的區(qū)域內(nèi).師好,請另一位同學(xué)接著說.生乙對稱性,雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對稱的,坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸,原點(diǎn)是雙
8、曲線的對稱中心,即雙曲線的中心.討論方法是以-y代y,方程不變,所以雙曲線關(guān)于x軸對稱;以-x代x,方程不變,所以雙曲線關(guān)于y軸對稱;同時以-y代y,以-x代x,方程不變,所以雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱. 生丙頂點(diǎn),只有兩個,即(a,0).討論方法是令y=0,得x=a,因此雙曲線和它的一條對稱軸x軸有兩個交點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),所以雙曲線的頂點(diǎn)是(a,0).令x=0時,解得y2=-b2,無實數(shù)解,說明雙曲線與它的另一條對稱軸y軸沒有交點(diǎn),故雙曲線頂點(diǎn)只有兩個.師請注意:雙曲線(a0,b0)與y軸沒有交點(diǎn),但我們也把B1(0,-b),B2(0,b)畫在y軸上.(打出多媒體課件)線段A1A2
9、叫做雙曲線的實軸,線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,實軸的長為2a,虛軸的長為2b,a是實半軸的長,b是虛半軸的長,焦點(diǎn)始終在實軸上.下面,請一位同學(xué)來談一下離心率.生丁雙曲線的焦距與實軸長的比e=叫做雙曲線的離心率.e=且e(1,+),這是因為ca0.師離心率對雙曲線張口的大小有什么影響?為搞清這個問題,我們先來看雙曲線特有的另外一個性質(zhì)漸近線.經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x=a,經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y=b,這四條直線圍成一個矩形(打出多媒體課件),矩形的兩條對角線所在的直線的方程是(教師可拉長語氣,等待學(xué)生作答)y=x,從圖中可以看出,雙曲線的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近.我們
10、觀察到的這個結(jié)論可靠不可靠呢?下面,我們來進(jìn)行證明.先取雙曲線在第一象限的部分進(jìn)行證明,這一部分的方程可寫成y=(xa)設(shè)M(x,y)是它上面的點(diǎn),N(x,y)是直線y=x上與M有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn),則y=xy=|MN|=Y-y=|MN|=|MN|= 設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線y=x的距離,則|MQ|MN|,當(dāng)x逐漸增大時,|MN|逐漸減小,x無限增大,|MN|接近于0,|MQ|也接近于0,就是說,雙曲線在第一象限部分從射線ON的下方逐漸接近于ON.在其他象限內(nèi),也可以證明類似的情況.我們把兩條直線y=x叫做雙曲線的漸近線.在方程中,如果a=b,那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實軸和虛軸的長都
11、等于2a,這時四條直線x=a,y=a圍成正方形.漸近線方程為y=x,它們互相垂直,并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角,實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.利用雙曲線的漸近線,可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖,具體做法:畫出雙曲線的漸近線,先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置,然后再過這兩個點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線.有了雙曲線的漸近線,我們再來討論離心率對雙曲線張口大小的影響,就方便了.由等式c2-a2=b2可得由上式可以看出,e越大,也越大,即漸近線y=x的斜率的絕對值越大,這時雙曲線的形狀
12、就從扁狹逐漸變得開闊,由此可知,雙曲線的離心率越大,它的張口就越大.例題分析例1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長是多少?虛半軸長呢?焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程各是什么?師要解決這個問題,首先需要怎樣做?生將所給的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.師好,下面請同學(xué)們完成此題.(學(xué)生在下面做,請一位同學(xué)在黑板上板書)(教師在巡視時可提出問題:化成標(biāo)準(zhǔn)方程后,可以看出焦點(diǎn)在哪個軸上呢?或者雙曲線的實軸在哪個坐標(biāo)軸上?寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程時一定要注意?。▽W(xué)生解答之后,教師講解,也許漸近線方程會出錯,要告訴學(xué)生怎樣正確地寫出漸近線方程)師根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程的方法有兩種:1.畫出以實軸長
13、、虛軸長為鄰邊的矩形,寫出其對角線方程,特別要注意對角線的斜率的確定.2.將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為0,即得雙曲線的漸近線方程,再據(jù)此推出y=kx的形式.另外需要注意的是:若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程則可以寫出其漸近線方程,但若已知雙曲線的漸近線方程,則不能僅據(jù)此確定a、b的值,只能確定a、b的關(guān)系,這點(diǎn)與離心率是類同的.課堂練習(xí)課本P113練習(xí)1、51.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程:(1)x2-8y2=32(2)9x2-y2=81(3)x2-y2=-4(4)答案:(1)2a=8,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),(-4,0);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(-6,0
14、);e=;漸近線方程為y=x.(2)2a=6,2b=18;頂點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),(-3,0);焦點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),(-3,0);e=;漸近線方程為y=3x.(3)2a=4,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),(0,-2);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(0,-2);離心率e=;漸近線方程為x=y.(4)2a=10,2b=14;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,5),(0,-5);焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),(0,-);離心率e=;漸近線方程為y=x.5.當(dāng)漸近線的方程為y=x時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是嗎?如果不一定,舉出一個反例.答案:不一定是反例:雙曲線的準(zhǔn)線方程為:y=x.課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、范圍、對稱
15、性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線.為了加深理解和掌握,大家可以與橢圓對照,比較異同點(diǎn),準(zhǔn)確把握,同時,請同學(xué)們寫出焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、實半軸長、虛半軸長、離心率、漸近線方程.課后作業(yè)(一)課本P113習(xí)題8.4 1、5、6(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:課本P111例2、例32.預(yù)習(xí)提綱:(1)解有實際意義的題目關(guān)鍵是什么?(2)不清楚雙曲線焦點(diǎn)位置時,其標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式?是怎樣的?(3)雙曲線的比值定義是什么?(4)怎樣的直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線?(5)對于確定的雙曲線,它有幾條準(zhǔn)線?(6)中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,它的準(zhǔn)線方程是怎樣的?板書設(shè)計8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(ab0)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(a0,b0)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率漸近線例1練習(xí)小結(jié)