4、 ( )．
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析 T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a35＝1.∴a3＝1.
答案 B
6．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于 ( )．
A．18 B．24
5、C．60 D．90
解析 由a42＝a3·a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32
得2a1＋7d＝8，則d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60，故選C.
答案 C
7．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是 ( )．
A．21 B．20 C．19
6、 D．18
解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d，∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5
＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴當n＝
20時，Sn有最大值．
答案 B
8．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列，則|m－n|等于 ( )．
A．1 B.
7、 C. D.
解析 易知這四個根依次為：，1,2,4.不妨設，4為x2－mx＋2＝0的根，1,2為x2－nx
＋2＝0的根．∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，∴|m－n|＝＝.
答案 B
9．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于 ( )．
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
解析 顯然等比數(shù)列{an}的公比q≠1，則由＝＝1＋q5＝?q5＝－，故＝
＝＝＝.
答案 A
10．濟南市決定從xx年到
8、xx年五年間更新市內現(xiàn)有全部出租車，若每年更新的車輛比前一年遞增10%，則xx年底更新現(xiàn)有總車輛的(參考數(shù)據(jù)：1.14＝1.46,1.15＝1.61)( )．
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
解析 設xx年底更新現(xiàn)有總車輛的比例為x，則x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，得
x＝1，解得x≈16.4%.
答案 B
二、填空題(本題6個小題，每小題5分，共30分)
11．若a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，其公比為2，則＝______.
解析 由已知：a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝
9、8a2，∴＝＝＝.
答案
12．已知在等差數(shù)列{an}中，首項為23，公差是整數(shù)，從第七項開始為負項，則公差為________．
解析 由解得－≤d＜－，∵d∈Z，∴d＝－4.
答案?。?
13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，當n≥2時，an2－(n＋2)an－1·an＋2nan－12＝0，則an＝________.(寫出你認為正確的一個答案即可)
解析 an2－(n＋2)an－1·an＋2nan－12＝0，有(an－2an－1)·(an－nan－1)＝0，∴＝2，由a1
＝1知an＝2n－1.
答案 2n－1
14．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m，(m為正整數(shù))，an＋1
10、＝若a6＝1，則m所有可能的取值為________．
解析 由a6＝1得a5＝2，a4＝4，a3＝1或8，a2＝2或16，a1＝4或5或32.
答案 4,5,32
15．在數(shù)列{an}中，對任意自然數(shù)n∈N＋，恒有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a1＋a22＋a33＋…＋ann＝________.
解析 由Sn＝2n－1(n∈N＋)，得a1＝1，Sn－1＝2n－3(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2(n≥2)．a1
＋a22＋a33＋…＋ann＝1＋22＋23＋…＋2n＝－1＋＝2n＋1－3.
答案 2n＋1－3
16．在等差數(shù)列{an} 中，Sn是它的前n項和．若S16>
11、0，且S17<0，則當Sn最大時n的值為________．
解析 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，∴a8＋a9>0.∵S17＝＝17a9<0.∴a9<0，
∴a8>0.故當n＝8時，Sn最大．
答案 8
三、解答題(共40分)
17．(10分)已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n項和公式．
解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a3＝－6，a6＝0，所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)設
12、等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因為b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以數(shù)列{bn}的前n項和公式為
Sn＝＝4(1－3n)．
18．(10分)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設bn＝.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和．
(1)證明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21
13、＋3·22＋…＋n·2n－1，
兩邊乘以2得：
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
兩式相減得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝
2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
19．(10分)下面是某中學生在電腦中前4次按某一程序打出的若干實心圓，第n次打出的實心圓的個數(shù)記為an.
· ··· ······ ··········
(1)請寫出該生為打印實心圓所編制的程序(即數(shù)列{an}的遞推公式)；
(2)若按上述程序在每次若干實心圓生成后插入一個空心圓，問第n次生成的實心圓為
1 953個時，空心圓有
14、多少個？
(3)若按(2)的條件，當空心圓達到5個時，進行第一次復制，然后再將復制后所得圓進行第二次復制，依次下去．試問至少復制幾次可使空心圓不少于2 007個？
解 (1)遞推公式是a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)．
(2)a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，相加得：
an＝＝1 953?n2＋n－3 906＝0，∴n＝62.
即此時空心圓有62個．
(3)第一次復制前有空心圓5個，
第一次復制后有空心圓10個，
第二次復制后有空心圓20個，
…
第n次復制后有空心圓10×2n－1個．
依題意：10×2n－1≥2 007，得n≥9.
15、
∴至少復制9次才符合條件．
20．(10分)在等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a4分別是某等差數(shù)列的第5項，第3項，第2項，且a1＝64，公比q≠1.
(1)求an；
(2)設bn＝log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn.
解 (1)依題意，得a2＝a4＋3(a3－a4)，
即2a4－3a3＋a2＝0，
∴2a1q3－3a1q2＋a1q＝0，∴2q2－3q＋1＝0，
解得q＝1或q＝，
又∵q≠1，∴q＝，故an＝64×n－1.
(2)bn＝log2＝log227－n＝7－n，
∴|bn|＝
∴當n≤7時，|b1|＝6，Tn＝＝；
當n>7時，|b8|＝1，Tn＝T7＋＝
21＋.
∴Tn＝
2022年高中數(shù)學《第一章 數(shù)列》章末質量評估（含解析）北師大版必修5
