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1、2022年高考數(shù)學總復習 階段檢測卷5 理 一、選擇題：本大題共8小題，每小題6分，共48分，有且只有一個正確答案，請將答案選項填入題后的括號中． 1．下列命題正確的是(　　) A．三點確定一個平面 B．經過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面 D．兩條相交直線確定一個平面 2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 3．在正方體ABCD-A′B′C′D

2、′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，異面直線B′M與CN所成的角的大小是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° 4．如圖J5-1，在四面體A-BCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．異面直線PM與BD所成的角為45° 圖J5-1 　　圖J5-2 5．如圖J5-2，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，與AD′成60°角的面對角線的條數(shù)是(　　) A．4條 B．6條 C．8條 D．10條 6．對于平面α，β，γ和直線a，b，m，b

3、，下列命題中真命題是(　　) A．若α∥β，α∩γ＝a, β∩γ＝b，則a∥b B．若a∥b，b?α，則a∥α C．若a?β，b?β，a∥α，b∥α，則β∥α D．若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，則a⊥α 7．如圖J5-3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 圖J5-3

4、 　　圖J5-4 8．如圖J5-4，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 二、填空題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，把答案填在題中橫線上． 9．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中真命題的序號是________． 10．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上．若球的體積為，

5、則正方體的棱長為________． 11．一個幾何體的三視圖如圖J5-5(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 圖J5-5 三、解答題：本大題共2小題，共34分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 12．(14分)如圖J5-6，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4. (1)求直線AB與平面PDC所成的角； (2)設點E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值． 圖J5-6 13．(20分)如圖J5-7

6、，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，平面ABCD是直角梯形，M為側棱PD上一點．該四棱錐的俯視圖和側視圖如圖J5-8. (1)證明：BC⊥平面PBD; (2)證明：AM∥平面PBC; (3)線段CD上是否存在點N，使AM與BN所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點N，并求CN的長；若不存在，說明理由． 圖J5-7 圖J5-8 階段檢測卷(五) 1．D 2．D　解析：若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，或m∥n，或m，n異面

7、，故A錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故B錯誤；若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯誤；若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β，得α⊥β，故選D. 3．D 4．C　解析：由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上所述，C是錯誤的．故選C. 5．C 6．A　解析：由面面平行的性質定理知，A正確；若a∥b，b?α，則a∥α，或a在平面α內，故B錯誤；若a?β，b?β，a∥α，b∥α，則只有當a，b相交時，才有β

8、∥α，故C錯誤；若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，則只有當m，n相交時，才有a⊥α，故D錯誤． 7．D　解析：在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC. 8．D 9．①③　解析：?l⊥m，故①為真命題； ?/ l∥m，故②為假命題； ?α⊥β，故③為真命題； ?/ α∥β，故④為假命題． 10.　解析：設正方體的棱長為a，球的半徑為R，則πR3＝π，則R＝.又正方體的對角線等于球的直徑，則2R＝＝3，故a＝. 11.π　解析：幾何體為一個圓錐與一個圓柱的

9、組合體．圓錐的高為2，底面半徑為2；圓柱的高為4，底面半徑為1，所以該幾何體的體積為V＝×2×π×22＋4×π×12＝π(m3)． 12．解：方法一：(1)∵PD⊥平面ABCD，PD?面PDC， ∴平面PDC⊥平面ABCD. 如圖D123，過點D作DF∥AB，交BC于點F，過點F作FG⊥CD于G. ∵平面PDC∩平面ABCD＝CD， ∴FG⊥平面PDC. ∴∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角． 在Rt△DFC中，∠DFC＝90°， 則DF＝AB＝，CF＝4－1＝3， ∴tan∠FDG＝＝.∴∠FDG＝60°， 即直線AB與平面PDC所成的角為60°.

10、 圖D123 圖D124 (2)如圖D124，連接EF. ∵DF∥AB，DF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴DF∥平面PAB. 又∵DE∥平面PAB，且DE∩DF＝D， ∴平面DEF∥平面PAB. ∴EF∥PB. 又∵AD＝1，BC＝4，BF＝1， 圖D125 ∴＝＝. ∴＝，即λ＝. 方法二：如圖D125，在平面ABCD內過點D作直線DF∥AB，交BC于點F，分別以DA，DF，DP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系． 設PD＝a，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1，，0)，C(－3，，0)，P(0,0

11、，a)． (1)設平面PDC的法向量為n＝(x，y，z)， ∵＝(－3，，0)，＝(0,0，a)， ∴由 得 令x＝1，解得∴n＝(1，，0)． ∵＝(0，，0)， ∴cos〈，n〉＝＝＝. ∴直線AB與平面PDC所成的角為θ，則 sinθ＝|cos〈，n〉|＝. ∵0°<θ<90°，∴θ＝60°， 即直線AB與平面PDC所成的角為60°. (2)∵＝(－3，，－a)， ∴＝λ＝(－3λ，λ，－aλ)． ∴＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ)． 設平面PAB的法向量為m＝(x1，y1，z1)， ∵＝(0，，0)，＝(1,0，－a)

12、， ∴由 得 令z1＝1，解得∴m＝(a,0,1)． 若DE∥平面PAB，則·m＝(－3λ，λ，a－aλ)·(a,0,1)＝－3aλ＋0＋a－aλ＝a(1－4λ)＝0. 而a≠0，∴λ＝. 13．方法一：(1)證明：由俯視圖，得BD2＋BC2＝CD2. 所以 BC⊥BD. 又因為 PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥BC，且PD∩BD＝D. 所以 BC⊥平面PBD. 圖D126 (2)證明：如圖D126，取PC上一點Q，使PQ∶PC＝1∶4，連接MQ，BQ. 由側視圖知，PM∶PD＝1∶4， 所以 MQ∥CD，MQ＝CD. 在△BCD中，易得∠CDB＝60°，所以

13、∠ADB＝30°. 又 BD＝2, 所以AB＝1, AD＝. 又因為 AB∥CD，AB＝CD，所以 AB∥MQ，AB＝MQ. 所以四邊形ABQM為平行四邊形．所以 AM∥BQ. 因為 AM?平面PBC，BQ?平面PBC， 所以直線AM∥平面PBC. (3)解：線段CD上存在點N，使AM與BN所成角的余弦值為.證明如下： 因為PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz， 則D(0,0,0)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)． 設N(0，t,0)，其中0≤t≤4， 所以＝(－，0,3)，＝(－，t－1,0)． 要使A

14、M與BN所成角的余弦值為，則有 ＝＝. 解得 t＝0或2，均適合N(0，t,0)． 故點N位于點D處，此時CN＝4；或位于CD中點處，此時CN＝2，使AM與BN所成角的余弦值為. 圖D127 方法二：(1)證明：因為PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如圖D127所示的空間直角坐標系Dxyz. 在△BCD中，易得∠CDB＝60°，所以 ∠ADB＝30°. 因為 BD＝2, 所以AB＝1, AD＝. 由俯視圖和側視圖，得D(0,0,0)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，P(0,0,4)． 所以 ＝(－，3,0)，＝(，1,0)． 因為 ·＝－×＋3×1＋0×0＝0，所以BC⊥BD. 又因為 PD⊥平面ABCD，所以 BC⊥PD，且PD∩BD＝D. 所以 BC⊥平面PBD. (2)證明：設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)， 因為 ＝(－，3,0)，＝(0,4，－4)， 則即 取y＝1，得n＝(，1,1)． 因為 ＝(－，0,3)， 所以 ·n＝×(－)＋1×0＋1×3＝0. 因為 AM?平面PBC, 所以直線AM∥平面PBC. (3)解：同方法一．