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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等比數(shù)列教案 理 教學(xué)內(nèi)容分析 這節(jié)課是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，運(yùn)用同樣的研究方法和研究步驟，研究另一種特殊數(shù)列———等比數(shù)列．重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及應(yīng)用，難點(diǎn)是應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，并熟練加以運(yùn)用． 2. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比、推理、抽象、概括、歸納、猜想能力． 3. 感受等比數(shù)列豐富的現(xiàn)實(shí)背景，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容由于是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，運(yùn)用同樣的方法和步驟，研究類(lèi)似的問(wèn)題，學(xué)生接受起來(lái)較為容易，所以應(yīng)多放手讓學(xué)生思考，并注意運(yùn)用類(lèi)比思想，這樣不僅有

2、利于學(xué)生分清等差和等比數(shù)列的區(qū)別，而且可以鍛煉學(xué)生從多角度、多層次分析和解決問(wèn)題的能力．另外，與等差數(shù)列相比等比數(shù)列須要注意的細(xì)節(jié)較多，如沒(méi)有零項(xiàng)、ｑ≠0等，在教學(xué)中應(yīng)注意加以比較． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情景 在前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)生活中，我們還會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列： 1. 在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)遇到下面一類(lèi)特殊數(shù)列．下圖是某種細(xì)胞分裂的模型． 細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)可以組成下面的數(shù)列： 1，2，4，8，… 2. 一種計(jì)算機(jī)病毒可以查找計(jì)算機(jī)中的地址薄，通過(guò)電子函件進(jìn)行傳播．如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱(chēng)為第一輪，函件接收者發(fā)送病毒稱(chēng)為第二輪，依此類(lèi)推．假設(shè)每一輪每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染2

3、0臺(tái)計(jì)算機(jī)，那么，在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是 1，20，202，203，… （3）除了單利，銀行還有一種支付利息的方式———復(fù)利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息，也就是通常說(shuō)的“利滾利”．按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，現(xiàn)在存入銀行10000元錢(qián)，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末得到的本利和分別是（計(jì)算時(shí)精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）： 表47-1 時(shí)　間 年初本金（元） 年末本利和（元） 第1年 10000 10000×1.0198 第2年 10000×1.0198

4、10000×1.01982 第3年 10000×1.01982 10000×1.01983 第4年 10000×1.01983 10000×1.01984 第5年 10000×1.01984 10000×1.01985 各年末的本利和（單位：元）組成了下面的數(shù)列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 問(wèn)題：回憶等差數(shù)列的研究方法，我們對(duì)這些數(shù)列應(yīng)作如何研究？ 二、建立模型 結(jié)合等差數(shù)列的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般的思想方法分析和探究，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列的共同特點(diǎn)

5、，從而歸納出等比數(shù)列的定義及符號(hào)表示： 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［問(wèn)　題］ 1. ｑ可以為0嗎？有沒(méi)有既是等差，又是等比的數(shù)列？ 2. 運(yùn)用類(lèi)比的思想可以發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列的定義是把等差數(shù)列的定義中的“差”換成了“比”，同樣，你能類(lèi)比得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？如果能得出，試用以上例子加以檢驗(yàn)． 對(duì)于2，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比的方法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式為ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１與（ｎ－１）個(gè)ｄ的和，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為ａｎ等于ａ１與（ｎ－１）個(gè)ｑ的乘積，

6、即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的幾個(gè)例子都滿足通項(xiàng)公式． 3. 你如何論證上述公式的正確性． 證法1：同等差數(shù)列———?dú)w納法． 證法2：類(lèi)比等差數(shù)列，累乘可得，即 各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1． 歸納特點(diǎn)：（1）ａn是關(guān)于ｎ的指數(shù)形式． （2）和等差數(shù)列類(lèi)似，通項(xiàng)公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四個(gè)量，知道其中三個(gè)量可求另一個(gè)量． 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例　題］ 1. 某種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%，問(wèn)：這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)？ 解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過(guò)ｎ年，剩留量是ａn．由已知條件，得數(shù)列｛ａn｝是一個(gè)等比數(shù)列，其中ａ1＝0.84

7、，ｑ＝0.84． 設(shè)ａn＝0.5，則0.84n＝0.5． 兩邊取對(duì)數(shù)，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5． 用計(jì)算器計(jì)算，得ｎ≈4． 答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年． 2. 一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)． 解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是ａ1，公比是ｑ，那么 注：例1、例2體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，這也是有關(guān)等差、等比數(shù)列運(yùn)算中常用的思想方法． 3. 已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么｛ａnbn｝是否為等比數(shù)列？如果是，證明你的結(jié)論；如果不是，說(shuō)明理由． 解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么｛ａn·bn｝

8、也是等比數(shù)列． 證明如下： 設(shè)數(shù)列｛ａn｝的公比為ｐ，｛bn｝的公比為ｑ，那么數(shù)列｛ａn·bn｝的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1與ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1與ａ1ｂ1（ｐｑ）n．兩項(xiàng)相比，得 顯然，它是一個(gè)與ｎ無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以｛ａn·bn｝是一個(gè)以ｐｑ為公比的等比數(shù)列． 特別地，如果｛ａn｝是等比數(shù)列，ｃ是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列｛ｃ·ａn｝也是等比數(shù)列． ［練　習(xí)］ 1. 在等比數(shù)列｛ａn｝中， （1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9． （2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3． 2. 設(shè)｛ａn｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，問(wèn)：是等比數(shù)列嗎？為

9、什么？ 3. 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù)． 4. 設(shè)等比數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝的公比分別是ｐ，ｑ． （1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比數(shù)列嗎？ （2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比數(shù)列嗎？ 四、拓展延伸 引導(dǎo)學(xué)生分析思考如下三個(gè)問(wèn)題： （1）如果三個(gè)數(shù)ａ，G，ｂ成等比數(shù)列，則G叫作ａ，ｂ的等比中項(xiàng)，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？這個(gè)式子是三個(gè)數(shù)ａ，G，ｂ成等比數(shù)列的什么條件？ （2）在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為ａn＝2n的數(shù)列的圖像和函數(shù)y＝2x－1的圖像．對(duì)比一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？ （3）已知數(shù)列｛ａn｝滿足ａn－ａn－1

10、＝2n（ｎ≥2），數(shù)列｛bn｝滿足，你會(huì)求它們的通項(xiàng)公式嗎？ 五、回顧反思 1. 在這節(jié)課上，你有哪些收獲？ 2. 你能用幾個(gè)概念、幾個(gè)公式來(lái)概括等比數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容嗎？試試看． 點(diǎn)　評(píng) 這是一節(jié)典型的類(lèi)比教學(xué)的案例，這節(jié)課的內(nèi)容與等差數(shù)列的內(nèi)容和研究方法非常相似，但設(shè)計(jì)者從類(lèi)比入手，讓學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)，猜想，解決，無(wú)論從問(wèn)題的提出，還是在解決方式、細(xì)節(jié)的處理上，和上節(jié)均有較大不同．相信這節(jié)課除了使學(xué)生可以更加熟練地掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及常用的解題思想方法外，對(duì)類(lèi)比思想的運(yùn)用還會(huì)有所感悟和體會(huì)． 美中不足的是，等比數(shù)列的現(xiàn)實(shí)模型比較多，而這篇案例在對(duì)比方面的運(yùn)用略顯單?。?