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1、常微分方程 第五章 線(xiàn)性微分方程組例如，已知在空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間及點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系為且質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t經(jīng)過(guò)點(diǎn)求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。因?yàn)?所以這個(gè)問(wèn)題其實(shí)就是求一階微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解（1.12）中,令就可以把它化成等價(jià)的一階微分方程組注意，這是一個(gè)含n個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組。另外，在n階微分方程含有n個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組的一般形式為：此方程組在上的一個(gè)解，是這樣的一組函數(shù)使得在上有恒等式含有n個(gè)任意常數(shù)的解稱(chēng)為方程組的通解通解. 如果通解滿(mǎn)足方程組則稱(chēng)后者為(1)的通積分通積分.如果已求得(1)的通解或通積分，要求滿(mǎn)足初始條件的解，可以把此初始條件代入通解或通積分之中，得到關(guān)于

2、的n個(gè)方程式，如果從其中解得再代回通解或通積分中，就得到所求的初值問(wèn)題的解.為了簡(jiǎn)潔方便，經(jīng)常采用向量與矩陣來(lái)研究一階微分方程組(1)令n維向量函數(shù)并定義則(1)可記成向量形式初始條件可記為 其中這樣，從形式上看，一階方程組與一階方程式完全一樣了。進(jìn)一步，對(duì)n維向量Y和矩陣,定義易于證明以下性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)Y = 0(0表示零向量，下同);對(duì)任意常數(shù)有對(duì)任意常數(shù)有稱(chēng)Y和A分別為向量Y和矩陣A的范數(shù)范數(shù)。進(jìn)而還有如下性質(zhì)有了以上準(zhǔn)備，完全類(lèi)似于第三章定理3.1，我們有如下的關(guān)于初值問(wèn)題(1)的解的存在與唯一性定理. 如果函數(shù)F(x,Y)在n+1維空間的區(qū)域上滿(mǎn)足：1) 連續(xù)；2) 關(guān)于Y滿(mǎn)足李普希

3、茲條件，即存在N0,使對(duì)于R上任意兩點(diǎn)有則初值問(wèn)題(1)的解在上存在且唯一，其中 如果在一階微分方程組(1)中，函數(shù)方程組（1）是線(xiàn)性的。為線(xiàn)性的。5.2 一階線(xiàn)性微分方程組的一般概念一階線(xiàn)性微分方程組的一般概念關(guān)于則稱(chēng)(1)為一階線(xiàn)性微分方程組一階線(xiàn)性微分方程組。我們總假設(shè)(1)的系數(shù)及在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)。向量形式：記：向量形式如果在I上，,方程組變成（5.2) 我們把(5.2)稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次方程組一階線(xiàn)性齊次方程組。如果(5.2與(5.1)中A(x)相同，則稱(chēng)(5.2)為(5.1)的對(duì)應(yīng)的齊次方程組.與第二章中關(guān)于一階線(xiàn)性微分方程的結(jié)果類(lèi)似，我們可以證明如下的關(guān)于(5.1)的滿(mǎn)足初始條件(

4、5.3)的解的存在與唯一性定理. （5.1) （5.3) 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在區(qū)間I =上連續(xù)，則對(duì)于上任一點(diǎn)x以及任意給定的方程組(5.1)的滿(mǎn)足初始條件(5.3)的解在上存在且唯一.它的結(jié)論與定理3.1的不同之處是： 定理3.1的解的存在區(qū)間是局部的，上存在.5.2 一階線(xiàn)性齊次方程組的一般理論 1一階線(xiàn)性齊次微分方程組解的性質(zhì) 本節(jié)主要研究一階線(xiàn)性齊次方程組(5.2)的通解結(jié)構(gòu).為此我們首先從(5.2)的解的性質(zhì)入手. （5.2) 是方程組(5.2)的m個(gè)解，則 也是(5.2)的解，其中是任意常數(shù).換句話(huà)說(shuō)，線(xiàn)性齊次方程組(5.2)的任何有限個(gè)解的線(xiàn)性組合仍為(5.2)

5、的解. 若(5.4)定理5.2告訴我們，一階線(xiàn)性齊次微分方程組(5.2)的解集合構(gòu)成了一個(gè)線(xiàn)性空間.為了搞清楚這個(gè)線(xiàn)性空間的性質(zhì)，進(jìn)而得到方程組(5.2)的解的結(jié)構(gòu)，我們引入如下概念. ，使得 在區(qū)間I上恒成立，則稱(chēng)這m個(gè)向量函數(shù)在區(qū)間I上線(xiàn)性相關(guān)；否則稱(chēng)它們?cè)趨^(qū)間I上線(xiàn)性無(wú)關(guān).顯然，兩個(gè)向量函數(shù)的對(duì)應(yīng)分量成比例是它們?cè)趨^(qū)間I上線(xiàn)性相關(guān)的充要條件.另外，如果在向量組中有一零向量， 則它們?cè)趨^(qū)間I上線(xiàn)性相關(guān). 若有函數(shù)組 例3中兩個(gè)向量函數(shù)的各個(gè)對(duì)應(yīng)分量都構(gòu)成線(xiàn)性相關(guān)函數(shù)組.這個(gè)例題說(shuō)明，向量函數(shù)組的線(xiàn)性相關(guān)性和由它們的分量構(gòu)成的函數(shù)組的線(xiàn)性相關(guān)性并不等價(jià).下面介紹n個(gè)n維向量函數(shù)組 在其定義區(qū)

6、間I上線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則.我們考察由這些列向量所組成的行列式通常把它稱(chēng)為向量組(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式. (5.10) 如果向量組(5.10)在區(qū)間I上線(xiàn)性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.證明 依假設(shè)，存在不全為零的常數(shù),使得把上式寫(xiě)成純量形式，有這是關(guān)于的線(xiàn)性齊次代數(shù)方程組，且它對(duì)任一都有非零解根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)，它的系數(shù)行列式I上有W(x)0.證畢.W (x)對(duì)任一對(duì)于一般的向量函數(shù)組,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函數(shù)的朗斯基行列式恒等于零，但它們卻是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.然而，當(dāng)所討論的向量函數(shù)組是方程組(5.8)的解時(shí)，我們有下面的結(jié)論. 如

7、果是方程組(5.8)的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，則它的朗斯基行列式W(x)在I上恒不為零. 由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推論. 如果向量組(5.10)的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上的某一點(diǎn)處不等于零，即,則向量組(5.10)在I上線(xiàn)性無(wú)關(guān).實(shí)際上，這個(gè)推論是定理5.3的逆否命題. 如果方程組(5.8)的n個(gè)解的朗斯基行列式W(x)在其定義區(qū)間I上某一點(diǎn)x0等于零，即則該解組在I上必線(xiàn)性相關(guān).實(shí)際上，這個(gè)推論是定理5.4的逆否命題. 方程組(5.2)的n個(gè)解在其定義區(qū)間I上線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點(diǎn)不為零. 條件的充分性由推論5.1立即可以得到 必要性用反證法及

8、推論5.2證明是顯然的證畢2一階線(xiàn)性齊次微分方程組解空間的結(jié)構(gòu) 我們把一階線(xiàn)性齊次方程組(5.2)的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解稱(chēng)為它的基本解組. 例例4 易于驗(yàn)證向量函數(shù)是方程組的基本解組. 方程組(5.2)必存在基本解組. 如果是齊次方程組(5.2)的基本解組，則其線(xiàn)性組合是齊次方程組(5.2)的通解,其中為n個(gè)任意常數(shù). 線(xiàn)性齊次方程組(5.2)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)不能多于n 個(gè). 3劉維爾公式 齊次方程組(5.2)的解和其系數(shù)之間有下列聯(lián)系. 如果是齊次方程組(5.2)的n個(gè)解，則這n個(gè)解的朗斯基行列式與方程組(5.2)的系數(shù)有如下關(guān)系式 這個(gè)關(guān)系式稱(chēng)為劉維爾(Liouville)公式. 在代數(shù)學(xué)中，

9、稱(chēng)為矩陣的跡，記作，因此劉維爾公式可表為 從劉維爾公式可以看出，齊次方程組（5.2）的幾個(gè)解所構(gòu)成的朗斯基行列式W(x) 或者恒為零，或者恒不為零54 一階線(xiàn)性非齊次方程組的一般理論本節(jié)研究一階線(xiàn)性非齊次方程組 的通解結(jié)構(gòu)與常數(shù)變易法. 5.4.1 通解結(jié)構(gòu) 如果是線(xiàn)性非齊次方程組(5.1)的解，而是其對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的解，則是非齊次方程組(5.1)的解. 線(xiàn)性非齊次方程組(5.1)的任意兩個(gè)解之差是其對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的解.是對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個(gè)基本解組，則方程組(5.1)的通解為這里是任意常數(shù). 定理定理5.10 線(xiàn)性非齊次方程組(5.1)的通解等于其對(duì)應(yīng)的是非齊次

10、方程組(5.1)的一個(gè)特解， 拉格朗日常數(shù)變易法 在第一章我們介紹了對(duì)于一階線(xiàn)性非齊次方程，可用常數(shù)變易法求其通解.現(xiàn)在，對(duì)于線(xiàn)性非齊次方程組，自然要問(wèn)，是否也有常數(shù)變易法求其通解呢?事實(shí)上，定理5.10告訴我們，為了求解非齊次方程組(5.1)，只需求出它的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個(gè)基本解組.而當(dāng)(5.2)的基本解組已知時(shí)，類(lèi)似于一階方程式，有下面的常數(shù)變易法可以求得(5.1)的一個(gè)特解. 為了計(jì)算簡(jiǎn)潔，我們定義(5.2)的基本解矩陣如下： 其中每一列均為(5.2)的解，且.由定理5.6知，齊次方程組(5.2)的通解可表為 ,其中C為列向量現(xiàn)在求(5.1)的形如的解，其中 為待定

11、向量函數(shù). 將(5.17)代入(5.1)有其中(5.17) 因?yàn)槭?5.2)的基本解矩陣，所以有從而，上式變?yōu)橛捎谑欠瞧娈惥仃嚕蚀嬖?，于是積分得代入(5.17)得到于是得到非齊次方程組(5.1)的通解公式 ) 中任一點(diǎn) (5.19） 例1 求解方程組 解 向量函數(shù)組 的特解，此時(shí)(5.18)的純量形式為解之得從而最后可得該方程組的通解為是方程組(3.20)的一個(gè)基本解組.例1 試求方程組的通解.解 它的系數(shù)矩陣是特征方程是即所以矩陣A的特征根為先求對(duì)應(yīng)的特征向量 a, b, c滿(mǎn)足方程即可得取一組非零解，例如令，就有,.同樣，可求出另兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量，這樣，這三個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是故方程組的通解是