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1、2022年高三數(shù)學 專題7 平面向量練習一、前測訓(xùn)練1 (1)已知向量a(0，2)，|b|2，則|ab|的取值范圍是 (2)若a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b(ab)0，則b的取值范圍是 答案：(1)0,4(2)1,1ABCDE2(1)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，點D是邊BC上一點，DC2BD，E為BC邊上的點，且0則 ； (2)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，BAD60，E為CD中點，則 (3)已知OAOB2，0，點C在線段AB上，且AOC60，則_答案：(1),(2)1(3)84二、方法聯(lián)想1向量的運算方法1 用向量的代數(shù)運算方法2 結(jié)合向量表示的幾何圖形2向量的應(yīng)用方

2、法1 基底法，即合理選擇一組基底(一般選取模和夾角均已知的兩個不共線向量)，將所求向量均用這組基底表示，從而轉(zhuǎn)化為這兩個基向量的運算方法2 坐標法，即合理建立坐標系，求出向量所涉及點的坐標，利用向量的坐標運算解決三、例題分析第一層次例1 （1）若向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，則實數(shù)x （2）已知a，b都是單位向量，ab，則|ab| （3）已知向量a（3，2），b（1，0），且向量ab與a2b垂直，則實數(shù)的值是 （4）若平面向量a，b滿足ab1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b 答案：（1）4；（2）；（3）；（4）（2，2）或（2，0）教學建議一、主要問題歸類與方法：1兩個非零向量

3、共線的充要條件（坐標形式和非坐標形式）2單位向量與數(shù)量積的概念，求模長的基本方法3向量垂直的充要條件（坐標形式和非坐標形式）4坐標形式下向量模長的計算公式二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（2）小題，方法1：將所求模長平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積；方法2可以畫圖，通過解三角形求解；本題給出了兩個向量的模長及數(shù)量積，因此方法1求解較為簡單2第（4）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標，通過解方程組求解本題可以抓住向量ab的兩要素，先求出向量ab的坐標，再求向量b的坐標，這個解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB3，BD1，則 （2）在平面直角坐標系xOy中，已知(3

4、，1)，(0，2)若0，則實數(shù)的值為 （3）已知A（3，0），B（0，），O為坐標原點，點C在第二象限，且AOC60，則實數(shù)的值是 （4）在ABC中，已知BC2，1，則ABC面積的最大值是 答案：（1）；（2）2；（3）；（4）教學建議一、主要問題歸類與方法：1解（1）小題可以是基底法（以和為基底），也可以建立直角坐標系用坐標法2解（2）小題可以設(shè)未知數(shù)解方程，也可以畫出圖形，利用直線方程求解理解向量共線的意義3平面向量基本定理，利用圖形進行分解，通過解三角形求解4平面向量數(shù)量積的概念，建立目標函數(shù)利用基本不等式求最值5解（4）小題還可以用坐標法，得出點A的軌跡方程，利用圖形的直觀性求解二、方

5、法選擇與優(yōu)化建議：1解（1）小題顯然是基底法簡單，因為兩個基底向量的模長和夾角都已知2解（4）小題由于建立目標函數(shù)有些難度，所以用坐標法求解來得簡單易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab（，R），則 ABCDEFP（2）如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)（包括邊界）的動點設(shè)（、R），則的取值范圍是 答案：（1）4；（2）3，4教學建議一、主要問題歸類與方法：1問題的本質(zhì)都是用兩個不共線的向量來表示第三個向量平面向量基本定理，利用圖形進行分解，通過解三角形求解2解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這兩題用坐標法

6、優(yōu)于基底法2選用哪一種方法，關(guān)鍵是看其中一個向量用基底來表示是否容易 第二層次例1 （1）已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c （2）已知向量a(2，1)，ab10，ab5，則b 變式：平面向量a與b的夾角為60，a(2，0)，|b|1，則|a2b| （3）若平面向量a，b滿足ab1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b （4）在菱形ABCD中，若AC4，則 答案：（1）（ ， ）；（2）5；變式：2（3）（2，2）或（2，0）；（4）8教學建議一、主要問題歸類與方法：1坐標形式下，向量共線、向量垂直的充要條件2向量已知了坐標求模長，解決模長問題的基本方法將

7、模長平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積3第（4）小題的求解，可以是基底法還可以坐標法，基底法的難點選擇基底；坐標法的難點是建立合適的直角坐標系二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（2）小題，方法1：設(shè)向量b的坐標，通過解方程組求解；方法2：直接對向量(ab)的模長平方求出答案相對而言，方法2比較簡單2第（3）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標，通過解方程組求解本題可以抓住向量ab的兩要素，先求出向量ab的坐標，再求向量b的坐標，這個解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)3第（4）小題解法1：基底法，選擇和與垂直的為基底；解法2：以AC、BD為；兩坐標軸建立直角坐標系例2 （1）已知正ABC的邊長為1，73，則 （2）設(shè)D，E分別

8、是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC，若12（1，2R），則12的值為_。（3）如圖，在ABC中，BAC90，AB6，D在斜邊BC上，且CD2DB，則的值為 ABDC（4）已知a，b是單位向量，ab0若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是 答案：（1）2；（2）；（3）24；（4）1，1教學建議一、主要問題歸類與方法：1三角形中研究邊所在向量的數(shù)量積時，關(guān)注向量夾角的定義2將所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、減法的三角形法則，突出平面向量基本定理3可以關(guān)注一下向量數(shù)量積的幾何意義（投影）4（4）求解的方法是畫圖或者建立直角坐標系用坐標法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（

9、3）小題的求解，坐標法優(yōu)于基底法從圖形的結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)便于建系2由于向量a，b是兩個相互垂直的單位向量，用坐標法解題通俗易懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab（，R），則 EBACD（2）如圖，在ABC中，ABAC，BC2，若，則 答案：（1）4；（2）教學建議一、主要問題歸類與方法：1一個向量用兩個基底向量來表示，平面向量基本定理2解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標法二、方法選擇與優(yōu)化建議：1第（1）小題由于不容易用基底來表示，所以用坐標法優(yōu)于基底法2第（2）小題不容易選擇基底，而且運算過程復(fù)雜，建系則比較單一，所以用坐標法優(yōu)于基底法第三層次例1

10、（1）設(shè)a、b、c是單位向量，且abc，則ac的值為 （2）若向量a，b滿足|a|3，|b|1，|a2b|，則向量a，b的夾角是 xyABO1（3）函數(shù)ytan(x)的部分圖象如圖所示，點A為函數(shù)圖象與x軸的交點，點B在函數(shù)圖象上，且縱坐標為1則() （4）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若xy，則x ，y 答案：（1）；（2）；（3）6；（4）1和教學建議一、主要問題歸類與方法：1單位向量的概念以及數(shù)量積的定義可以畫圖結(jié)合圖形研究，也可以通過計算，將條件變?yōu)閎ca，兩邊平方即得答案2向量的夾角公式設(shè)法求出向量a，b的數(shù)量積3坐標形式下向量數(shù)量積的運算求出點A、B的坐標4平面向量基本

11、定理，向量分解，解三角形求解例2 （1）如圖，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是邊BC上一點，2，則 （2）如圖，平面內(nèi)有三個向量、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若（，R），則的值為 （3）在ABC中，M是BC的中點，AM1，點P在AM上且滿足2，則()等于 變式：在ABC中，M是BC的中點，AM1，點P是AM上一動點，則()的最小值等于 DCAB如圖（4）如圖，在四邊形ABCD中，|4，|4，0，則()的值為 答案：（1）；（2）6；（3）；變式：（4）4教學建議一、主要問題歸類與方法：1基底法求解很顯然是以、為基底2平面向量基本定理，把、看作一組基底，將

12、非正交分解通過解三角形求出答案3平面幾何性質(zhì)；向量加法的平行四邊形法則；建立目標函數(shù)求最值4結(jié)合平面幾何性質(zhì)，突出向量數(shù)量積的定義5突出了“數(shù)形結(jié)合”和“整體代換”等數(shù)學思想二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標法。不容易找到基底或者表示起來較為復(fù)雜，計算量大，往往就用坐標法，建立適當?shù)淖鴺讼凳请y點ABCEFMN圖1例3 圖1，等腰ABC中，ABAC1，A120，E、F分別是邊AB、AC上的點，且m，n，其中m、n（0，1），且m4n1.若EF、BC的中點分別為M、N，則|的最小值為 答案：.教學建議一、主要問題歸類與方法：1基底法求解很顯然是以、為基底通

13、過構(gòu)造AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來，將平方之后建立目標函數(shù)，通過消元研究關(guān)于m或n的二次函數(shù)的最小值2坐標法求解以BC邊所在直線為x軸，BC邊的高所在直線為y軸，建立直角坐標系設(shè)法將M、N兩點的坐標表示出來，利用向量坐標形式下模長公式建立起目標函數(shù)進行求解3基底法的難點是：要學會通過構(gòu)造AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來4坐標法的難點是：首先要利用條件將E、F兩點的坐標表示出來5關(guān)注對目標函數(shù)消元變形的理性思維，達到簡化運算的目的二、方法選擇與優(yōu)化建議：1解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標法本題的兩種解法總體難度相當，坐標法相對比較好想一點2基底法難點是用基底、來表示，構(gòu)造三角形AMN，將向量放在AMN中研究，這種方法最為簡潔，這種做法是基于M、N分別為EF、BC的中點，有一個向量公式，很容易將和用基底向量來表示()( mn)，()在接下來對目標函數(shù)進行消元變形的過程中，關(guān)注計算的理性化3坐標法的難點是如何利用條件將E、F兩點的坐標表示出來需要結(jié)合平面幾何中平行線分線段成比例的等一些基本性質(zhì)四、反饋練習