《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與熱點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)案（文）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與熱點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)案（文）（19頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與熱點(diǎn)問(wèn)題考情考向高考導(dǎo)航導(dǎo)數(shù)日益成為解決問(wèn)題必不可少的工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見(jiàn)題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)解答題的熱點(diǎn)題型有：(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程的根(2)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值真題體驗(yàn)1(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)e0.解析：(1)由題意：f(x)得f(x)；f(0)2；即曲線yf(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率為2，y(1)2(x0)，即2xy10.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)e，令g(x)x2

2、x1ex1，則g(x)2x1ex1，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以g(x)g(1)0.因此當(dāng)a1，f(x)e0.2(2019全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x，因?yàn)閥ln x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增，又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xx0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增

3、，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)f(1)2，又f(e2)e230，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根xa.由x01得1x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)主干整合1常見(jiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形后構(gòu)造對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔

4、助函數(shù)(3)適當(dāng)放縮后再構(gòu)造：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù)(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，難以判斷符號(hào)，導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)也不易求得，因此單調(diào)性和極值點(diǎn)都不易獲得，從而構(gòu)造f(x)和g(x)，利用其最值求解2不等式的恒成立與能成立問(wèn)題(1)f(x)g(x)對(duì)一切xa，b恒成立a，b是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xa，b)(2)f(x)g(x)對(duì)xa，b能成立a，b與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xa，b)(3)對(duì)x1，x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)對(duì)x1a，b，

5、x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.3零點(diǎn)存在性定理在函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用第一步：求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并寫出定義域第二步：討論單調(diào)性由f(x)0(或f(x)0)討論函數(shù)的單調(diào)性第三步：定區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值及符號(hào)第四步：判定零點(diǎn)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)存在與否及其個(gè)數(shù)4分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題第一步：分離參變量由已知的含參方程將參數(shù)與已知變量分離第二步：研究函數(shù)將已知范圍的變量的代數(shù)式作為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象第三步：利用圖象找交點(diǎn)利用圖象找到產(chǎn)生不同交點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)的取值范圍第四步：運(yùn)動(dòng)定范圍通過(guò)

6、改變未知變量的范圍找出臨界條件熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例11(2019梅州三模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)ln(x1)(1)證明：f(x1)；(2)證明：e2x2(x1)ex2x3.審題指導(dǎo)第(1)小題利用移項(xiàng)作差構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可；第(2)小題利用換元的思想和第(1)小題的結(jié)論證明不等式解析(1)令h(x)f(x1)(x0)，則h(x)ln x，h(x)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(1)0，所以f(x1).(2)由(1)易知ln t，

7、t0.要證e2x2(x1)ex2x3，即(ex1)22x(ex1)4，只需證ex12x，即證x.令tex，則x，即x，得證用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2)對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立、存在性問(wèn)題例12(2019西安三模)已知f(x)2ln(x2)(x1)2，g(x)k(x

8、1)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)當(dāng)k2時(shí)，求證：對(duì)于x1，f(x)g(x)恒成立(3)若存在x01，使得當(dāng)x(1，x0)時(shí)，恒有f(x)g(x)成立，試求k的取值范圍審題指導(dǎo)(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，再求單調(diào)區(qū)間(2)構(gòu)造函數(shù)證明不等式(3)構(gòu)造函數(shù)、研究其單調(diào)性，從而確定參數(shù)范圍解析(1)f(x)2(x1)(x2)當(dāng)f(x)0時(shí)，x23x10，解得2x.當(dāng)f(x)0時(shí)，解得x.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)證明：設(shè)h(x)f(x)g(x)2ln(x2)(x1)2k(x1)(x1)當(dāng)k2時(shí)，由題意，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0恒成立h(x)2，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0恒成

9、立，h(x)單調(diào)遞減又h(1)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)h(1)0恒成立，即f(x)g(x)0對(duì)于x1，f(x)g(x)恒成立(3)因?yàn)閔(x)k.由(2)知，當(dāng)k2時(shí)，f(x)g(x)恒成立，即對(duì)于x1，2ln(x2)(x1)22(x1)，不存在滿足條件的x0；當(dāng)k2時(shí)，對(duì)于x1，x10，此時(shí)2(x1)k(x1)2ln(x2)(x1)22(x1)k(x1)，即f(x)g(x)恒成立，不存在滿足條件的x0；當(dāng)k2時(shí)，令t(x)2x2(k6)x(2k2)，可知t(x)與h(x)符號(hào)相同，當(dāng)x(x0，)時(shí)，t(x)0，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(1，x0)時(shí)，h(x)h(1)0，即f(x)

10、g(x)0恒成立綜上，k的取值范圍為(，2)1利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可(2)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，伴有對(duì)參數(shù)的分類討論，然后構(gòu)建不等式求解2存在型不等式恒成立問(wèn)題的求解策略“恒成立”與“存在性”問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小

11、值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值在具體問(wèn)題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣，就可以解決相應(yīng)的“存在性”問(wèn)題是求最大值還是最小值，然后構(gòu)建目標(biāo)不等式求參數(shù)范圍(2020江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若a2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)f(x2)x1x20，證明：x1x2.解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ln xx，則f(1)1，切點(diǎn)為(1,1)，又f(x)1，切線斜率kf(1)2.故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)證明：

12、當(dāng)a2時(shí)，f(x)ln xx2x，x0.f(x1)f(x2)x1x20，即ln x1xx1ln x2xx2x1x20，從而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)令tx1x2，(t)tln t，得(t)1.易知(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1.又x10，x20，所以x1x2.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題直觀想象素養(yǎng)直觀想象數(shù)形結(jié)合求解零點(diǎn)問(wèn)題在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義

13、；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍在解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，主要存在兩類問(wèn)題，一是“有圖考圖”，二是“無(wú)圖考圖”.例2(2019日照三模)設(shè)函數(shù)f(x)x2a(ln x1)(a0)(1)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.(2)判斷函數(shù)f(x)有幾個(gè)不同的零點(diǎn)，并說(shuō)明理由審題指導(dǎo)(1)要證明f(x)0，只需證明f(x)min0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出f(x)min，證明其在0a時(shí)恒大于等于0即可(2)要判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合(1)需分a，0a，a，三種情況進(jìn)行分類討論解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，令f(x)2x0，則x ，所以當(dāng)x時(shí)，

14、f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以f(x)的最小值為f，當(dāng)0a時(shí)，ln1ln10，所以f0，所以f(x)0成立(2)當(dāng)a時(shí)，由(1)得，f(x)x2(ln x1)的最小值為f0，即f(x)x2(ln x1)有唯一的零點(diǎn)x；當(dāng)0a時(shí)，由(1)得，f(x)x2a(ln x1)的最小值為f，且f0，即f(x)x2a(ln x1)不存在零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，f(x)的最小值f0，又 ，f0，所以函數(shù)f(x)在上有唯一的零點(diǎn)，又當(dāng)a時(shí)，a ，f(a)a2a(ln a1)a(aln a1)，令g(a)aln a1，g(a)1，g(a)0，得a1，可知g(a)在上遞減，在(1，)上遞增，所以g(a)g(1)0，所

15、以f(a)0，所以函數(shù)f(x)在上有唯一的零點(diǎn)，所以，當(dāng)a時(shí)，f(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)a時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)，不存在零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，有2個(gè)不同的零點(diǎn)1對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解，這類問(wèn)題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，進(jìn)而求解2研究方程的根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程的根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用(

16、2020佛山模擬)已知函數(shù)f(x)(x2ax)ln xx2(其中aR)，(1)若a0，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性(2)若a0，求證：函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)(2xa)ln x(x2ax)x(2xa)ln x2xa(2xa)(1ln x)，令f(x)0，即(2xa)(1ln x)0x1，x2，當(dāng)x1x2，即，a時(shí)，f(x)0，f(x)是(0，)上的增函數(shù)；當(dāng)x1x2，即，0a時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2x1，即，a時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；

17、當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)0a時(shí)，f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，f(x)在(0，)單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)若a0，令f(x)0，即(2xa)(1ln x)0，得x，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時(shí)，f(x)取得極小值fln0，以下證明：在區(qū)間上，f(x)0，令x，t1，則x，f(x)f，f(x)0f0(t)0atett0atett，因?yàn)閍0，t1，不等式atett顯然成立，故在區(qū)間上，f(x)0，又f(1)0，即f(1)f0，故當(dāng)a0時(shí)，

18、函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)x0.限時(shí)60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)excos x，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，證明f(x)g(x)0.解析：(1)由已知，有f(x)ex(cos xsin x)因此，當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)證明：記h(x)f(x)g(x)，依題意及(1)，有g(shù)(x)ex(

19、cos xsin x)，從而g(x)2exsin x當(dāng)x時(shí)，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此，h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而h(x)hf0.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)0.2(2019大慶三模)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)解析：(1)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)；f(x)在x

20、處取得極小值f().(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而ke.當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點(diǎn)當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)3(2019全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)；(2)若x0，時(shí)，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(

21、x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時(shí)，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，04(2019

22、成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)ln x，aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ln x(x0)，此時(shí)f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x

23、(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時(shí)，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點(diǎn)，記為x0.由函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值綜上，a2e或a1.5(2019深圳三模)已知函數(shù)f(x

24、)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時(shí)，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時(shí)，若mg(t)e，則由f(m)的單

25、調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時(shí)F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時(shí)，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對(duì)u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時(shí)，1成立限時(shí)60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)；(2)若x0，時(shí)，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xco

26、s x.當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時(shí)，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，02(2020成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)ln x，a

27、R.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ln x(x0)，此時(shí)f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x

28、)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時(shí)，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點(diǎn)，記為x0.由函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值綜上，a2e或a1.3(2019深圳三模)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明

29、：對(duì)任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時(shí)，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時(shí)，若mg(t)e，則由f(m)的單調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln

30、m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時(shí)F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時(shí)，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對(duì)u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時(shí)，1成立4(2019廈門二調(diào))已知函數(shù)f(x)aln x，g(x)xf(x)(1)討論h(x)g(x)f(x)的單調(diào)性；(2)若h(x)的極值點(diǎn)為3，設(shè)方程f(x)mx0的兩個(gè)根為x1，x2，且ea，求證：.解析：(1)h(x)g(x)f(x)xaln x，其定義域?yàn)?0，)，h(x).在(0，)遞增；a10即a1時(shí)，x(0,1a)時(shí)，h(x)0，x(1a，)時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,1

31、a)遞減，在(1a，)遞增，綜上，a1時(shí)，h(x)在(0,1a)遞減，在(1a，)遞增，a1時(shí)，h(x)在(0，)遞增(2)證明：由(1)得x1a是函數(shù)h(x)的唯一極值點(diǎn)，故a2.2ln x1mx10,2ln x2mx20，2(ln x2ln x1)m(x1x2)，又f(x)2ln x，f(x)，mln.令te2，(t)ln t，則(t)0，(t)在e2，)上遞增，(t)(e2)11.故.5(2019全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex

32、的切線解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)?，故點(diǎn)B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即ln x0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點(diǎn)B處切線的斜率是，曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處切線的斜率也是，所以曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線高考解答題審題與規(guī)范(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類考題重在“拆分”

33、思維流程函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問(wèn)題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對(duì)于這類綜合問(wèn)題，一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理.真題案例審題指導(dǎo)審題方法(12分)(2019全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)sin xln(1x)，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：(1)f(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).(1)設(shè)g(x)f(x)，對(duì)g(x)求導(dǎo)可得g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，得證(2)對(duì)x進(jìn)行討

34、論，當(dāng)x(1,0時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性確定此區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)x時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性，確定f(x)先增后減且f(0)0，f0，所以此區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)x時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性確定此區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)0，所以此區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).審結(jié)論問(wèn)題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說(shuō)明已給結(jié)論正確或錯(cuò)誤因而解決問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程大多都是圍繞著結(jié)論這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定向思考的審視結(jié)論就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則解析(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos x，g(x)sin

35、 x.1分當(dāng)x時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零點(diǎn).2分設(shè)零點(diǎn)為.則當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0.3分所以g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn)，即f(x)在存在唯一極大值點(diǎn).4分(2)f(x)的定義域?yàn)?1，)()當(dāng)x(1,0時(shí)，由(1)知，f(x)在(1,0)單調(diào)遞增，而f(0)0，所以當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1,0)單調(diào)遞減又f(0)0，從而x0是f(x)在(1,0的唯一零點(diǎn).6分()當(dāng)x時(shí)，由(1)知，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且當(dāng)

36、x(0，)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.故f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.8分又f(0)0，f1ln0，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)0.從而，f(x)在沒(méi)有零點(diǎn).9分()當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以f(x)在單調(diào)遞減而f0，f()0，所以f(x)在有唯一零點(diǎn).10分()當(dāng)x(，)時(shí)，ln(x1)1，所以f(x)0，從而f(x)在(，)沒(méi)有零點(diǎn)綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).12分第(1)問(wèn)踩點(diǎn)得分構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)并正確求導(dǎo)g(x)得1分判斷g(x)在上遞減，由零點(diǎn)存在定理判定g(x)在有唯一零點(diǎn)，得1分判斷g(x)在(1，)，上的符號(hào)，得1分得出g(x)f(x)在有唯一極大值點(diǎn)得1分第(2)問(wèn)踩點(diǎn)得分判斷f(x)在(1,0)遞增，得1分，判斷f(x)在(1,0)遞減，又f(0)0，有唯一零點(diǎn)，得1分當(dāng)x時(shí)判斷f(x)的單調(diào)性，得1分；判斷f(x)存在零點(diǎn)，研究f(x)的單調(diào)性，得1分由f(0)0，f0，結(jié)合f(x)的單調(diào)性，得出f(x)在上無(wú)零點(diǎn)，得1分當(dāng)x時(shí)，研究f(x)的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理得出結(jié)論，得1分當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)0，從而f(x)在(，)上無(wú)零點(diǎn)得1分，根據(jù)分類討論，得出總結(jié)論，得1分.- 19 -