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1、2022年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第07講 函數(shù)的奇偶性的判斷和證明【知識要點】一、函數(shù)的奇偶性的定義對于函數(shù),其定義域關(guān)于原點對稱,如果恒有,那么函數(shù)為奇函數(shù);如果恒有,那么函數(shù)為偶函數(shù).二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱;2、 偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱,奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱;3、偶函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性相同,奇函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性相反;4、 奇函數(shù)在原點有定義時,必有.三、判斷函數(shù)的奇偶性的方法判斷函數(shù)的奇偶性的方法,一般有三種:定義法、和差判別法、作商判別法. 1、定義法首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如
2、果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關(guān)系,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù).2、和差判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個,若,則是奇函數(shù);若,則是偶函數(shù).3、 作商判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個,設,若,則是奇函數(shù),則是偶函數(shù).【方法講評】 方法一定義法使用情景具體函數(shù)和抽象函數(shù)都適用.解題步驟首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關(guān)系,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù).【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)
3、(2) 【點評】(1)判斷函數(shù)的奇偶性首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,是函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要非充分條件.(3)函數(shù)的定義域求出來之后,還要注意在解題中應用,不是走一個過場和形式.第2小題就是利用求出的定義域?qū)瘮?shù)進行了化簡. 【例2】 定義在實數(shù)集上的函數(shù),對任意,有且求證: 求證:是偶函數(shù)【解析】證明:令,則 令,則 是偶函數(shù)【點評】對于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷,和具體函數(shù)的判斷方法一樣,不同的是,由于它是抽象函數(shù),所以在判斷過程中,多要利用賦值法,常賦一些特殊值,如等. 【例3】判斷函數(shù)的奇偶性 【點評】(1)
4、對于分段函數(shù)奇偶性的判斷,也是要先看函數(shù)的定義域,再考慮定義,由于它是分段函數(shù),所以要分類討論. (2)注意,當求要代入下面的解析式,因為,不是還代入上面一段的解析式. 【反饋檢測1】已知 (1)判斷的奇偶性; (2)求的值域 【反饋檢測2】已知函數(shù)定義域為,若對于任意的,都有,且時,有.(1)證明函數(shù)是奇函數(shù);(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(3)設,若,對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 方法二和差判別法使用情景一般與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)有關(guān).解答步驟對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個,若,則是奇函數(shù);若,則是偶函數(shù).【例4】判斷函數(shù)的奇偶性. 【點評】和差判別法實際上是奇偶函數(shù)定義的等價形式,但是利
5、用定義判斷,計算較為復雜,利用和差判別法可以化繁為簡,簡捷高效.【反饋檢測3】已知函數(shù).(1)求的定義域; (2)判定的奇偶性;(3)是否存在實數(shù),使得的定義域為時,值域為?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由. 【例5】判斷函數(shù)的奇偶性.【解析】由題得,因為,所以,所以是偶函數(shù).【點評】和差判別法實際上是奇偶函數(shù)定義的等價形式,但是利用定義判斷,計算較為復雜,利用和差判別法可以化繁為簡,簡潔高效. 方法三作商判別法使用情景一般含有指數(shù)函數(shù)運算.解答步驟對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個,設,若,則是奇函數(shù),則是偶函數(shù).【例6】 證明函數(shù)是奇函數(shù). 【點評】作商判別法實際上是奇偶函數(shù)定義的等
6、價形式,但是利用定義判斷,計算較為復雜,利用作商判別法可以化繁為簡,簡捷高效. 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第07講:函數(shù)的奇偶性的判斷和證明參考答案 【反饋檢測1答案】(1)奇函數(shù);(2) 【反饋檢測2答案】(1)奇函數(shù);(2)單調(diào)遞增函數(shù);(3)或.【反饋檢測2詳細解析】(1)因為有,令,得,所以, 令可得: 所以,所以為奇函數(shù). (2)是定義在上的奇函數(shù),由題意設,則由題意時,有,是在上為單調(diào)遞增函數(shù); (3)因為在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上的最大值為, 所以要使,對所有恒成立,只要,即, 令由 得,或. 【反饋檢測3答案】(1)定義域為;(2)在定義域上為奇函數(shù);(3). 即是方程的兩個實根,于是問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程上有兩個不同的實數(shù)解.令 則有:故存在這樣的實數(shù)符合題意.