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1、2022年高考數(shù)學考點分類自測 數(shù)列的綜合問題 理 一、選擇題 1．根據(jù)市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預測，在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是(　　) A．5、6月　　　　　　　　 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝a100＋a101，且A、B、C三點共線(該直線不過點O)，則S200等于(　　) A．100 B．101 C．200 D．201 3．在數(shù)列{an}中

2、，對任意n∈N*，都有＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”．下面對“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列； ③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列； ④通項公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列． 其中正確的判斷為(　　) 4．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 5．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比數(shù)列，則xy(　　) A．有最大值e

3、 B．有最小值e C．有最大值 D．有最小值 6．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，則b10等于(　　)A．24 B．32C．48 D．64 二、填空題 7．若數(shù)列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為調和數(shù)列．記數(shù)列{}為調和數(shù)列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x5＋x16＝________. 8．設1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．

4、 9．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.則數(shù)列的通項公式為an＝________. 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(1，)，且點(n－1，)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝an＋1－an，若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：Sn<5. 11．某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價

5、值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%. (1)求第n年初M的價值an的表達式； (2)設An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新．證明：須在第9年初對M更新． 12．設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a3＋a5＝40.設bn＝log2an. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若c1＝1，cn＋1＝cn＋，求證：cn＜3； (3)是否存在正整數(shù)k，使得＋＋…＋＞對任意正整數(shù)n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，說明理由． 一、選擇題 1．解析：

6、由Sn解出an＝(－n2＋15n－9)，再解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6

7、a＝a3a9，又因為公差為－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20， 通項公式為an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n， 所以S10＝＝5(20＋2)＝110. 答案：D 5．解析：∵lnx，，lny成等比數(shù)列，∴＝lnxlny， ∵x＞1， y＞1，∴l(xiāng)nx＞0，lny＞0. ∴l(xiāng)nx＋lny≥2＝1(當且僅當lnx＝lny時等號成立)， 即lnx＋lny＝lnxy的最小值為1，故xy的最小值為e. 答案：B 6．解析：依題意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4

8、，a6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因為an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 答案：D 二、填空題 7．解析：由題意知，－＝d，即xn＋1－xn＝d， {xn}是等差數(shù)列，又x1＋x2＋…＋x20＝200，所以x5＋x16＝x1＋x20＝20. 答案：20 8．解析：設a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是. 答案： 9．解析：令x＝2，y＝2n－1，則f(x·y)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即f(2n)＝2

9、f(2n－1)＋2n－1a1，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列{}為等差數(shù)列，由此可得an＝n·2n. 答案：n·2n 三、解答題 10．解：(1)∵函數(shù)f(x)＝ax的圖象過點(1，)， ∴a＝，f(x)＝()x. 又點(n－1，)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝ax的圖象上，從而＝，即an＝. (2)由bn＝－＝得， Sn＝＋＋…＋， 則Sn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得：Sn＝＋2(＋＋…＋)－， ∴Sn＝5－， ∴Sn<5. 11．解：(1)當n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列， an＝120－10(n－1)＝130－10n； 當

10、n≥7時，數(shù)列{an}是以a6為首項，公比為的等比數(shù)列，又a6＝70，所以an ＝70×()n－6. 因此，第n年初，M的價值an的表達式為 an＝ (2)設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 當n≥7時，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an) ＝570＋70××4×[1－()n－6] ＝780－210×()n－6， An＝. 因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列， 又A8＝＝82＞80， A9＝＝76＜80， 所以須在

11、第9年初對M更新． 12．解：(1)設數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)， 由題意有， ∴a1＝q＝2，∴an＝2n， ∴bn＝n. (2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝， 當n≥2時，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋＋＋…＋， ∴cn＝＋＋＋…＋. 相減整理得：cn＝1＋1＋＋…＋－＝3－＜3， 故cn＜3. (3)令f(n)＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ∵f(n＋1)－f(n)＝＋－ ＝－＞0， ∴f(n＋1)＞f(n)． ∴數(shù)列{f(n)}單調遞增， ∴f(n)min＝f(1)＝. 由不等式恒成立得：＜， ∴k＜5. 故存在正整數(shù)k，使不等式恒成立，k的最大值為4.