《2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版（）參數(shù)取值問題的探討一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等價于或，解得a8.說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x

2、,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函數(shù)f(x)在定義域（，1上是減函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對一切實(shí)數(shù)x恒成立？并說明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價于ksinxk2sin2x1對于任意xR恒成立，這又等價于對于任意xR恒成立。不等式（1）對任意xR恒成立的充要條件是k2(1+sin2x)min=1,即1

3、k1-(3)不等式（2）對任意xR恒成立的充要條件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號。例3設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一

4、個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當(dāng)直線垂直于x軸時，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的

5、情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB

6、）由判別式得出k的取值范圍解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4已知長方形四個頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與A

7、B夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1 x42，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D)圖1圖2分析: 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡讓學(xué)生自主探索, 動手實(shí)踐, 并主張在高中學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動,本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設(shè)與AB的中點(diǎn)P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以由于在四個選擇支中只有C含有，故選Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax當(dāng)然，本題也可以利用對稱的方法將“折線”問題轉(zhuǎn)化成“直線”問題來直接求解（如圖2所示）

8、說明 由本題可見, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)例5當(dāng)x(1,2)時，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21,a1,10，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母

9、：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例8.設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,+)時恒大于0的問題。解：設(shè)F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當(dāng)=4（a1)(a+2)0時，即2a0.則原方程有解即方程t2+

10、(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0時，f(x)=(t+2)2=0,得t=20,符合題意。a=8.20. 0,即a0時，f(0)=40,故只需對稱軸，即a4.a0,y0,x,yZ）。計年利潤為s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面區(qū)域。問題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs0截距的最大值。過點(diǎn)A作0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。聯(lián)立得A（18,12）。將x18，y12代入

11、s0.6x+2y求得Smax34.8。設(shè)經(jīng)過n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。學(xué)校規(guī)模初中18個班級，高中12個班級，第一年初中招生6個班300人，高中招生4個班160人。從第三年開始年利潤34.8萬元，大約經(jīng)過36年可以收回全部投資。說明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計劃書，本題是計劃書中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過計算可知，投資教育主要是社會效益，提高整個民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1（南京市質(zhì)量檢測試題） 若對個向量存在個不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)

12、定， 能說明，“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-12-x-1,xR,若當(dāng)0時，f(cos2+2msin)+f(2m2)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4已知關(guān)于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。5試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。6某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況

13、（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大。已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020300勞動力 （工資）510110單位利潤68 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？ 7某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才

14、既科學(xué)又費(fèi)用最少？8發(fā)電廠主控室的表盤，高m米，表盤底邊距地面n米。問值班人員坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米）9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個面積為144平方米的長方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長？最少利用多長？（）、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個平面向量線性相關(guān)在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可?。ㄊ遣坏扔诹愕娜我鈱?shí)數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研

15、究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而

16、有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2+2msin0,t0,1-(*)恒成立時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。接下來，設(shè)g(t)=t22mt+(2m+1),按對稱軸t=m與區(qū)間0，1的位置關(guān)系，分類使g(t)min0,綜合求得m.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1t)(t2+1),t0,1當(dāng)t=1時，mR

17、;當(dāng)0th(t)=2(1t)+,由函數(shù)F（u)=u+在（1，1上是減函數(shù)，易知當(dāng)t=0時，h(x)max=1, m,綜合（1）、（2）知m。說明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a30,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函數(shù)y=8x6a3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2

18、=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時，直線過點(diǎn)（20，0）此時縱截距為6a3=160,a=;當(dāng)直線為l2時，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為6a3=0，a=a的范圍為，）。5解：（1）當(dāng)時，方程化為，表示軸。 （2）當(dāng)時，方程化為，表示軸 （3）當(dāng)時，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式： 當(dāng)時，方程化為表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。 當(dāng)時，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 當(dāng)時，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸

19、上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 6解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P6x+8y 由題意：30x+20y 300 5x+10y110 x0，y0 x、y均為整數(shù) 畫圖知直線 y3/4x1/8P 過M（4,9）時，縱截距最大，這時P也取最大值Pmax648996（百元）故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時，可獲得最大利潤9600元。7解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克）則目標(biāo)函數(shù)為S0.5x+0.4y 且x，y滿足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0畫圖可知，直線 y5/4x+5/2S過A（13/15,14

20、/15）時，縱截距5/2S最小，即S最小。故每盒盒飯為13/15百克，米食14/15百克時既科學(xué)又費(fèi)用最少。8解答從略，答案是： 值班人員的眼睛距表盤距離為 （米）。本題材料背景:儀表及工業(yè)電視，是現(xiàn)代化企業(yè)的眼睛，它總是全神貫注地注視著生產(chǎn)內(nèi)部過程，并忠實(shí)地把各種指標(biāo)顯示在值班人員的面前。這就要在值班人員和儀表及工業(yè)電視之間，建立某種緊密的聯(lián)系，聯(lián)系的紐帶是值班人員的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人員的座位，才能避免盲目性。9.解：假設(shè)圍欄的邊長為x米和玉米，于是由題設(shè)可知x0，y0，且xy144 （1）2x+y50 （2）雙曲線xy144在第一象線內(nèi)的一支與直線2xy50的交點(diǎn)是A（），B（），滿足條件（1）、（2）的解集是在雙曲線xy144（），這一段上的點(diǎn)集（即如圖中雙曲線A、B之間的一段），當(dāng)過雙曲線A、B之間上的任一點(diǎn)作一點(diǎn)作直線2xyk（k0）就是相應(yīng)需用鐵絲網(wǎng)的長度，直線2x+y=k（k0）與雙曲線xy144相切。這時，相應(yīng)的k值最小，消去y得x的二次方程： ，從0得， 即k24（米）所需用鐵絲網(wǎng)的最短長度為24米。從圖中知，利用已有墻的最大長度由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)給出，即米，利用墻的最短長度由B縱坐標(biāo)給出，即米。