《2022年高考數學精英備考專題講座 第六講解析幾何 第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數學精英備考專題講座 第六講解析幾何 第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系 文（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考數學精英備考專題講座 第六講解析幾何 第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系 文 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關系在高考中占據高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關直線與圓錐曲線的位置關系的題目可能會涉及線段中點、弦長等.分析這類問題，往往利用數形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等直線與圓錐曲線的關系是高考的必考內容，是命題的熱點也是難點.一般出現一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度系數為0.5-0.7左右，大題通常是高考的壓軸題，難度系數為0.3～0.5左右. 考試要求：(1) 直線與圓錐曲線的位置關系,是高考

2、考查的重中之中,在高考中以高難度題、壓軸題出現，主要涉及弦長，弦中點，對稱，參變量的取值范圍，求曲線方程等問題.突出考查了數形結合，分類討論，函數與方程，等價轉化等數學思想方法. （2）直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題要充分重視韋達定理和判別式的應用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯系方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”. 題型一 直線與圓錐曲線的交點問題 例1 在平面直角坐標系中,經過點(且斜率的直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求的取值范圍.（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數,使的向量與共線？如果存在,求值;如果不存在

3、,請說明理由. 點撥:(1)設出L的方程與橢圓組成聯立方程組,再利用判別式法求出的范圍. (2)利用向量共線的充要條件及韋達定理即可解出,再根據的取值范圍確定是否存在. 解： (1)由已知條件,直線的方程為代入橢圓方程得 ① 整理得( 直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 △= 解得 即的的取值范圍為 (2)設P(, 則= 由方程①得 又 而A所以與共線等價于 解得 由(1)知矛盾,故沒有符合題意的常數. 易錯點: 忽視的取值范圍導致錯誤. 圖 變式與引申 1.已知雙曲線的右焦點為F

4、,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率是( ) A．(1,2 B． C．[2，+∞ D． 題型二 直線與圓錐曲線的弦長問題 解（1）：設點的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以=． 當且僅當時，取到最大值． （2）：由 得， ， …………② 設到的距離為，則 ，又因為， 所以，代入②式并整理，得， 解得，，代入①式檢驗，，故直線的方程是 或或，或 易錯點：（1）忘記均值不等式的應用導致寸步難行.（2）忘記弦長公式與點到直線的距離公式導致出錯. 變式與引申 2.設橢圓與直線相交

5、于A ﹑B兩點，點C是AB的中點，若OC的斜率為求橢圓的方程. 題型三 直線與圓錐曲線中點弦的問題 例3 已知雙曲線的方程為 （1）求以A（2，1）為中點的弦所在直線的方程； （2）以點B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在直線的方程；若不存在，請說明理由. 點撥:（1）利用設而不求法和點差法構建方程，結合直線的斜率公式與中點坐標公式求出斜率.也可設 點斜式方程,與雙曲線方程聯立，利用韋達定理與中點坐標公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要驗證直線與雙曲線是否有交點. 解：（1）設是弦的兩個端點，則有 兩式相減得 ① ∵A（2，1

6、）為弦的中點，∴， 代入①得 ∴.故直線的方程為 （2）假設滿足條件的直線存在，同（1）可求 由得 ∵△= ∴所求直線與雙曲線無交點. ∴以B(1,1)為中點的弦不存在. 易錯點：存在性問題的結果通常是難以預料的，求時通?？汕蟮?，但不是充要條件，因此學生容易忽視. 變式與引申 3.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F，直線與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是 （ ） A． B． C． D． 題型四 有關對稱問題 解：（1）因為點P在橢圓C上，所以即 在，故橢圓的半焦距c =， 從而 所以橢圓C的方程為.

7、（2）法一：已知圓的方程為 所以圓心，設8由題意得 得 因為A,B關于點M對稱，所以代人得 即直線L的斜率為，所以直線L的方程為（經檢驗，所求直線方程符合題意） 法二：設已知圓的方程為所以圓心.從而可設直線L的方程為代入橢圓C方程得因為A,B關于點M對稱，所以，所以直線L的方程為（經檢驗，所求直線方程符合題意） 易錯點：單獨求解A,B兩點運算量很大，容易出錯.采用“設而不求”簡單方便. 圖 變式與引申 4. 在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于兩點. (1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求面積的最小值；

8、(2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？ 若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 本節(jié)主要考查：1.的位置 關系可分為，相交，相離，相切.對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物 線相交于一點，但并不是相

9、切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但不相切.有一個公共點是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件. 2.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法. 點評：當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求來計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往能事半功倍. 習題6-3 1

10、. 設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ). A. B. 5 C. D. 2. 已知(1,1)為橢圓內一定點，經過引一弦，使此弦在（1，1）點被平分，此弦所在的直線方程. 3．直線L：y=kx+1,拋物線C:，當k為何值時L與C有：（1）一個公共點；（2）兩個公共點；（3）沒有公共點. 4. 直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點 （1）當k為何值時，A、B兩點在雙曲線的同一支上； （2）當k為何值時，A、B兩點在雙曲線的

11、兩支上； （3）當k為何值時，以A、B為直徑的圓過坐標原點. 5．（xx年高考重慶卷·文）如圖6-3-3，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標準方程； （Ⅱ）設動點P滿足：，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F，使得與點P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標，若不存在，說明理由。 【答案】 變式與引申 1. C 提示：過點F且傾斜角為的直線L與雙曲線的右支有且只有一個交點的充要條件是：直線L與雙曲線的漸近線平行（即一條漸近線的斜率=）或直線L與雙曲線的左，

12、右兩支各有一交點.即.綜合得 所以 2. 解：設A，則的解由 兩式相減得 即 ① 再由方程組消去y得 由 ② 由①②解得 故所求的橢圓的方程為 3. D 提示：依題意有 則雙曲線方程為.設M 則 ，兩式相減得 再由 ，，，所以由，得 所以雙曲線的方程為，故選D 4. 解法一：(1)依題意，如圖6-3-1，點的坐標為，可設， 直線的方程為，與聯立得消去得. 由韋達定理得，. 于是. ， 當時，. (2)假設滿足條件的直線存在，其方程為，如圖6-3-2 的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為， 則，點的坐標為. ，

13、 ， ， . 令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 解法二：(1)前同解法1，再由弦長公式得 ， 又由點到直線的距離公式得. 從而， 當時，. (2)假設滿足條件的直線存在，其方程為， 則以為直徑的圓的方程為， 將直線方程代入得， 則. 設直線與以為直徑的圓的交點為， 則有. 令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線. 習題6-3 1．D 提示：雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y, 得有唯一解,所以△=, 所以,,故選D. 2．解法一：

14、易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為，弦的兩端點（），）. 由 消去得 （ ∴∴ 故弦所在的直線方程為.即. 解法二：由于此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為，且設弦的兩端點坐標為（），），則，兩式相減得 ∵∴.∴. ∴此弦所在的直線方程為. 3. 解：將和C的方程聯立，消去y得 ① 當k=0時，方程①只有一個解.此時 ∴直線與C只有一個公共點（），此時直線平行于拋物線的對稱軸. 當k≠0時，方程①是一個一元二次方程， △=. （1） 當時，即k﹤1且k≠0時，與C有兩個公共點，此時稱直線與C相交; （2） 當時,即k=1時，與C有一個公共點，此時稱直線

15、與C相切； （3） 當時，即k＞1時，與C沒有公共點，此時稱直線與C相離. 綜上所述，當k=1或k=0時，直線與與C有一個公共點；當k﹤1且k≠0時，直線與C有兩個公共點；當k＞1時，直線與C沒有公共點. 4. 解：由消去y，得 ① 當時，由且 （1）當交點A、B在同一支上，則 或，又 （2）A、B在雙曲線兩支上時，， （3）設，，由①得：②， ③ 又，所以，所以 把②③代入上式得：. 5．解：（I）由解得， 故橢圓的標準方程為 （II）設，則由得 因為點M，N在橢圓上，所以， 故 設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知