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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第41講 排列與組合練習(xí) 新人教A版考情展望1.以實(shí)際問(wèn)題為背景考查排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論的思想.2.以選擇題或填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查一、排列與排列數(shù)1排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A.二、組合與組合數(shù)1組合從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的

2、所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作C.三、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特別地C1.性質(zhì)(1)0！1；(2)An！.(2)CC；CCC.解排列、組合應(yīng)用題的常見(jiàn)策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；(3)排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；(4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；(5)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；(6)不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；(7)定序問(wèn)題除法處理的策略；(8)分排問(wèn)題直排處理的策略1從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的

3、三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有()A9個(gè) B24個(gè) C36個(gè) D54個(gè)【解析】選出符合題意的三個(gè)數(shù)字有CC種方法，這三個(gè)數(shù)可組成CCA54個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)【答案】D2甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有()A6種 B12種 C30種 D36種【解析】從反面考慮：甲、乙所選的課程，共有CC種不同的選法，其中甲、乙所選的課程都相同的選法有C種故甲、乙所選的課程至少有1門(mén)不同有CCC30(種)【答案】C3A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()A24種 B60種 C90種 D120種【解析】可先

4、排C、D、E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排法共A60(種)【答案】B4某電視臺(tái)在直播xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)時(shí)，連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放則不同的播放方式有_種【解析】3個(gè)商業(yè)廣告共有A種排法，奧運(yùn)廣告不連續(xù)播放，最后播放的必須是奧運(yùn)廣告有CA種排法故共有ACA36(種)【答案】365(xx大綱全國(guó)卷)從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有_種(用數(shù)字作答)【解析】由題意知，所有可能的決賽結(jié)果有CCC61 60(種

5、)【答案】606(xx北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_【解析】先分組后用分配法求解，5張參觀券分為4組，其中2個(gè)連號(hào)的有4種分法，每一種分法中的排列方法有A種，因此共有不同的分法4A42496(種)【答案】96考向一 175排列應(yīng)用題6個(gè)學(xué)生按下列要求站成一排，求各有多少種不同的站法？(1)甲不站排頭，乙不能站排尾；(2)甲、乙都不站排頭和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；(4)甲、乙都不與丙相鄰【思路點(diǎn)撥】(1)按甲站的位置分類求解；(2)先排甲、乙的位置，再排其他學(xué)生；(3)不

6、相鄰問(wèn)題用插空法求解；(4)按丙站的位置分類求解【嘗試解答】(1)分兩類：甲站排尾，有A種；甲站中間四個(gè)位置中的一個(gè)，且乙不站排尾，有AAA種由分類計(jì)數(shù)原理，共有AAAA504(種)(2)分兩步：首先將甲、乙站在中間四個(gè)位置中的兩個(gè)，有A種；再站其余4人，有A種由分步計(jì)數(shù)原理，共有AA288(種)(3)分兩步：先站其余3人，有A種；再將甲、乙、丙3人插入前后四個(gè)空當(dāng)，有A種由分步計(jì)數(shù)原理，共有AA144(種)(4)分三類：丙站首位，有AA種；丙站末位，有AA種；丙站中間四個(gè)位置中的一個(gè)，有AAA種由分類計(jì)數(shù)原理，共有2AAAAA288(種)規(guī)律方法11.對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位

7、置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法2對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0不在個(gè)位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；(5)1不在個(gè)位；(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列【解】(1)AA480；(2)AAA192；(3)AAAAA408；(4)AAAAA120；(5)A2AA504；(6)AA60.考向二 176

8、組合應(yīng)用題男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(2)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)可以用直接法或間接法求解第(2)問(wèn)根據(jù)有無(wú)女隊(duì)長(zhǎng)分類求解【嘗試解答】(1)法一至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為CCCCCCCC246(種)法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為CC246(種)(2)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選

9、法任意，共有C種選法不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有CC種選法，所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有CCC191(種)規(guī)律方法21.本題中第(1)小題，含“至少”條件，正面求解情況較多時(shí)，可考慮用間接法.第(2)小題恰當(dāng)分類是關(guān)鍵.2.組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練xx年中俄聯(lián)合軍演在中國(guó)青島海域舉行，在某一

10、項(xiàng)演練中，中方參加演習(xí)的有5艘軍艦，4架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī)，若從中、俄兩方中各選出2個(gè)單位(1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同)，且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有()A51種B224種C240種D336種【解析】由題意，可分類求解：一類是一架飛機(jī)來(lái)自于中方CCC60一類是一架飛機(jī)來(lái)自于外方CCC180，CCCCCC60180240，【答案】C考向三 177排列組合的綜合應(yīng)用(1)某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個(gè)不同的車間，每個(gè)車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個(gè)車間，則不同分法的種數(shù)為_(kāi)(2)現(xiàn)需編制一個(gè)八位

11、的序號(hào)，規(guī)定如下：序號(hào)由4個(gè)數(shù)字和2個(gè)x、1個(gè)y、1個(gè)z組成；2個(gè)x不能連續(xù)出現(xiàn)，且y在z的前面；數(shù)字在0、1、2、9之間任選，可重復(fù)，且四個(gè)數(shù)字之積為8，則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有()A12 600B6 300C5 040D2 520【思路點(diǎn)撥】(1)分兩種情形求解：甲、乙分到的車間不再分人；甲、乙分到的車間再分一人(2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是三個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4，一個(gè)2和兩個(gè)1，先把這四個(gè)數(shù)字排好，然后加上從8個(gè)位置選2個(gè)位置安排yz，最后插入兩個(gè)x，利用乘法原理即可得出答案【嘗試解答】(1)若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有CAC18種；若甲、乙分到的車間再分一人

12、，則分法有3AC18種所以滿足題意的分法共有181836(種)(2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是3個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4和一個(gè)2和兩個(gè)1，先把這四個(gè)數(shù)字排好，有CCA20(種)，然后排yz，四個(gè)數(shù)加上yz共六個(gè)位置，yz占兩個(gè)，排法有C種，最后在這六個(gè)數(shù)(或字母)形成的共7個(gè)空中插入x，有C種，則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有20CC6 300.【答案】(1)36(2)B規(guī)律方法31.解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).2.不

13、同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：(1)不均勻分組.(2)均勻分組.(3)部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A33B34C35D36(2)從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A，B，C，D四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)，若甲、乙二人均不能從事A工作，則不同的工作分配方案共有()A60種 B72種 C84種 D96種【解析】(1)若從集合B中取元素2時(shí)，再?gòu)腃中任取一個(gè)元素，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CA.當(dāng)從集合B

14、中取元素1，且從C中取元素1，則確定的不同點(diǎn)有A1A.當(dāng)從B中取元素1，且從C中取出元素3或4，則確定的不同點(diǎn)有CA個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理，共確定不同的點(diǎn)有CAACA33個(gè)(2)根據(jù)題意，分兩種情況討論：甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，擔(dān)任后三項(xiàng)工作中的1種，由其他三人擔(dān)任剩余的三項(xiàng)工作，有CCA36種選派方案甲、乙兩人都被選中，則在后三項(xiàng)工作中選出2項(xiàng)，由甲、乙擔(dān)任，從其他三人中選出2人，擔(dān)任剩余的兩項(xiàng)工作，有CACA36種選派方案，綜上可得，共有363672種不同的選派方案【答案】(1)A(2)B思想方法之二十三解排列組合問(wèn)題的妙招“排除法”解決排列組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一是要明確問(wèn)題

15、中是排列還是組合或排列組合混合問(wèn)題；二是要講究一些基本策略和方法技巧對(duì)于“至少”“至多”型排列組合問(wèn)題，若分類求解時(shí)，情況較多，則可從所有方法中減去不滿足條件的方法，即正難則反問(wèn)題用排除法解決1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練某學(xué)校星期一每班都排9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，若該校李老師在星期一這天要上3個(gè)班的課，每班1節(jié)，且不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上)，那么李老師星期一這天課的排法共有()A474種B77種C462種D79種【解析】首先求得不受限制時(shí)，從9節(jié)課中任意安排3節(jié)，有A504種排法，其中上午連排3節(jié)的有3A18種，下午連排3節(jié)的有2A12種，則這位教師一天的課表的所有排法有5041812474種學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有()A36種B30種C24種D6種【解析】由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必須有兩科在同一節(jié)，先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體，然后做3個(gè)元素的全排列，共CA種方法，再?gòu)闹信懦龜?shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共A種方法，故總的方法種數(shù)為：CAA36630【答案】B