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1、2022年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第46講 離散型隨機(jī)變量及其分布列練習(xí) 新人教A版考情展望1.以實(shí)際問(wèn)題為背景，結(jié)合常見(jiàn)的概率事件考查離散型隨機(jī)變量的分布列求法.2.一般與排列、組合、統(tǒng)計(jì)相結(jié)合綜合考查.3.多以解答題中考查，難度多屬中檔一、離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列2離散型

2、隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi0(i1,2，n)；(2)pi1.三、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列1兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為X01P1pp，其中pP(X1)稱(chēng)為成功概率2超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱(chēng)分布列為超幾何分布.X01mP運(yùn)用兩個(gè)分布列的關(guān)鍵隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，常與事件成敗問(wèn)題有關(guān)，隨機(jī)變量X服從超幾何分布多與產(chǎn)品抽檢問(wèn)題有關(guān)1拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X4表示的基本事件是()A一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B兩顆

3、都是2點(diǎn)C一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)D甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)【解析】甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個(gè)不同結(jié)果，故應(yīng)選D.【答案】D2設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.【解析】由已知得X的所有可能取值為0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).【答案】C3已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(Xk)，k1,2，則P(2X4)等于()A. B. C. D.【解析】P(2X4)P(X3)P(X4).【答案】A4從裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球的箱子

4、中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率是()A. B. C. D.【解析】如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布問(wèn)題，故所求概率為P.【答案】C考向一 189離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m設(shè)|x1|，則P(1)_.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)概率的性質(zhì)求m的值，再根據(jù)X的值，確定|X1|的值【嘗試解答】由分布列的性質(zhì)，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3.規(guī)律方法11.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)

5、，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).2.若X是隨機(jī)變量，則|X1|等仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中，a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.【解析】由題意知?jiǎng)t2b1b，則b，ac，所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac.【答案】考向二 190離散型隨機(jī)變量的分布列(xx浙江高考改編)設(shè)袋子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分若從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列【思路點(diǎn)

6、撥】對(duì)取出球的顏色進(jìn)行分類(lèi)以確定得分值，進(jìn)而確定隨機(jī)變量的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，再列出分布列【嘗試解答】由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P規(guī)律方法21.求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：(1)明確隨機(jī)變量的取值；(2)求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；(3)列成表格2求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷(xiāo)售量(件)0123頻數(shù)1595試銷(xiāo)結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)

7、天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列【解】(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為1件).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X2)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為1件)；P(X3)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為2件)P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為3件).所以X的分布列為X23P考向三 191超幾何分布PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)

8、量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)某地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖1071所示圖1071(1)小陳在此期間的某天曾經(jīng)來(lái)此地旅游，求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；(2)小王在此期間也有兩天經(jīng)過(guò)此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)，請(qǐng)計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率；(3)從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及期望【思路點(diǎn)撥】(1)由莖葉圖可知：有24天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；(2)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空

9、氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，據(jù)此可得出其概率；(3)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)，利用“超幾何分布”即可得出【嘗試解答】(1)記“當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A，因?yàn)橛?4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，故P(A).(2)記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)”為事件B，P(B).(3)的可能值為0,1,2,3.由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)P(0)，P(1)，P(2)，P(3

10、).的分布列如下表：0123PE()0123.規(guī)律方法31.求解本例的第(3)問(wèn)關(guān)鍵在于明確服從超幾何分布.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對(duì)象分兩類(lèi)；(2)已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中取出若干個(gè)；(4)研究取出某類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)的概率分布.3.要善于看出某些實(shí)際問(wèn)題實(shí)質(zhì)是超幾何分布，或?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為超幾何分布，一種方式就是將一類(lèi)對(duì)象視為合格品，另一類(lèi)對(duì)象視為不合格品，再對(duì)其進(jìn)行解釋.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某校高三年級(jí)同學(xué)進(jìn)行體育測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)，測(cè)試結(jié)果如下表：(單位：人)優(yōu)秀良好合格男1807020女120a3

11、0按優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)分層，從中抽取50人，其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)的有30人(1)求a的值；(2)若用分層抽樣的方法，在合格的同學(xué)中按男女抽取一個(gè)容量為5的樣本，從中任選2人，記X為抽取女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望【解】(1)設(shè)該年級(jí)共n人，由題意得，所以n500.則a500(180120702030)80.(2)依題意，X所有取值為0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為：X012PE(X)012規(guī)范解答之二十三離散型隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)交匯問(wèn)題1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)類(lèi)志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的

12、考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖1072所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人(1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；(2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望圖1072【規(guī)范解答】(1)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有100.2540人.1分所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為

13、40(10.3750.3750.150.025)400.0753.3分(2)求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.9.6分(3)設(shè)兩人成績(jī)之和為，則的值可以為16,17,18,19,20，7分P(16)，P(17)，P(18)，P(19)，P(20)，所以的分布列為X1617181920P10分所以E1617181920.所以的數(shù)學(xué)期望為.12分【名師寄語(yǔ)】解答此類(lèi)問(wèn)題注意以下幾點(diǎn)：,(1)認(rèn)真審題，根據(jù)題目要求，準(zhǔn)確從圖表中提取信息.(2)正確找出隨機(jī)變量的取值，并求出取每一個(gè)值的概率，提高計(jì)算能

14、力.(3)要注意語(yǔ)言敘述的規(guī)范性，解題步驟應(yīng)清楚、正確、完整，不要漏掉必要說(shuō)明及避免出現(xiàn)嚴(yán)重跳步現(xiàn)象.(xx課標(biāo)全國(guó)卷)經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖1073所示經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)圖1073(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)

15、值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)求T的數(shù)學(xué)期望【解】(1)當(dāng)X100,130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000.當(dāng)X130,150時(shí)，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120, 150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T(mén)45 00053 00061 00065 000P0.10.2 0.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.