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1、2022年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第三講數(shù)列與不等式 第三節(jié) 不等式選講 文 不等式選講是一個(gè)選考內(nèi)容,縱觀近年關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的高考試題,含絕對(duì)值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問(wèn)題是高考的?？键c(diǎn),不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求： ⑴理解絕對(duì)值及其幾何意義. ①絕對(duì)值不等式的變式：. ②利用絕對(duì)值的幾何意義求解幾類(lèi)不等式：①；②；③. ⑵了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法. 題型一 含絕對(duì)值不等式 例（xx

2、全國(guó)課標(biāo)卷理科第24題）設(shè)函數(shù),其中. （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集 （Ⅱ）若不等式的解集為 ，求a的值。 點(diǎn)撥：⑴解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào). ⑵可考慮采用零點(diǎn)分段法. 解： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，可化為, 由此可得 或, 故不等式的解集為或. (?Ⅱ) 由的 此不等式化為不等式組 或 即 或 因?yàn)?，所以不等式組的解集為 由題設(shè)可得= ，故. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴含絕對(duì)值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯(cuò)；⑵不會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,去掉絕對(duì)值符號(hào). 變式與引申：若，求證： . 題型二 不等式的性質(zhì) 例.⑴設(shè),則的最小值是( ). A.

3、 B. C. D. ⑵設(shè)且,求的最大值. 點(diǎn)撥：⑴觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則添加可配湊成 ,再利用基本不等式求解； ⑵觀察已知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解. (1)【答案】D 解：, 當(dāng)且僅當(dāng) ,時(shí)等號(hào)成立.如取,滿足條件.選D. （2）∵,∴. 又,∴,即 易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式求最值時(shí)的“一正、二定、三相等”條件. 變式與引申2：已知,且,求證:. 題型三 不等式的證明 例3 已知,且,求證：. 點(diǎn)撥：由,得,,.可使問(wèn)題得證. 解：∵

4、,∴,,, ∴. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；⑵忽視基本不等式中等號(hào)成立的條件. 變式與引申3： 是和的等比中項(xiàng)，則的最大值為( ). A. B. C. D. 題型四 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用 例4已知函數(shù).當(dāng)時(shí).求證：. 點(diǎn)撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用 、來(lái)表示,,因?yàn)橛梢阎獥l件有,,可使問(wèn)題獲證. 證明：由，從而有 ,∵,∴.

5、易錯(cuò)點(diǎn)：⑴不會(huì)用、來(lái)表示、、及其它們的和差關(guān)系式,從而解題思路受阻；⑵不能靈活運(yùn)用絕對(duì)值,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 變式與引申4：設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為. （1）若求不等式的解集； （2）若且，比較與的大?。? 本節(jié)主要考查：⑴不等式的性質(zhì)(基本不等式與柯西不等式)應(yīng)用；⑵含絕對(duì)值不等式的解法； ⑶逆求參數(shù)取值范圍；⑷函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法等數(shù)學(xué)思想方法. 點(diǎn)評(píng)：⑴運(yùn)用不等式性質(zhì)解有關(guān)問(wèn)題時(shí),要隨時(shí)對(duì)性質(zhì)成立的條件保持高度警惕,避免錯(cuò)誤發(fā)生； ⑵應(yīng)用絕對(duì)值不等式解題時(shí),要注意絕對(duì)值不等式中等號(hào)成立的條件；解含絕對(duì)值

6、不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),主要思路有：①利用絕對(duì)值的幾何意義；②零點(diǎn)分段討論；③平方轉(zhuǎn)化；④借助圖象直觀獲解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,合理地拆分項(xiàng)或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應(yīng)用求最值時(shí),“一正、二定、三相等”三個(gè)條件不可缺一. ⑷證明不等式的常用方法： ①比較法,即作差比較法與作商比較法；②綜合法—-由因?qū)Ч虎鄯治龇?--執(zhí)果索因；④放縮法,常出現(xiàn)在與數(shù)列和式有關(guān)的不等式證明中,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把

7、握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結(jié)構(gòu)形式. ⑸不等式作為工具,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)合在一起,有著廣泛的應(yīng)用,應(yīng)給予關(guān)注. 習(xí)題3-3 1.(xx陜西文科第3題)設(shè)，則下列不等式中正確的是 （ ） （A） （B） （c） (D) 2．不等式的解集是( ). A. B. C. D. 3．不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ). A. B. C. D. 4.(xx年山東卷文科第16題）.已知當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn) . 5.設(shè),是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于______. 【答案】 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立. 變式與引申3：選B 解：由條件可知,用三角代換設(shè),, 則 ∴選B. 變式與引申4：（1）由題意知，　　　 當(dāng)時(shí)，不等式 即為. 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為. （2） 且，∴ ∴， 即． 習(xí)題3-3 對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則,解得或.故. 4.【答案】2 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在（0，上是增函數(shù)， ， 即. 5.【答案】 解：.∴.