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1、2022年高二數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理 人教版(I)【教學(xué)內(nèi)容】第十章 排列 組合 和概率 二項(xiàng)式定理 要求：（1）了解二項(xiàng)式、二項(xiàng)展開式、二項(xiàng)式系數(shù)等基本概念；理解和掌握二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，會利用“楊輝三角”展開二項(xiàng)式。 （2）理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用二項(xiàng)式宣中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，計(jì)算和證明一些簡單的問題。【知識提要】 (一)重要概念1、二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式系數(shù)（，r=0,1,2n） 二項(xiàng)展開式 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 2、二項(xiàng)展開式中（1）各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和 （2）展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和：（二）學(xué)習(xí)提示 1、二項(xiàng)式定理實(shí)際上是二項(xiàng)式的n

2、次方公式，是初中所學(xué)公式(a+b)2=a2+2ab+b2的一般情況。使用二項(xiàng)式定理時(shí)，a、b可以為任何數(shù)、式，包括在高三時(shí)將要學(xué)到的復(fù)數(shù)。2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)表示(a+b)n展開式中的第項(xiàng)r+1項(xiàng)。應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一。如要求“(1+x)10展開式中第4項(xiàng)”。即T4（不是T4+1，切記）。則“”將T4寫成T3+1的好處是求得公式結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一，也提醒解題時(shí)，不要把T4中的二項(xiàng)式系數(shù)寫成。3、關(guān)于公式的證明。課本采用了“賦值法”，這是一個(gè)常用的方法。我們對式子(a+b)n中的a，b賦以值1,-1,，可以求得展開式中的系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)、偶次項(xiàng)系數(shù)和參見例5也可以構(gòu)造一個(gè)問題（情景）來解決。記集合A

3、=1,2,3,n是一個(gè)n元集合，它的r元子集(r=0,1,2,n)有個(gè)（空集有個(gè)，1元素有個(gè)，以此類推），則它的所有子集共有個(gè)。另一方面，從元素的角度考慮：元素“1”可以“選擇進(jìn)入”或“選擇不進(jìn)入”A的子集，同理，每個(gè)元素都和元素“1”一樣，有2種選擇方式，這樣，可以求得A的子集個(gè)數(shù)為個(gè)。n個(gè)【典型例題分析】例1、求(1-2x)7展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)。分析：先求出T4 解：T4=T3+1= 二項(xiàng)式系數(shù)為=35 系數(shù)為=-280回顧：注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”是不同的概念，在二項(xiàng)展開式中不論a、b的取值如何，第r+1項(xiàng)(Tr+1)的二項(xiàng)式系數(shù)總是。例2、（1）求(2x+1)8展開式

4、中含x3的項(xiàng)。（2）求的展開式中含x3的項(xiàng)（3）求展開式中含x4的項(xiàng)（1）分析與解：(2x+1)8=(2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) 按多項(xiàng)式乘法公式，展開式的每一項(xiàng)都是形如(2x)m1n的8次齊次式（其中m+n=8）。要出現(xiàn)x3，只要有3個(gè)因式選用“2x”其余5個(gè)選用“1”參與運(yùn)算即可。所求的項(xiàng)為。（2）分析與解：（法一）本題無法直接象上題那樣求解，可考慮用通項(xiàng)公式Tr+1=，令9-2r=3，從而得r=3，即T4=。（法二）要求展開式中的x3項(xiàng)即求分子展開式中的x12項(xiàng)，即T=（3）分析與解：（法一）直接求解：含x

5、4項(xiàng)為（法二） 其中展開式的通項(xiàng)為 展開式的通項(xiàng)為 要使積為x4項(xiàng)，則4-r+4-k=4 k+r=4 x4項(xiàng)為 = = x4 回顧：1、選題目的，遇到三項(xiàng)式或多項(xiàng)式的n次展開，要求其中某一項(xiàng)的，如“求(x+y+z)8展開式中的x2y3z3項(xiàng)”，可采用直接求解法，（結(jié)果為）。具體思路參見題（1）的解法或課本P105。2、若要求將(x+y+z)8展開，可考慮用兩次二項(xiàng)式定理：如(x+y+z)8將(y+z)看作一項(xiàng)。展開后再將(y+z)r展開。發(fā)展題：1、求(x+y+z)8展開后的項(xiàng)數(shù)。（答案45項(xiàng)） 2、求展開式中的常數(shù)項(xiàng)（-51） （略解）常數(shù)項(xiàng)即為 例3、已知的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列

6、，求展開式中的各有理項(xiàng)。分析：先應(yīng)解出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求有理項(xiàng)。（整式與分式都為有理式）解：，系數(shù)為1 ，系數(shù)為 ，系數(shù)為 由T1，T2，T3的系數(shù)成等差數(shù)列 n2-9n+8=0得n=8（n=1舍去，至少有3項(xiàng)，n2）設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則有則必為整數(shù)r被4整除，r=0,4,8這個(gè)展開式的有理項(xiàng)分別為 回顧：本題考查通項(xiàng)的應(yīng)用，在解二項(xiàng)式定理有關(guān)問題時(shí)，通項(xiàng)是最基本的手段。例4、求的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)。解：（法一）原式= 要求展開式中x2的系數(shù)即求分子上x3項(xiàng)的系數(shù)，即為（法二）原式中，從第2項(xiàng)起展開后含有x2項(xiàng)，其系數(shù)依次為 則x2項(xiàng)的系數(shù)為回顧：本題考查的是組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

7、。二項(xiàng)式定理涉及許多組合數(shù)，應(yīng)注意前后知識點(diǎn)的聯(lián)系。法一是用到的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。例5、（1）已知，則= （2）若，則= （3）多項(xiàng)式展開式中，x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和為解：（1）令x=-1，則 又a0=16=1 =728（2） （3）設(shè)=a0+a1x+a2x2+axxx 則a0-a1+a2-a3+ a0+a1+a2+a3+ 則偶次項(xiàng)系數(shù)之和 回顧：本例題賦值法的一個(gè)應(yīng)用，令x=1或-1可以區(qū)分開含x的奇次項(xiàng)、偶次項(xiàng)的系數(shù)和。注意“賦值法”是用來計(jì)算二項(xiàng)式系數(shù)或是系數(shù)和的，若要計(jì)算展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可以用展開式的通項(xiàng)。例6、（1）求被8除的余數(shù)解：91=8 展開式的前92項(xiàng)都被8整除，末項(xiàng)為

8、 被8除余1（2）求被5除所得的余數(shù)解：（不能把2寫成5-3，這樣會余下這一項(xiàng)，依然無法求解）被5除余2回顧：利用二項(xiàng)式定理解整除性問題，如“Am被8除”，關(guān)鍵要將A寫成A=KB+n(k,nZ)的形式。最好是使n=1，這樣，才能更快地求出結(jié)果。此外應(yīng)該注意n本身的正負(fù)號，否則可能獲得錯(cuò)誤結(jié)論。發(fā)展題：求被11除的余數(shù)。（提示：被11除余8）例7、求證分析與證明：直接證較為困難，考慮“構(gòu)造法”（法一）構(gòu)造二項(xiàng)展開式即求：展開式中的常數(shù)項(xiàng)：左邊另一方面要求常數(shù)項(xiàng)，即求得分子上的項(xiàng)所求為=右邊（法二）構(gòu)造問題情景“從2n個(gè)元素中取n個(gè)元素”方法有種另一方面，將2n個(gè)元素分成甲、乙兩組（每組n個(gè)元素）

9、列表 甲 乙 取法數(shù) 0個(gè) n個(gè) 1個(gè) n-1個(gè) n個(gè) 0個(gè) （下略）回顧：證明組合恒等式，若一味從公式出發(fā)證明，繁瑣而費(fèi)力，應(yīng)注意構(gòu)造“多項(xiàng)式”定理或是構(gòu)造“組合問題”利用計(jì)數(shù)原理，從而“巧妙”地加以證明。【同步練習(xí)】1、在(1-x3)(1+x)6的展開式中，x5的系數(shù)是 2、若二項(xiàng)式展開式中第八項(xiàng)為含有的項(xiàng)，則自然數(shù)n= 3、若的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是 4、在的展開式中，若存在相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)之比為8:15，那么n的最小值為 5、已知，那么|a0|+|a1|+|a6|= 6、的展開式中，x2的系數(shù)為 7、展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為 8、若(a+2b)20的展開式中的第4r

10、項(xiàng)與第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的第r項(xiàng)是 9、若展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 10、327被11除的余數(shù)為 11、若，則b= 12、展開式的第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)，但不小于第3項(xiàng)，求x的取值范圍。13、計(jì)算：14、求證：15、求的近似值（精確到0.001）參考答案1、-9 2、29 T8=T7+1= n=293、7 設(shè)為Tr+1，Tr+1= 2n-2r-=0 6n=7r 當(dāng)r=6時(shí)n=74、22 即 8n=23r+15 n=3r+2- 當(dāng)r=7時(shí)n小=225、729 由題意知a1,a3,a50 即求a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=1-2(-1)6=7296、 即 提示：兩邊均補(bǔ)上一個(gè)7、-960 含x4項(xiàng)為 8、9120a17b3 (4r-1=r+1舍去)則4r-1=20-r-1 得r=4 T4=T3+1=9、126x6 2n=512 n=9 二項(xiàng)式系數(shù)最大為第5項(xiàng)與第6項(xiàng) 而T5=126x6 T6=-126x3 系數(shù)最大的項(xiàng)為126x6 10、9 327=3最后一項(xiàng)為-2133 -3 最后一項(xiàng)為-24，余數(shù)為-24+33=9 另法： 被11除余911、-7 令x+1=t，則x=t-1 b=12、解： 依題意 x的取值范圍是13、解： 14、證明： 這樣左邊=15、解：原式= =