3、或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因為f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故選D.
5．(xx·山東理，6)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 如圖所示
由解得或
∴第一象限的交點坐標為(2,8)
由定積分的幾何意義得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
6．(xx·黃山模擬)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2
4、，則x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
[答案] B
[解析] f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
7．(xx·北師大附中高二期中)函數(shù)y＝的導數(shù)為( )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝
[答案] D
[解析] y′＝＝.
8．函數(shù)f(x)＝x3－2x＋3的圖象在x＝1處的切線與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系是( )
A．相切 B．相交且過圓心
C．相交但不過圓心 D．相離
[答案] C
[解析] 切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圓心到直線的
5、距離為＝<2，所以直線與圓相交但不過圓心．故選C.
9．f′(x)是f(x)的導函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是( )
[答案] D
[解析] 由圖可知，當b>x>a時，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)為增函數(shù)．且又由圖知f′(x)在區(qū)間[a，b]上先增大后減小，即曲線上每一點處切線的斜率先增大再減小，故選D.
10．曲線y＝ex在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
[答案] D
[解析] ∵y′＝e，
∴在點(4，e2)處的切線方程為y＝e2x－e2，
令x＝0得y
6、＝－e2，令y＝0得x＝2，
∴圍成三角形的面積為e2.故選D.
11．(xx·天門市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f ′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
[答案] D
[解析] 由導函數(shù)圖象可知，當x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當00，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，故選D.
12．(xx·泰安一中高二段測)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是( )
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA
7、)f(sinB)
D．f(cosA)0時，f ′(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，又△ABC為銳角三角形，則A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin(－B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，選A.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)
13．經(jīng)過點(2,0)且與曲線y＝相切的直線方程為______________．
[答案] x＋y－2＝0
[解析] 設(shè)切點為，則＝－，解得x0＝1，所以切點為(1,1
8、)，斜率為－1，直線方程為x＋y－2＝0.
14．若函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[答案] a≥0
[解析] f′(x)＝′＝a＋，
由題意得，a＋≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，
即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0.
15．(xx·湖北重點中學高二期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[答案] (－，－)
[解析] f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)，
由f(x)的圖象經(jīng)過四個象限知，若a>0，則
此時無解；若a<
9、0，則
∴－1時，此函數(shù)單調(diào)遞減，當x0＝0時，m＝－3，當x0＝1時，m＝
10、－2，∴當－30)．
(1)當a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值為，求a的值．
[解析] 函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，
f ′(x)＝－＋a，
(1)當a＝1時，f ′(x)＝，∴當x∈(0，)時，f ′(x)>0，
11、當x∈(，2)時，f ′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)；
(2)當x∈(0,1]時，f ′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝.
18．(本題滿分12分)(xx·韶關(guān)市曲江一中月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當x＝1時，f(x)取得極值－2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(3)證明：對任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
[解析] (1)∵f(x)是
12、R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，
又當x＝1時，f(x)取得極值－2，
∴即解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，
當－11時，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)．
因此，f(
13、x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2.
(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2.最小值為m＝f(1)＝－2.∴對任意x1、x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|
14、
20．(本題滿分12分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．
[解析] 依定義f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，則在(－1,1)上有f′(x)≥0.恒成立．
∵f′(x)≥0?t≥3x2－2x，由于g(x)＝3x2－2x的圖象是對稱軸為x＝，開口向上的拋物線，故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1,1)上恒成立?t≥g(－1)，即t≥5.
而當t≥5時，f′(x)在(－1,1)上滿足f′(x)>0，
即
15、f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．
故t的取值范圍是t≥5.
21．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.
(1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．
[解析] (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．
因f(x)在x＝3處取得極值，
所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.
經(jīng)檢驗知當a＝3時，x＝3為f(x)的極值點．
(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1.
當a<0時，若x∈(－
16、∞，a)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)．
當0≤a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．
當a≥1時，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)，從而f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．
綜上可知，當a≥0時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．
22．(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值；
(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．
[解析] (1)f ′(x)
17、＝aex－，
當f ′(x)>0，即x>－lna時，f(x)在(－lna，＋∞)上遞增；
當f ′(x)<0，即x<－lna時，f(x)在(－∞，－lna)上遞減．
①當00，f(x)在(0，－lna)上遞減，在(－lna，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)上的最小值為f(－lna)＝2＋b；
②當a≥1時，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)上的最小值為f(0)＝a＋＋b.
(2)依題意f ′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函數(shù)可得2＋＋b＝3，
即b＝.
故a＝，b＝.
高中數(shù)學 知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2
