《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.5 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.5 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.5 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義拋物線(xiàn)可以看成平面內(nèi)的到定點(diǎn)(焦點(diǎn))F的距離與到定直線(xiàn)(準(zhǔn)線(xiàn))l的距離的比值等于1(離心率)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡在坐標(biāo)平面內(nèi)有一定點(diǎn)F(c,0)，定直線(xiàn)x(a0，c0)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與到定直線(xiàn)x的距離的比為.問(wèn)題1：求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程 提示：由，化簡(jiǎn)得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)問(wèn)題2：當(dāng)ac，即01時(shí)，軌跡是什么？提示：橢圓問(wèn)題3：當(dāng)a1時(shí)，軌跡是什么？提示：雙曲線(xiàn)圓錐曲線(xiàn)可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一

2、條定直線(xiàn)l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡當(dāng)0e1時(shí)，它表示橢圓，當(dāng)e1時(shí)，它表示雙曲線(xiàn)，當(dāng)e1時(shí)，它表示拋物線(xiàn)其中e是離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l是圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)從拋物線(xiàn)的定義知，拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線(xiàn)，那么橢圓、雙曲線(xiàn)有幾個(gè)焦點(diǎn)，幾條準(zhǔn)線(xiàn)？提示：橢圓、雙曲線(xiàn)分別有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線(xiàn)橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程曲線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)方程曲線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)方程1(ab0)x1(ab0)y1(a0，b0)x1(a0，b0)yy22px(p0)xx22py(p0)yy22px(p0)xx22py(p0)y圓錐曲線(xiàn)的第一定義與第二定義的區(qū)別橢圓、雙曲線(xiàn)的第一定義突出了

3、動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時(shí)可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇利用第一定義可以把到一個(gè)定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一點(diǎn)的距離，利用第二定義可以把到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于拋物線(xiàn)，第一定義與第二定義是一致的利用統(tǒng)一定義確定曲線(xiàn)形狀例1過(guò)圓錐曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)相交，則曲線(xiàn)C為_(kāi)思路點(diǎn)撥利用圓錐曲線(xiàn)第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圓心到直線(xiàn)的距離和半徑的大小關(guān)系，建立不等式求e的范圍即可判斷精解詳析設(shè)圓錐曲線(xiàn)的離心率為e，M為AB的中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d1，d2和d

4、，圓的半徑為R，d，R.由題意知Rd，則e1，圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)答案雙曲線(xiàn)一點(diǎn)通解答這種類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)，巧妙應(yīng)用圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即e.有時(shí)會(huì)應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種類(lèi)型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應(yīng)用為主1方程 |xy1|對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡為_(kāi)解析：由|xy1|得.可看作動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(1,0)的距離與到定直線(xiàn)xy10的距離比為1的軌跡方程，由圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線(xiàn)答案：雙曲線(xiàn)2若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線(xiàn)的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線(xiàn)的形狀解：設(shè)圓錐曲線(xiàn)的離心率為e，M是AB中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d1，d2和

5、d，圓的半徑為R，則d，R.當(dāng)圓與準(zhǔn)線(xiàn)相離時(shí)，Rd，即，0e1，圓錐曲線(xiàn)為橢圓當(dāng)圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切時(shí)，Rd，e1，圓錐曲線(xiàn)為拋物線(xiàn).用圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求軌跡例2已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(0,3)與到定直線(xiàn)y9的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡思路點(diǎn)撥此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法精解詳析法一：由圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義知：P點(diǎn)的軌跡是一橢圓，c3，9，則a227，a3，e，與已知條件相符橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為(0，3)，準(zhǔn)線(xiàn)y9.b218，其方程為1.法二：由題意得.整理得1.P點(diǎn)的軌跡是以(0，3)為焦點(diǎn)，以y9為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓一點(diǎn)通解決此類(lèi)題目有兩種方法：是直接列方程，代入后化簡(jiǎn)整理即得方程是根據(jù)定義

6、判斷軌跡是什么曲線(xiàn)，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程3平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(y0)到點(diǎn)F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡解： 如圖：作PMx軸于M，延長(zhǎng)PM交直線(xiàn)y2于點(diǎn)N.PFPM2，PFPM2.又PNPM2，PFPN.P到定點(diǎn)F與到定直線(xiàn)y2的距離相等由拋物線(xiàn)的定義知，P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以y2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，p4.拋物線(xiàn)方程為x28y(y0)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1(4,0)，直線(xiàn)l：x2，動(dòng)點(diǎn)M到F1的距離是它到定直線(xiàn)l距離d的倍設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線(xiàn)為E.(1)求曲線(xiàn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)F2(4,0)，若直線(xiàn)m為

7、曲線(xiàn)E的任意一條切線(xiàn)，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由解：(1)由題意，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則有MF1，點(diǎn)M(x，y)到直線(xiàn)l的距離d|x(2)|x2|，故|x2|，化簡(jiǎn)得x2y28.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2y28.(2)d1d2是常數(shù)，證明如下：若切線(xiàn)m斜率不存在，則切線(xiàn)方程為x2，此時(shí)d1d2(ca)(ca)b28.當(dāng)切線(xiàn)m斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)m：ykxt，代入x2y28，整理得：x2(kxt)28，即(1k2)x22tkx(t28)0.(2tk)24(1k2)(t28)0，化簡(jiǎn)得t28k28.又由kxyt0，d1，d2，d1d28,8為常數(shù)綜上，

8、對(duì)任意切線(xiàn)m，d1d2是常數(shù).圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義的應(yīng)用例3已知定點(diǎn)A(2，)，點(diǎn)F為橢圓1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求AM2MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥利用統(tǒng)一定義把MF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，數(shù)形結(jié)合便可迎刃而解精解詳析a4，b2，c2.離心率e.A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，則e，即MFedd，右準(zhǔn)線(xiàn)l：x8.AM2MFAMd.A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)A作AKl(l為右準(zhǔn)線(xiàn))于K，交橢圓于點(diǎn)M0.則A、M、K三點(diǎn)共線(xiàn)，即M與M0重合時(shí)，AMd最小為AK，其值為8(2)10.故AM2MF的最小值為10，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2， )一點(diǎn)通圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義通常用來(lái)解決一些與距離有關(guān)

9、的最值問(wèn)題，利用定義，實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離間的互化，互化時(shí)應(yīng)注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)應(yīng)5已知雙曲線(xiàn)1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(9,2)，M為雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則MAMF的最小值為_(kāi)解析：雙曲線(xiàn)離心率e，由圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義知e(d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線(xiàn)l的距離)，右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x，顯然當(dāng)AMl時(shí)，AMd最小，而AMMFMAdeMAd.而AMd的最小值為A到l的距離為9.答案：6若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1，3)，F(xiàn)為橢圓1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng)，當(dāng)QFPQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出最小值解：在1中a4，b2 ，c2，e，橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)l：x8，過(guò)點(diǎn)Q作QQl于Q，則e.QFQQ.QFPQQQ

10、PQ(QQPQ)要使QQPQ最小，由圖可知P、Q、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，所以由P向準(zhǔn)線(xiàn)l作垂線(xiàn)，與橢圓的交點(diǎn)即為QFPQ最小時(shí)的點(diǎn)Q，Q的縱坐標(biāo)為3，代入橢圓得：Q的橫坐標(biāo)為x2.Q為(2，3)，此時(shí)QFPQ.圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)、離心率的求解及應(yīng)用例4求橢圓1的離心率與準(zhǔn)線(xiàn)方程，并求與該橢圓有相同準(zhǔn)線(xiàn)且離心率互為倒數(shù)的雙曲線(xiàn)方程思路點(diǎn)撥由方程確定a、c，從而求e與準(zhǔn)線(xiàn)，由橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)、離心率再確定雙曲線(xiàn)的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)，求出雙曲線(xiàn)的方程精解詳析由1知a5，b4，c3.e，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.設(shè)雙曲線(xiàn)虛半軸長(zhǎng)為b，實(shí)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c，離心率為e，則e，又.解得：a，c，b2.雙曲線(xiàn)方程為1.一點(diǎn)通此類(lèi)問(wèn)題首先判斷

11、該圓錐曲線(xiàn)是什么曲線(xiàn)，然后化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定出a、b、c、p，進(jìn)而求離心率和準(zhǔn)線(xiàn)方程7(天津高考)已知拋物線(xiàn)y28x的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)， 且雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)解析：拋物線(xiàn)y28x的準(zhǔn)線(xiàn)x2過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，所以c2，又離心率為2，所以a1，b，所以該雙曲線(xiàn)的方程為x21.答案：x218已知橢圓1(ab0)的焦距為2，若一雙曲線(xiàn)與此橢圓共焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)短8，雙曲線(xiàn)的離心率與橢圓的離心率之比是51，求橢圓和雙曲線(xiàn)的方程，并求其相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程解：設(shè)a，b分別為雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，依題意有解得所以橢圓的短半軸長(zhǎng)b，雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)

12、b3.故橢圓和雙曲線(xiàn)的方程分別是1和x21.橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x，雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.1圓錐曲線(xiàn)的判斷：要判斷所給曲線(xiàn)是哪種圓錐曲線(xiàn)，常利用圓錐曲線(xiàn)的定義求解，其思路是：(1)如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線(xiàn)的定義(2)如果遇到動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的統(tǒng)一定義2圓錐曲線(xiàn)共同特征的應(yīng)用：設(shè)F為圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，A為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，d為點(diǎn)A到定直線(xiàn)的距離，由e變形可得d.由這個(gè)變形可以實(shí)現(xiàn)由AF到d的轉(zhuǎn)化，借助d則可以解決一些最值問(wèn)題對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十四) 1雙曲線(xiàn)2x2y216的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)解析：原方程可化為1.a216，c2

13、a2b216824，c2.準(zhǔn)線(xiàn)方程為y.答案：y2設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x4)2y21和(x4)2y21上的點(diǎn)，則PMPN的最小值、最大值分別為_(kāi)解析：PMPN最大值為PF11PF2112，最小值為PF11PF218.答案：8,123到直線(xiàn)y4的距離與到A(0，2)的距離的比值為的點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)解析：設(shè)M(x，y)，由題意得.化簡(jiǎn)得1.答案：14(福建高考)橢圓：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線(xiàn)y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿(mǎn)足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：直線(xiàn)y(xc)過(guò)點(diǎn)F1(c,0)，且傾斜角為60，所以MF1F260

14、，從而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，MF1c，MF2c，所以該橢圓的離心率e1.答案：15已知橢圓1內(nèi)部的一點(diǎn)為A，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MAMF的最小值為_(kāi)解析：設(shè)M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，由圓錐曲線(xiàn)定義知，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x2.dMF.MAMFMAd.由A向右準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段長(zhǎng)即為MAd的最小值，MAd21.答案：216已知橢圓1上有一點(diǎn)P，到其左、右兩焦點(diǎn)距離之比為13，求點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo)解：設(shè)P(x，y)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.由已知的橢圓方程可得a10，b6，c8，e，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x.PF1PF22a20，且PF1PF213，PF15，P

15、F215.設(shè)P到兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d1、d2，則由e，得d1，d2.xx，x.代入橢圓方程，得y.點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.7已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定直線(xiàn)l：x2 的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(，0)之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)AB，交(1)中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線(xiàn)AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問(wèn)k1k2是否為定值？解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，依題意，有.整理，得1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(x2，y2)，1，1.k1k2，為定值8已知雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為yx，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使d、PF1、PF2成等比數(shù)列？若存在，則求出P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由解：假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為yx，b23a2，c2a23a2.2.若d、PF1、PF2成等比數(shù)列，則2，PF22PF1.又雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x，PF1|2x0a|，PF2|2x0a|.又點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，PF12x0a，PF22x0a.代入得2x0a2(2x0a)，x0a.代入1得y0a.存在點(diǎn)P使d、PF1、PF2成等比數(shù)列，P.