《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)ytan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點).3.注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用(難點)知識點1正切函數(shù)的定義(1)任意角的正切函數(shù)：如果角滿足R，k(kZ)，那么，角的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值，我們把它叫作角的正切函數(shù)，記作ytan ，其中R，k，kZ.(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：根據(jù)定義知tan (R，k，kZ)(

2、3)正切值在各象限的符號：根據(jù)定義知，當(dāng)角在第一和第三象限時，其正切函數(shù)值為正；當(dāng)角在第二和第四象限時，其正切函數(shù)值為負(4)正切線：在單位圓中令A(yù)(1,0)，過A作x軸的垂線，與角的終邊或終邊的延長線相交于T，稱線段AT為角的正切線【預(yù)習(xí)評價】1若角的終邊上有一點P(2x1,3)，且tan ，則x的值為()A7B8C15 D.解析由正切函數(shù)的定義tan ，解之得x8.答案B2函數(shù)ytan 2x的定義域為_解析由正切函數(shù)的定義知，若使ytan 2x有意義，則2xk(kZ)解得x(kZ)答案知識點2正切函數(shù)的圖像及特征(1)ytan x，xR且xk，kZ的圖像(正切曲線)：(2)正切曲線的特征：

3、正切曲線是由被相互平行的直線xk(kZ)隔開的無窮多支曲線組成的這些直線叫作正切曲線各支的漸近線【預(yù)習(xí)評價】正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個嗎？提示正切函數(shù)的對稱中心除了原點外，諸如(，0)等都是對稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個對稱中心知識點3正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ytan x定義域值域R周期性周期為k(kZ，k0)，最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在(kZ)上是增加的【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)()(2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間a，b，使ytan x是增加的()(3)若x是第一象限的角，則ytan x是增函數(shù)()(4)正切函數(shù)yt

4、an x的對稱中心為(k，0)kZ.()題型一正切函數(shù)的定義【例1】已知角的終邊經(jīng)過點P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos 、tan 的值解r5|a|，若a0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos .tan ；若a0，則r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .規(guī)律方法已知角終邊上任一點的坐標(biāo)(m，n)利用定義求tan 時，其值與該點的位置無關(guān)且tan .但要注意判斷角所在象限利用定義可求下列特殊角的正切：0tan 011【訓(xùn)練1】若tan ，利用三角函數(shù)的定義，求sin 和cos .解tan 0，角是第一或第三象限角若角是第一象限角，則由tan ，角的終邊上必有一點P(

5、2,1)，r|OP|.sin ，cos .若角是第三象限角，則由tan 知，角的終邊上必有一點P(2，1)，r|OP|.sin ，cos .題型二正切函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例2】利用正切函數(shù)的圖像作出y|tan x|的圖像并寫出使y的x的集合解當(dāng)x時，ytan x0，當(dāng)x時，ytan x0，y|tan x|如圖所示使y的x的集合為.規(guī)律方法1.作正切函數(shù)的圖像時，先畫一個周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點，可用“三點兩線法”，這三點是，(0,0)，兩線是直線x為漸近線2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完

6、成；即只需作出yf(x)(x0)的圖像，令其關(guān)于y軸對稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像；同理只要作出yf(x)的圖像，令圖像“上不動，下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像【訓(xùn)練2】(1)函數(shù)y的定義域為_解析要使該函數(shù)有意義，則有即xk且xk.答案(2)根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tan x1的解集解作出ytan x及y1的圖像，如下圖滿足此不等式的x的集合為.方向1比較大小【例31】比較tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20.3，30，顯然231，且ytan x在內(nèi)是增函數(shù)，tan (2)tan (3)tan 1，即tan 2

7、tan 3 tan 1.方向2求解最值【例32】若x，求函數(shù)ytan2x2tan x2的最值及相應(yīng)的x值解令ttan x，x，t，1，yt22t2(t1)21，當(dāng)t1，即x時，ymin1，當(dāng)t1，即x時，ymax5.方向3性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】已知f(x)atan x(a0)(1)判斷f(x)在x上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(4)若a0，求f(x)在上的值域解(1)f(x)atan x(a0)，x，f(x)atan(x)atan xf(x)又定義域關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)(2)f(x)的最小正周期為.(3)ytan x在(kZ)上單調(diào)遞增，當(dāng)a

8、0時，f(x)在(kZ)上單調(diào)遞減，當(dāng)a0時，f(x)在(kZ)上單調(diào)遞增(4)當(dāng)a0時，f(x)在上單調(diào)遞減，故x時，f(x)maxa，無最小值f(x)的值域為(，a規(guī)律方法1.比較同名三角函數(shù)值的大小，實質(zhì)上是將兩個角利用周期性放在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大小2對于形如ytan(x)(、為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究，應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為基礎(chǔ)，運用整體思想和換元法求解如果0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y所得線段長為，則f的值是()A0B1C1 D.解析由題意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.答案A10已知函數(shù)ytan x在(，)是減函數(shù)，則的取值范圍是_解析

9、ytan x在(，)內(nèi)是減函數(shù)，0且T.|1，即10.答案1,0)11求函數(shù)ytan2x4tan x1，x的值域為_解析x，1tan x1.令tan xt，則t1,1yt24t1(t2)25.當(dāng)t1，即x時，ymin4，當(dāng)t1，即x時，ymax4.故所求函數(shù)的值域為4,4答案4,412若函數(shù)f(x)tan2xatan x的最小值為6.求實數(shù)a的值解設(shè)ttan x，因為|x|，所以t1,1則原函數(shù)化為：yt2at2，對稱軸t.若11，則當(dāng)t時，ymin6，所以a224(舍去)；若1，即a2時，二次函數(shù)在1,1上遞增，ymin21a6，所以a7；若1，即a2時，二次函數(shù)在1,1上遞減ymin21a6，所以a7.綜上所述，a7或a7.13(選做題)已知函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)定義域；(2)用定義判斷f(x)的奇偶性；(3)在，上作出f(x)的圖像；(4)寫出f(x)的最小正周期及單調(diào)性解(1)由cos x0得xk(kZ)，函數(shù)的定義域是.(2)由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱又f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)f(x)(x，)的圖像如圖所示(4)f(x)的最小正周期為2，遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)